Matematiikassa on lauseita joita ei voi aksioomista johtaen todistaa. Ylipäätään matematiikan lauseita on numeroituva määrä. Onko kukaan pohtinut mikä on
todistumattomien lauseiden osuus kaikista lauseista (vai lieneekö kysymys vaikea tai todistumaton). Esim. onko se kokoluokkaa O(1/log n)
(joka on alkulukujen osuus luonnollisista luvuista lukuun n saakka, ihan vain esimerkkinä jotta ymmärätte mitä haen takaa, O on iso-O suuruusluokka merkintä)
todistumattomien lauseiden osuus kaikista lauseista (vai lieneekö kysymys vaikea tai todistumaton). Esim. onko se kokoluokkaa O(1/log n)
(joka on alkulukujen osuus luonnollisista luvuista lukuun n saakka, ihan vain esimerkkinä jotta ymmärätte mitä haen takaa, O on iso-O suuruusluokka merkintä)
Vastaukset 33
Vanhimmat
"Ylipäätään matematiikan lauseita on numeroituva määrä."
Kyllä niitä matemaattisia väittämiä on kuitenkin ylinumeroituvasti. Onhan esimerkiksi jo muotoa a = 1, jossa a on reaaliluku, olevia väittämiäkin ylinumeroituva määrä.
Varsinaiseen kysymykseesi siitä, onko ratkaisemattomille (= väittämille, jotka eivät todistu ja joiden negaatio ei todistu) ja kaikille väittämille laskettavissa jonkinlainen suhde, en oikein osaa ottaa kantaa.
Matematiikan lauseita on numeroituva määrä, mutta niiden tulkintoja voi olla ylinumeroituvasti. Mainitsemasi a = 1 on yksi lause, mutta se voidaan tulkita kun a in N tai R. Edellisessä tulkintoja on numeroituvasti, jälkimmäisessä ylinumeroituvasti (ei ole kyllä oikein mielekästä keskustella asiasta näin).
Viittaakohan aloittaja Gödelin tuloksiin? Propositiologiikassahan voidaan todistaa täydellisyyslause, jonka mukaan jokainen propositiologiikan lause on kyllä todistuva.
jos akkoston on lyöty kiinni, niin tällä aakkostolla voidaan esittää numroituva määrä
eri lauseita. Toki matematiikassa on ylinumeroituva määrä eri tuloksia, mutta niitä ei voida edes ilmaista saati todistaa. Eli ilmaistavista lauseista (joita on numeorituva määrä) ja gödelin epätäydellisyyslausehan sanoo sen että on todistumattomia lauseita, kunhan systeemi on tarpeeksi suuri (kokonaislukuaritmetiikan sisältämä lienee riittävän suuri)
Nyt näistä kirjoitettavissa olevista lauseista (JOTKA SIIS OVAT LAUSEITA EIKÄ VAIN KIRJAINMÖSSÖÄ) ne ovat joko todistuvia tai todistumattomia, mikä lienee niiden suhde, jos ajatellaan vaikka todistumattomia lauseita n ensimmäisestä on m kpl. Mitä funktiota f(n)lähestyy m/n asymptoottisesti vai eikö mitään?
Tuo taitaa olla ratkeamaton ongelma ainakin siinä mielessä, että emme voi tietää mitkä kaikki lauseet ovat sellaisia, joilla ei ole todistusta. Yksittäisiä lauseita voidaan kyllä konstruoida, mutta yleistä keinoa kaikkien lauseiden generoimiseen ei tietenkään ole.
Jos tietäisimme suhteen kuinka iso osa lauseista w, joilla |w| < n jollain n in N, on todistuvia, niin voisimme ajaa jokaiselle lauseelle w_i mekaanista todistusta etsivää ohjelmaa. Ohjelma pysähtyisi aikanaan kaikkien niiden lauseiden kohdalla joilla on todistus ja koska tunnemme suhteen, niin voisimme tietyllä ajanhetkellä todeta, että kun tietty määrä todistuksia on löytynyt, niin emme voi lopuille todistusta löytää. Tämä puolestaan ratkaisisi pysähtymisongelman, joka kuitenkin on tunnetusti ratkeamaton. Eli tarkkaa suhdetta ei ainakaan voida sanoa.
Koita kysyä usenetissä sfnet.tiede.matematiikka tai sfnet.tiede.tietotekniikka ryhmissä. Siellä on varsin kovaa osaamista juuri tämän kyseisen ongelman tienoilta (mm. professoreita ja tutkijoita).
"Mainitsemasi a = 1 on yksi lause --"
Nyt ei kannata käyttää sanaa lause. Lause on perinteisesti ollut sanan teoreema suomenkielisempi versio. Siis lause tarkoittaa todistettua väittämää. Puhutaan mielummin väittämistä tässä yhteydessä.
Ja: "a = 1" on kylläkin yksi väittämä (kaikilla a), mutta puhuinkin _muotoa_ a = 1 olevista väittämistä. Niitä on kyllä tasan tarkkaan ylinumeroituvasti. Esimerkiksi 0 = 1 ja 1 = 1 ovat tällaisia, ja korvaamalla a:n millä tahansa reaaliluvulla saa muodostettua ylinumeroituvan määrän lisää.
Onko todella noin vaikeaa koittaa lukea mitä alkuperäisellä kirjoittalla oli mielessä? Ja koitappa korvata se a millä tahansa reaaliluvulla. Jos onnistut, niin nostan hattua. (vihje: a on vasemmalla puolella, toinen vihje: mitä tarkoittaa äärettömän pituinen "lause"?)
Terminologiassa koitin pysyä alkuperäisen kirjoittajan kanssa linjassa, epätäsmällistä se tietysti on, mutta väittämä ei ole minusta yhtään sen parempi ilmaisu. Merkkijono olisi täsmällistä, mutta pitäisi sopia aakkosto ja säännöt joilla merkkijonoja tässä yhteydessä saa muodostaa tai millä saa tarkistettua onko merkkijono hyvin muodostettu.
Jos ei osaa antaa mitään järkevää kommenttia itse asiasta, niin pitää sitten halkoa hiuksia? Tänne on kans aivan turha kirjoitella mitään ilman, että jonkun pitää aina päästä pätemään ja viisastelemaan. Keskitynpä siis töihini (haluan saada paperillani olevalle merkkijonolle todistuksen, mitä se sitten mielestäsi tarkoittaakin).
Pärjäilkää.
"Ja koitappa korvata se a millä tahansa reaaliluvulla."
Öh, johan minä edellisessä viestissäni tein niin jopa kahdesti. Vielä kerta kiellon päälle: 2 = 1. Mikä tässä oli niin ongelmallista?
Alkuperäinen kysyjä ilmeisesti sittenkin halusi ajatella asiaa merkkinjärjestelmän ja fysiikkamme rajoitteiden puitteissa. Luulin aluksi, että asiaa pohdittiin puhtaasti teoreettiselta kannalta.
En valitettavasti vieläkään osaa sanoa itse kysymykseen mitään relevanttia. Koko pulma tuntuu vähän salakavalalta. Ei oikein tiedä, mistä suunnasta sitä lähestyisi, se muljahtelee intuition ulkopuolelle. Arvaan, ettei ratkaisua ole olemassa.
"Pärjäilkää."
Täytyy yritää.
desimaaliesitys voi olla äärettömän pituinen
ja numeroituva. Eli et tuonut mitään uutta tähän ketjuun.
Väität, että reaaliluvut ovat numeroituvia? Olet väärässä. Jokaiselle reaaliluvulle nimittäin on olemassa desimaaliesitys.
Teillä on molemmilla (Samuli & jukepuke) vaikeuksia sisäistää mitä numeroitumattomuus tarkoittaa. Miettikää Cantorin diagonaaliargumenttia ja sitä miksi sitä ei voi soveltaa luonnollisiin lukuihin.
En spoilaa vielä.
Miksi haluttaisiin rajoittua tarkastelemaan vain niitä väittämiä, jotka kyetään eksplisiittisesti kirjoittamaan? Näin ainakin ymmärsin, että halusitte --- selventäkää, jos ei ole kyse tästä. Se on kyllä selvä, että tällaisia väittämiä on vain äärellinen määrä. Mutta miksi rajoittaa koko väittämien kirjoa näin keinotekoisesti? Ainakaan ei voida selvittää, mikä osa ratkeamattomista (= ei voi todistaa eikä negaatiota voi todistaa) väittämistä kuuluu näihin kirjoitettavissa oleviin. Ja tämä kaikki kuitenkin riippuu käytetystä kielestä.
Eikö olisi mielekkäämpää miettiä, mikä osa _kaikista_ väittämistä on ratkeamattomia?
No, tämä on nyt tällaista pyörittelyä. Tämä aihe muljahtelee vieläkin otteestani.
Mitä tulee ylinumeroituvuuden käsittämiseen, en ole aivan varma ymmärsivätkö nimimerkit 1112111 ja 21212212, mitä tarkoitin muotoa "a = 1" olevilla väittämillä. En halunnut rajoittua pelkästään fyysisesti kirjoitettavissa oleviin väittämiin. Ja a:n paikalle voi kyllä kirjoittaa jopa irrationaalilukuja. Kas näin: "pii = 1".
Ilmeisesti täällä on vallalla ajatus, että väittämä, jota ei voida kirjoittaa (vallitsevilla merkintäsopimuksilla tai jollain muulla kiinnitetyllä tavalla), ei ole olemassa. Olen vahvasti eri mieltä tästä. Toisaalta tämä olemassaolo kysymys ei enää olekaan matematiikkaa vaan on jo loikannut filosofian puolelle.
Matemaattinen "lause", joka on äärettömän pituinen ja jota *ei voida mitenkään äärellisesti kuvailla* ei ole matemaattinen "lause".
"Se on kyllä selvä, että tällaisia väittämiä on vain äärellinen määrä."
Ei ole, äärellisen pituisia väittämiä on ääretön määrä. Jokainen luonnollinen lukukin on äärellisen pituinen, mutta luonnollisten lukujen joukko on ääretön.
"Mutta miksi rajoittaa koko väittämien kirjoa näin keinotekoisesti?"
Keinotekoisesti? Puhut väittämistä, joita ei voida mitenkään äärellisesti kuvailla ja pidät sitä luonnollisena?
"Ja a:n paikalle voi kyllä kirjoittaa jopa irrationaalilukuja. Kas näin: "pii = 1"."
Voit kirjoittaa siihen jotain irrationaalilukua vastaava merkin, mutta et *mitä tahansa" irrationaalilukua. Saisit äärettömän pituisen merkkijonon, jonka oikeassa päässä olisi " = 1". Olisiko se äärettömän pituinen?
"Tämä aihe muljahtelee vieläkin otteestani. "
Siltä todellakin näyttää.
"Väität, että reaaliluvut ovat numeroituvia?"
En ole väittänyt, että reaalilukuja olisi numeroituva määrä, vaan vastasin ylimalkaiseen viestiisi, jossa sanoit, että desimaaliesitys voi olla äärettömän pitkä. Yksittäisen luvun desimaaliesitys on kyllä numeroituva ja itseasiassa aina ääretön. Jaksottomuus/jaksollisuus vaan vaihtelee.
"Teillä on molemmilla (Samuli & jukepuke) vaikeuksia sisäistää mitä numeroitumattomuus tarkoittaa."
Omalta kohdaltani ei ainakaan ole vaikeuksia =). Kyllä Cantorin diagonaaliargumentti on ollut tuttu jo jonkin aikaa.
Minusta tuntuu, että sinulla sitävastoin taitaa olla vaikeuksia kirjoittaa täsmällisiä viestejä.
Sitäpä hyvinkin. Sanoin, että desimaaliesitys voi olla äärettömän pituinen. Viittasin sillä siihen, että a:n paikalle lauseessa "a = 1" sijoitetaan äärettömän pituinen merkkijono. Mielestäsi on mahdollista, että on äärettömän pituinen merkkijono, joka päättyy merkkeihin "= 1"?
"Yksittäisen luvun desimaaliesitys on kyllä numeroituva ja itseasiassa aina ääretön."
Mitä tarkoitat numeroituvalla? Kyseessä on merkkijono. Miten merkkijono voi olla numeroituva? Numeroituvuus on joukon ominaisuus, ei minkään yksittäisen merkkijonon.
"Kyllä Cantorin diagonaaliargumentti on ollut tuttu jo jonkin aikaa. "
Miksi sillä ei voi todistaa luonnollisten lukujen joukkoa numeroitumattomaksi?
"Miksi sillä ei voi todistaa luonnollisten lukujen joukkoa numeroitumattomaksi?"
No koska luonnollisten lukujen joukko on numeroituva. Id: N -> N on bijektio.
"Mitä tarkoitat numeroituvalla? Kyseessä on merkkijono. Miten merkkijono voi olla numeroituva? Numeroituvuus on joukon ominaisuus, ei minkään yksittäisen merkkijonon."
Tarkoitin, että desimaaleja on ääretön ja numeroituva määrä.
""Miksi sillä ei voi todistaa luonnollisten lukujen joukkoa numeroitumattomaksi?"
No koska luonnollisten lukujen joukko on numeroituva. Id: N -> N on bijektio."
Et vastannut kysymykseen. Se, että jokin asia on kuten on ei kerro voiko sitä todistaa tai ei jollain toisella tavalla.
"Tarkoitin, että desimaaleja on ääretön ja numeroituva määrä."
Miten tämä liittyi siihen kontekstiin, jossa näin sanoit? En ymmärrä mitä koitit sanoa.
Keskustelu eteni seuraavasti:
- "Vielä kerta kiellon päälle: 2 = 1. Mikä tässä oli niin ongelmallista? "
- "desimaaliesitys voi olla äärettömän pituinen"
- "ja numeroituva."
Mitä haet takaa tuolla kommentillasi? En tiedä olemmeko eri vai samaa mieltä ennen kuin ymmärrän mitä mieltä olet.
No ollaanpas sitä nyt vitsikkäällä tuulella. Jos joukko on numeroituva, se ei ole ylinumeroituva ja päinvastoin. Koska voidaan todistaa, että luonnollisten lukujen joukko on numeroituva, ei luonnollisten lukujen joukko ole ylinumeroituva.
Kommenteista paistoi läpi joitain yleisiä väärinkäsityksiä numeroituvuudesta. Halusin kysymykselläni kokeilla olinko oikeassa.
En pyytänyt todistamaan onko jokin joukko numeroituva, vaan kysyin miksi tiettyjä argumentteja ei voi käyttää tietyissä paikoissa asiaa todistettaessa.
Luetaan ne viestit.
...keskusteltiin numeroituvuudesta/ylinumeroituvuudesta. Kerro sinä minulle, mitä tarkoitit sillä, että "Desimaaliesitys voi olla äärettömän pitkä" ?
Täällä on kyllä pitkästä aikaa kerrassaan hurmaava ja innostava yhdessä oppimisen ilmapiiri ;-) No, kommentoin seuraavassa päivän aikana tulleita viestejä:
Nimimerkki 9898989: "Ei ole, äärellisen pituisia väittämiä on ääretön määrä."
Niin, en tietenkään väittänyt, että (kirjoitettuna) äärellisen pituisia väittämiä olisi äärellinen määrä. Sanoin, että väittämiä, jotka kyetään eksplisiittisesti kirjoittamaan on äärellisesti. Esimerkiksi väittämä, jonka kirjoittamiseen kuluu 10^1000 vuotta ei kuulu näihin väittämiin.
Vastauksesta päätellen nämä ihmisfysiikan rajoitukset eivät sitten kuitenkaan kiinnosta. No, hyvä, tämä selventää hieman sitä, mistä oli kyse.
"Voit kirjoittaa [väittämän a = 1 muuttujan a paikalle] jotain irrationaalilukua vastaava merkin, mutta et *mitä tahansa" irrationaalilukua. "
Niin, tästä olemme samaa mieltä. Kaikille irrationaaliluvuille ei riitä äärellisiä merkintöjä. En tietenkään ole missään vaiheessa väittänyt, että kykenisin kirjoittamaan jokaisen muotoa "a = 1" olevan väittämän. Pyydettäessä sijoittamaan a:n paikalle minkä tahansa reaaliluvun tein kuten pyydettiin. Vasta sittemmin on käynyt ilmi, että oikeasti haluttiin mainita, että joillekin reaaliluvuille ei vain löydy äärellistä merkintää.
"Puhut väittämistä, joita ei voida mitenkään äärellisesti kuvailla ja pidät sitä luonnollisena?"
Pidätkö sinä reaalilukujen joukkoa luonnottomana, koska jokaista reaalilukua ei voi äärellisesti kielellämme kuvailla? Ja kuitenkin pidät luonnollisten lukujen joukkoa luonnollisena, vaikka löytyy liian suuria luonnollisia lukuja kirjoitettavaksi millään merkkijärjestelmällä (yksikäsitteisesti)?
Nimimerkki Lkjafda: "Miksi [Cantorin diagonaaliargumentilla] ei voi todistaa luonnollisten lukujen joukkoa numeroitumattomaksi?"
Samasta syystä kuin kenkäharjallakaan ei voi: koska N on numeroituva. Epätosia väittämiä ei voi todistaa. Tämänhän Jukepuke jo totesikin.
miten vain. käytän energiani muuhuuhun.
...siihen sinun desimaaliesitys viestiin ja ilmeisesti ymmärsin väärin sen tarkoitusperän? Voisitko siis tarkentaa, että mitä haet/hait sillä takaa (jos energiaa vielä löytyy)? Ei ole kyllä ollut tarkoitus kierrellä.
"Niin, en tietenkään väittänyt, että (kirjoitettuna) äärellisen pituisia väittämiä olisi äärellinen määrä." ... "Vastauksesta päätellen nämä ihmisfysiikan rajoitukset eivät sitten kuitenkaan kiinnosta. No, hyvä, tämä selventää hieman sitä, mistä oli kyse"
Eiköhän kyse ole siitä, että matemaattiseksi lauseeksi ei mielletä lausetta, joka on äärettömän pitkä. Matemaattiset lauseet ovat aina äärellisen pituisia ja niitä on sen takia numeroituvasti ääretön määrä.
Mitä merkkijonon pituuteen tulee, niin käsitettä "numeroituvasti äärettömän pitkä" en ole kyllä aiemmin kuullut.
"En tietenkään ole missään vaiheessa väittänyt, että kykenisin kirjoittamaan jokaisen muotoa "a = 1" olevan väittämän. Pyydettäessä sijoittamaan a:n paikalle minkä tahansa reaaliluvun tein kuten pyydettiin. "
En pysty kirjoittamaan auki ensimmäistäkään mainituista syistä - irrationaaliluvun desimaaliesitys voi olla rajattoman pitkä, jolloin lause ei voi päättyä merkkeihin "= 1". Johan tämä todettiin. Et sijoittanut siihen mitä tahansa reaalilukua vaan tulkinnan. Kirjoitit siihen jonkin merkkijonon, jolle annoit tulkintoja. Jos asia olisi kuten sanot, niin olisi olemassa numeroitumaton määrä lauseita "a = 1" jotka ovat toistensa kanssa samanlaisia (identtisiä merkkijonoja). Matemaattinen lause "f = 3" on vain yksi lause. Jos haluat leventää pelikenttää, niin se levennys pitää naputella siihen lauseeseen mukaan, esim. "kaikilla f in N pätee f =\= 0 kun N on positiivisten luonnollisten lukujen joukko". Tässäkin N itse asiassa on purettavissa vielä auki.
Nyt lauseessa f voi saada eri arvoja, mutta kyseinen lause on kuitenkin vain yksi lause.
"Matemaattiset lauseet ovat aina äärellisen pituisia ja niitä on sen takia numeroituvasti ääretön määrä."
No, olen edelleen eri mieltä. Rajoittumalla tarkastelemaan vain (kirjoitettuna) äärellisen mittaisia väittämiä emme tavoita kaikkia matemaattisia väittämiä. Tällainen rajoittuminen ei ole tarpeen. Ei ainakaan alkuperäisen kysymyksen kontekstissa.
"-- irrationaaliluvun desimaaliesitys voi olla rajattoman pitkä, jolloin lause ei voi päättyä merkkeihin "= 1". Johan tämä todettiin. Et sijoittanut siihen mitä tahansa reaalilukua vaan tulkinnan."
Ilmeisesti puhut nyt esittämästäni väittämästä pii = 1. Minusta tuntuu uskomattomalta, että samaistat reaaliluvun niin tiukasti sen desimaaliesitykseen. Kyllä desimaalilukua voi käsitellä muutenkin kuin antamalla sen desimaaliesityksen. Sana pii, ympyrän kehän ja halkaisijan suhde ja eräs desimaaliluku, joka alkaa 3,14, tarkoittavat todellakin yhtä ja samaa reaalilukua. Nämä kaikki ovat kolme ovat merkintöjä tuolle reaaliluvulle, ja vaikka yksi näistä on laskennallisesti toisia mukavampi, se ei silti ole ainoa tapa käsitellä tuota lukua. Jos reaalilukuun voisi viitata vain antamalla sen desimaaliesityksen, emme voisi käsitellä kuin häviävän pientä osaa rationaaliluvuista.
Tässä vaiheessa on varmaan pakko kysyä, mitä oikein tarkoitat käsitteellä "lause". Tähän asti olen ymmärtänyt, että tarkoitat sillä väittämää, joka voi olla joko tosi tai epätosi. Näin ymmärsin siksi, että tämä sopii alkuperäisen kirjoittajan kysymykseen. Nyt vaikuttaa, että tarkoitat jotain muuta. Selvennä, ole hyvä.
"Jos asia olisi kuten sanot, niin olisi olemassa numeroitumaton määrä lauseita "a = 1" jotka ovat toistensa kanssa samanlaisia (identtisiä merkkijonoja)."
Niin, muotoa a = 1, jossa a on reaaliluku, olevia väittämiä on tosiaan ylinumeroituva määrä. En tosin ymmärrä, miksi kannastani seuraisi, että on olemassa "samanlaisia lauseita" enkä sitä, mitä tarkoitat identtisillä merkkijonoilla. Mitä tekemistä merkkijonoilla on tämän asian kanssa? Ei väittämän sisältö riipu siitä, millaisilla merkeillä se on koodattu.
"Jos haluat leventää pelikenttää, niin se levennys pitää naputella siihen lauseeseen mukaan, esim. "kaikilla f in N pätee f =\= 0 kun N on positiivisten luonnollisten lukujen joukko"."
Se a:n määrittely löytyy viestistä, jossa ensimmäisen kerran käsittelin väittämää a = 1.
"No, olen edelleen eri mieltä. Rajoittumalla tarkastelemaan vain (kirjoitettuna) äärellisen mittaisia väittämiä emme tavoita kaikkia matemaattisia väittämiä. Tällainen rajoittuminen ei ole tarpeen. Ei ainakaan alkuperäisen kysymyksen kontekstissa. "
Yleensä juuri tähän rajoitutaan kun puhutaan matematiikan lauseista. Onko sinun mielestäsi esim. lukuteoriassa ylinumeroituva määrä lauseita? Siis kun puhutaan pelkästään lukuteoriasta ja sen kielellä esitettävistä lauseista?
..
Matematiikassa lause on äärellismittainen merkkijono. Ei mitään muuta.
Merkkijono "a = 1" on yksi merkkijono. Merkkijono "b = 1" on eri merkkijono ja siis eri lause. Merkkijono "2 = 1" ja "3 = 1" ovat *eri* merkkijonoja. Et voi todeta, että jotain muotoa olevia lauseita on jokin tietty määrä. Siinä ei ole mieltä. Sinun pitää konstruoida se merkkijono jotenkin.
"Ilmeisesti puhut nyt esittämästäni väittämästä pii = 1. Minusta tuntuu uskomattomalta, että samaistat reaaliluvun niin tiukasti sen desimaaliesitykseen."
En tule nyt ymmärretyksi. Voit kirjoittaa "pii = 1" ja sanoa, että se on lause. Toki se on lause, ei siinä mitään. Sinun pitää vain kiinnittä nyt mitä merkkijono "pii" tarkoittaa. Kun se on kiinnitetty, niin se on kiinnitetty. Sen jälkeen lause "toinenarvomerkkijonollepii = 1" on *eri lause*.
"Tässä vaiheessa on varmaan pakko kysyä, mitä oikein tarkoitat käsitteellä "lause". Tähän asti olen ymmärtänyt, että tarkoitat sillä väittämää, joka voi olla joko tosi tai epätosi."
Tarkalleen tarkoitan merkkijonoa ja tulkintamekanismia (formalismia) jolla voidaan mielekkäästi puhua kyseisen merkkijonon totuusarvoista. Esimerkiksi propositiologiikassa lause on sellainen merkkijono joka voidaan luoda säännöillä:
i) propositiosymbolit p1, p2, ... ovat propositiolauseita.
ii) Jos A on propositiolauseita, niin ~A on propositiolause
iii) Jos A ja B ovat propositiolauseita, niin (A -> B) on propositiolause.
Muut merkkijonot eivät ole lauseita. (Sitten määritellään normaalisti totuusarvot.)
"Mitä tekemistä merkkijonoilla on tämän asian kanssa? Ei väittämän sisältö riipu siitä, millaisilla merkeillä se on koodattu. "
Ei merkeistä, mutta merkkien sovitusta semantiikasta. Ilman tarkasti sovittua semantiikka ei ole mielekästä puhua merkkijonoista matemaattisina lauseina. Et voi vaihdella merkin merkitystä mielinmäärin (tähän viittaan tulkinnalla, niitä voi olla poskettoman paljon).
Jokohan nyt...?
Kiitos tarkennuksista.
"Yleensä juuri tähän rajoitutaan kun puhutaan matematiikan lauseista. Onko sinun mielestäsi esim. lukuteoriassa ylinumeroituva määrä lauseita?"
Lukuteoreettiset väittämäthän ovat vain pieni osa kaikista matemaattisista väittämistä. En nyt keksi, miksi lukuteorian väittämiä olisi ylinumeroituvasti. Äärettömästi niitä kyllä on.
"Et voi todeta, että jotain muotoa olevia lauseita on jokin tietty määrä. Siinä ei ole mieltä. Sinun pitää konstruoida se merkkijono jotenkin."
Ei tarvitse. Mitä eroa seuraavissa mielestäsi on:
"Muotoa a = 1 olevia väittämiä, joissa a on joko 0 tai 1, on kaksi kappaletta."
"Muotoa a = 1 olevia väittämiä, joissa a on reaaliluku, on ylinumeroituvan monta."
Onko toinen toista hyväksyttävämpi? Minusta molemmat ovat väittämiä, joilla on selkeä totuusarvo.
"Voit kirjoittaa "pii = 1" ja sanoa, että se on lause. -- Sinun pitää vain kiinnittä nyt mitä merkkijono "pii" tarkoittaa. -- Sen jälkeen lause "toinenarvomerkkijonollepii = 1" on *eri lause*."
Niin no, tätähän minä olen juuri yrittänyt sanoa. Väittämiä "a = 1" on juuri niin monta kuin on lukuja symbolin a paikalle. Eli niin monta, kuin on mahdollisuuksia kiinnittää a, jos tämä sanamuoto tuntuu mielestäsi sopivammalta. Se, miten tämä liittyy desimaaliesityksen päättymättömyyteen, on epäselvää. Sillähän aiemmin perustelit, miksi irrationaalilukua ei voisi kirjoittaa a:n paikalle.
"Et voi vaihdella merkin merkitystä mielinmäärin."
Jokaisessa muotoa a = 1 olevassa väittämässä on a tietenkin yksi ainoa kiinnitetty reaaliluku, ei sen merkitys mitenkään muutu.
"En nyt keksi, miksi lukuteorian väittämiä olisi ylinumeroituvasti."
Jos sallit äärettömän pituiset säännöttömät lauseet (vrt reaalinumerot), niin niitä tulee ylinumeroituvasti. Sallimalla tämän puolestaan esim. Gödel-numerointi menee rikki ja epätäydellisyyslausetta ei olisi. Jos Gödel olisi elossa hän varmaan pyörisi haudassaan tämän jälkeen.
"Ei tarvitse. Mitä eroa seuraavissa mielestäsi on:"
Kyllä tarvitsee. Miten muuten määrittelet lauseen todistamisen? Entä totuusarvon? Esittämäsi väittämät ovat kaksi eri matemaattista lausetta. Niiden totuusarvo taas riippuu valitusta formalismista ja aksioomista. Matemaattisen lauseen totuusarvosta puhuminen ei ole mielekästä ilman todistamisen ja lauseen totuuden tarkkaa määrittelemistä. Onko Riemannin hypoteesi tosi lause? Entä todistuva?
"Väittämiä "a = 1" on juuri niin monta kuin on lukuja symbolin a paikalle. "
Tässä ei ole oikein järkeä tässä kontekstissa. Kysymys oli, että kuinka iso osa mielekkäistä matemaattisista lauseista on todistuvia.
Miten sinä määrittelet todistamisen ja totuusarvon? Minulle todistaminen on valitussa formalismissa keino johtaa lause aksioomista sovituilla säännöillä. Myös lauseen totuusarvoa pitää pystyä tarkastelemaan tarkasti. Ilman näitä koko kysymyksenasettelussa ei ole mitään järkeä. (Ja nimenomaan kysyttiin todistuvien lauseiden joukkoa)
" Se, miten tämä liittyy desimaaliesityksen päättymättömyyteen, on epäselvää. Sillähän aiemmin perustelit, miksi irrationaalilukua ei voisi kirjoittaa a:n paikalle. "
Tähän olen jo vastannut useampaan otteeseen. Vielä kerran: koska desimaaliesitys voi olla päättymätön, saisit väittämän, joka on äärettömän pitkä ja joka loppuisi merkkeihin " = 1". RR
Miten tuollaisen lauseen totuusarvoa sitten voitaisiin tutkia? Sen totuusarvo ei ole ollenkaan päivänselvä. Entä sen todistumista? Kumpaakaan näistä ei voida tehdä jos tarkasteltava merkkijono ei ole joko äärellisen pituinen tai yhtäpitävä äärellisen pituisen toisen merkkijonon kanssa. Voimme puhua sellaisten päättymättömien lauseiden kuten "1 = 3.14159..." totuusarvosta jos päättelyjärjestelmälle kerrotaan mikä oikealla puolella on (pii ja se tunnistaa sen). Jos päättelyjärjestelmä ei tiedä mitä siellä on, niin miten se voi ottaa kantaa todistuvuuteen kun sille ei voida ikinä kertoa koko lausetta? Onko tässä epämääräisessä kontekstissa "1.1298321... = 1.1298321..." tosi tai todistuva?
Näiden syiden takia tällaisessa kontekstissa pitäydytään äärellisissä merkkijonoissa. Asiaa pitää tarkastella päättelyjärjestelmän sisältä, ei ulkopuolelta. Ei voida mitenkään tutkia onko jokin satunnainen merkkijono todistuva annetuista aksioomista annetussa formalismissa ellei joko tiedetä miten jono konstruoidaan tai tunneta koko jonoa. Formalismi voi kyllä generoida tosia/todistuvia merkkijonoja, joiden pituus on ääretön, mutta niitä on korkeintaan numeroituva määrä.
(Vastaan myöhempään viestiin aiemman kautta, sillä viestiketjun syvyysraja tuli vastaan.)
Täytyy aluksi tunnustaa, etten ole mikään matemaattisen logiikan erikoisasiantuntija. Olkaa siis valppaana mahdollisten virheiden varalta, ja mainitkaa niistä.
"Jos sallit äärettömän pituiset säännöttömät lauseet (vrt reaalinumerot), niin niitä tulee ylinumeroituvasti. Sallimalla tämän puolestaan esim. Gödel-numerointi menee rikki ja epätäydellisyyslausetta ei olisi. Jos Gödel olisi elossa hän varmaan pyörisi haudassaan tämän jälkeen."
En ole väittämässä, että _lukuteorian_ kontekstissa olisi ylinumeroituva määrä väittämiä. Jotta saadaan keskustelulle enemmän konkreettista pohjaa, sanotaan vaikka, että väitän seuraavaa: reaalilukuja koskevia väittämiä on ylinumeroituvan monta.
Gödel-numerointi on _lukuteorian_ formalisointiin liittyvä käsite. Se, että väitän reaalilukuja koskevia väittämiä olevan ylinumeroituvasti ei hetkauta lukuteoreettisten väittämien Gödel-numerointia. Lukuteoria käsittelee luonnollisten lukujen ominaisuuksia, se ei kykene käsittelemään reaalilukuja.
Lisäksi haluan uskoa, ettei herra Gödeliä sentään elävältä haudattaisi =)
"Esittämäsi väittämät ovat kaksi eri matemaattista lausetta. Niiden totuusarvo taas riippuu valitusta formalismista ja aksioomista."
Hyväksyessäsi jälkimmäisen väittämän matemaattiseksi lauseeksi hyväksyt sen, että tiettyä muotoa olevien väittämien määrästä voidaan kuitenkin puhua. Vaikka tämänhän juuri kielsit edellisessä viestissäsi! Lisäksi (korjaa, jos olen väärässä), käsittääkseni totuusarvo ei riipuu aksioomista ja formalismista (tarkoitatko tällä päättelysääntöjä?), vaan kielen semantiikasta, merkitysopista.
"Matemaattisen lauseen totuusarvosta puhuminen ei ole mielekästä ilman todistamisen ja lauseen totuuden tarkkaa määrittelemistä. Onko Riemannin hypoteesi tosi lause? Entä todistuva?"
Totuusarvosta puhumiseen ei tarvittane todistamiseen liittyvää koneistoa. Riemannin hypoteesi on tosi tai epätosi, vaikkakaan emme vielä tiedä, kumpi. Ja näin on riippumatta siitä, onko se todistuva vai ei. En kiistä tätä.
"Tässä ei ole oikein järkeä tässä kontekstissa. Kysymys oli, että kuinka iso osa mielekkäistä matemaattisista lauseista on todistuvia."
Ei vaan kysymys kuului (suora lainaus): "-- mikä on todistumattomien lauseiden osuus kaikista lauseista --". Siis ei ollut puhetta "mielekkäistä matemaattisista lauseista". Ristiriita välillämme kumpuaa nähdäkseni kylläkin siitä, mitä pidämme mielekkäinä matematiikan väittäminä.
"Miten sinä määrittelet todistamisen ja totuusarvon? Minulle todistaminen on valitussa formalismissa keino johtaa lause aksioomista sovituilla säännöillä. Myös lauseen totuusarvoa pitää pystyä tarkastelemaan tarkasti. Ilman näitä koko kysymyksenasettelussa ei ole mitään järkeä. (Ja nimenomaan kysyttiin todistuvien lauseiden joukkoa)"
Todistamisen käsitän juuri samoin kuin sinä. Keskustelun seuraava luonnollinen askel on kiinnittää jokin ZFC-joukko-opin looginen formalisointi viitekehykseksi ja alkaa käsitellä asiaa sieltä käsin. Näin ei tule epäselvyyttä siitä, mitkä kelpaavat käsiteltäviksi "lauseiksi" ja miten niitä todistetaan. Itse en tällaisia formalisointeja tunne, mutta ehkä joku muu osaa osoittaa sellaisen jostain. Ihan vain varalta muistutan, että tämän formalisoinnin täytyy olla jotain lukuteorian formalisointeja laajempaa, jos kerran halutaan puhua kaikesta matematiikasta, kuten alkuperäisessä kysymyksessä.
"Tähän olen jo vastannut useampaan otteeseen. Vielä kerran: koska desimaaliesitys voi olla päättymätön, saisit väittämän, joka on äärettömän pitkä ja joka loppuisi merkkeihin " = 1". RR"
Ja tähän olen jo monesti sanonut, että desimaaliesitykset eivät ole ainoita tapoja käsitellä reaalilukuja. Lisäksi olen yhä sitä mieltä, ettei väittämää tarvitse pystyä kirjoittamaan, jotta se olisi olemassa, ts. jotta sitä voitaisiin käsitellä. Taannoin huomautin, että suurinta osaa luonnollisia lukuja koskevista väittämistäkään ei kyetä kirjoittamaan.
"Miten [muotoa a = 1, jossa a \in R olevan] lauseen totuusarvoa sitten voitaisiin tutkia?"
Helposti. Väittämä a = 1 on tosi (tässä tutussa jokapäiväisessä matematiikassa), jos a on reaaliluku 1. Väittämä a = 1 on epätosi, jos a ei ole reaaliluku 1.
"Entä sen todistumista? Kumpaakaan näistä ei voida tehdä jos tarkasteltava merkkijono ei ole joko äärellisen pituinen tai yhtäpitävä äärellisen pituisen toisen merkkijonon kanssa. -- Voimme puhua sellaisten päättymättömien lauseiden kuten "1 = 3.14159..." totuusarvosta jos päättelyjärjestelmälle kerrotaan mikä oikealla puolella on (pii ja se tunnistaa sen). Jos päättelyjärjestelmä ei tiedä mitä siellä on, niin miten se voi ottaa kantaa todistuvuuteen kun sille ei voida ikinä kertoa koko lausetta?"
Vastaus on tietenkin yksinkertainen: kerrotaan järjestelmälle, mikä luku on kyseessä.
Pohjimmiltasi sanot siis, että tuossa ylempänä peräänkuuluttamaani ZFC:n formalisointia ei ole muodostettavissa. Olet ehkä oikeassa, en tunne asiaa tarpeeksi voidakseni päättää. Tuntuisi kuitenkin uskomattomalta, ettei jokin ylinumeroituva indeksointi hoitaisi formalismiin sen tarvittavan ylinumeroituvan symbolijoukon. Samaan tapaan kuin predikaattilogiikkaan tuodaan numeroituvasti ääretön joukko predikaattisymboleita numeroituvan indeksijoukon kautta. Mutta kuten sanottu, otan mielelläni vastaan opastusta tässä aiheessa (mieluiten kirjasuositusten ja nettilinkkien muodosssa, kiitos).
(kirjoitan pitkän päivän jälkeen, toivottavasti en tee pahoja virheitä)
"En ole väittämässä, että _lukuteorian_ kontekstissa olisi ylinumeroituva määrä väittämiä."
Mitä väliä sillä on onko se väittämä päättymätön läjä numeroita vai päättymätön läjä kirjaimia? Siis ei kai teoria vaikuta tähän mitään? Minun silmissäni ne ovat tässä kontekstissa sama asia. Lukuteoria on pieni kiva teoria ja siitä voidaan johtaa lauseita. Annetaan noiden lauseiden pituuden saavuttaa ääretön.
"Hyväksyessäsi jälkimmäisen väittämän matemaattiseksi lauseeksi hyväksyt sen, että tiettyä muotoa olevien väittämien määrästä voidaan kuitenkin puhua. Vaikka tämänhän juuri kielsit edellisessä viestissäsi!"
Puhumme eri asiasta. Minun silmissäni on lause "tietynmuotoisia matemaattisia lauseita on sata kappaletta" on yksi, sinun silmissäsi sata.
"Lisäksi (korjaa, jos olen väärässä), käsittääkseni totuusarvo ei riipuu aksioomista ja formalismista (tarkoitatko tällä päättelysääntöjä?), vaan kielen semantiikasta, merkitysopista."
En ole nyt aivan 100 varma mistä tarkalleen puhumme. Jotta matematiikasta voitaisiin puhua pitää tietenkin määritellä ensin käsitteet, pitää luoda koneisto, jolla operoidaan. Formaali koneisto on tarkka tapa määritellä ensin lauseille merkitykset ja sitten säännöt minkä puitteissa päättelyä voidaan tehdä. Siis semantiikka on mukana formalismissa, todistamisesta ei ole (minun mielestäni) mielekästä puhua tässä kontekstista ilman sen tarkkaa määrittelyä eli ilman formalismia. Lauseen totuusarvosta ja mahdollisesta ristiriidasta aksioomin nähden voidaan keskustella ilman formalismia, mutta sen todistamisesta ei.
"Totuusarvosta puhumiseen ei tarvittane todistamiseen liittyvää koneistoa."
No ei, tuo oli lapsus. Ne kuitenkin kulkevat siinä mielessä käsikkäin, että todistuvan lauseen pitää olla tosi tai jotain on pielessä.
""Tässä ei ole oikein järkeä tässä kontekstissa. Kysymys oli, että kuinka iso osa mielekkäistä matemaattisista lauseista on todistuvia."
Ei vaan kysymys kuului (suora lainaus): "-- mikä on todistumattomien lauseiden osuus kaikista lauseista --". Siis ei ollut puhetta "mielekkäistä matemaattisista lauseista". Ristiriita välillämme kumpuaa nähdäkseni kylläkin siitä, mitä pidämme mielekkäinä matematiikan väittäminä."
Myöskin suora lause vastauksesta tarkennuspyyntöön "(JOTKA SIIS OVAT LAUSEITA EIKÄ VAIN KIRJAINMÖSSÖÄ)". Mielestäni tämä on aika selkeä. Ristiriidan paikka on ainakin paikallistettu.
"Todistamisen käsitän juuri samoin kuin sinä."
En ole tästä aivan varma.
"Keskustelun seuraava luonnollinen askel on kiinnittää jokin ZFC-joukko-opin looginen formalisointi viitekehykseksi ja alkaa käsitellä asiaa sieltä käsin."
Käsittääkseni toisen kertaluvun predikaattilogiikka riittää "loogiseksi koneistoksi".
"Ihan vain varalta muistutan, että tämän formalisoinnin täytyy olla jotain lukuteorian formalisointeja laajempaa, jos kerran halutaan puhua kaikesta matematiikasta, kuten alkuperäisessä kysymyksessä."
Alkuperäisen kysymyksen vastaus riippuu valitusta formaalista koneistosta. Ei ole mielekästä puhua tietyn mittaisten lauseiden todistuvuudesta ilman formaalia kontekstia. Lauseet "(A->B)" ja "[A->B]" voivat olla todistuvia, todistumattomia, tosia, epätosia tai puppua ihan sen mukaan miten asiat määritellään. Ei myöskään ole mielekästä puhua sellaisesta koneistosta, joka vastaisi kaikkiin matematiikan tarpeisiin. Uskoakseni sellaista ei ole eikä tule (valistunut arvaus).
""Tähän olen jo vastannut useampaan otteeseen. Vielä kerran: koska desimaaliesitys voi olla päättymätön, saisit väittämän, joka on äärettömän pitkä ja joka loppuisi merkkeihin " = 1". RR"
Ja tähän olen jo monesti sanonut, että desimaaliesitykset eivät ole ainoita tapoja käsitellä reaalilukuja."
Ja tähän vastaan, että käsittelet reaalilukuja ihan miten vain, niin niiden (melkein kaikkien) esityksistä tulee äärettömän pitkiä. Tätähän numeroitumattomuus juuri tarkoittaa. Saat valita esitysmuodon vapaasti jos se häiritsee.
"Lisäksi olen yhä sitä mieltä, ettei väittämää tarvitse pystyä kirjoittamaan, jotta se olisi olemassa, ts. jotta sitä voitaisiin käsitellä. "
Todistuvuuden kontekstissa pitää. Ei muuten voida keskustella sen todistuvuudesta.
"Taannoin huomautin, että suurinta osaa luonnollisia lukuja koskevista väittämistäkään ei kyetä kirjoittamaan."
Riippuu taas mitä tarkoitat väittämällä. Muista, että keskustelun aihepiiri on lauseiden todistuvuus... ettet vain sekoita väittämää ja väittämäjoukkoa?
""Miten [muotoa a = 1, jossa a \in R olevan] lauseen totuusarvoa sitten voitaisiin tutkia?"
Helposti. Väittämä a = 1 on tosi (tässä tutussa jokapäiväisessä matematiikassa), jos a on reaaliluku 1. Väittämä a = 1 on epätosi, jos a ei ole reaaliluku 1."
Puhut joukoista etkä lauseista.
"Vastaus on tietenkin yksinkertainen: kerrotaan järjestelmälle, mikä luku on kyseessä."
Ihan yksitellen? Miten se tehdään? Nyt tipahdin kärryiltä.
"Pohjimmiltasi sanot siis, että tuossa ylempänä peräänkuuluttamaani ZFC:n formalisointia ei ole muodostettavissa."
En sano. Mitä ovat ZFC:stä johdettavat lauseet? Voivatko ne olla äärettömän pitkiä? Onko niitä ylinumeroituva määrä?
Minä en ymmärrä miten niitä lauseita voisi olla ylinumeroituva määrä. Todistumisen käsite jo itsessään vaatii, että annettu lause pitää pystyä todistamaan aksioomista, eli lause pitää pystyä *johtamaan* aksioomista. Jos lauseita olisi ylinumeroituvasti, niin suhde todistuvat/todistumattomat on nolla, koska vain numeroituva määrä voidaan todistaa.
Minä en myöskään ymmärrä miten ylinumeroituvasta määrästä lauseita niitä jokaista voitaisiin käsitellä. Lauseiden joukkoa kyllä, mutta silloin on kyseessä taas eri asia - niiden *joukkoa* koskevat väitteet.
Onkohan nyt niin, että minä puhun lauseista ja sinä malleista, jotka toteuttavat annetun lausejoukon? Mallihan voi luonnollisesti olla ylinumeroituva.
Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan tapauksessa jokaisesta ylinumeroituvasta mallista voidaan eroittaa numeroituva osamalli, joka toteuttaa annetun teoreeman (lausejoukon). Tämähän on suoraan mitä Löwenheim-Skolemin lause sanoo.
Tosin ensimmäisen kertaluvun logiikalla ei voi kuvata toisen kertaluvun logiikkaa, mutta toisen kertaluvun logiikalla taas on olemassa keino mekaanisesti tarkistaa onko jokin lause todistuva aksioomista vai ei. Ylinumeroituvalle lausejoukolle tämä ei onnistuisi.
Hmm, jos rajoittaudutaan ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikaan, niin tulee ongelmia ZFC:n kanssa. Suoraan ZFC:n aksioomista seuraa, että sillä on ylinumeroituva malli, juuri reaalilukujen joukko. Ja erityisesti seuraa, että kyseinen malli on *väistämättä* ylinumeroituva! Toisaalta juuri Löwenheim-Skolemin lause sanoo, että tällä mallilla on numeroituva osamalli joka toteuttaa juuri samat lauseet kuin ylinumeroituva malli! Kuten tietänet, tämä on kuuluisa Skolemin paradoksi. Tavallaan numeroituva malli sisältää ylinumeroituvan. Minun mielestäni tämä indikoi, että jokainen lausejoukko (joukko matemaattisia lauseita) on numeroituva ja varsinkin, että vaikka sopisit jokaisen reaaliluvun vastaavan jotain matemaattista lausetta, jolloin olisit luonut numeroitumattoman määrän matemaattisia lauseita, niin sille löytyisi numeroituva vastine.
Meni muutama viikko sulatellessa asioita. No, ei huolta, eivät ne sen selkeämmiksi tulleet. En ehkä saa lisättyä tähän keskusteluun enää mitään sellaista relevanttia, jota en olisi jo aiemminkin yrittänyt. Tämä siis olkoon loppupuheenvuoroni --- ellei into jostain syystä uudelleen iske.
Lkasdf, ehdotat viimeisimmässä viestissäsi, että ehkä puhumme eri asioista: sinä kielestä ja minä sen mallista. Näin voi hyvinkin olla. En vain osaa sanoa, sillä en koskaan oikein ole oppinut, mikä malli oikein on.
Se, miksi alunalkaen totesin, että väittämiä (lauseita, sanoja, propositioita --- terminologia näyttää vaihtelevan) on ylinumeroituvasti, johtui puhtaasti käytännön matematiikan antamasta osviitasta. En siis miettinyt taustalla olevaa logiikkaa, vaan ajattelin: reaalilukuja on ylinumeroituvasti ja voin väittää jotain jokaisesta reaaliluvusta. Valitsin väittämäksi "on yhtäkuin yksi". Koska tarjolla oli ylinumeroituva määrä lukuja, ajattelin että voin verrata ylinumeroituvaa määrää lukuja lukuun yksi. En tietenkään ajatellut, että nämä väittämät voitaisiin kirjoittaa näkyviin, mutta jossain mielessä ne silti ovat olemassa. Olen yhä tällä kannalla.
Se, miten logiikka todella käsittelisi näitä väittämiä, oli ja on yhä minulle vierasta. Teit eron lausejoukon ja lauseen välillä. En aivan niellyt --- ainakaan kaikkea --- mitä sanoit. Jotain järkeä tuntuu kuitenkin olevan siinä, miten totesit, että numeroituvasta aksioomajoukosta saadaan aikaiseksi vain numeroituva määrä päättelyketjuja. (Hmm... vaikuttaako aksioomaskeemojen olemassaolo tähän jotenkin?)
Asiaa täytyy vielä jossain välissä varmaankin vielä vähän miettiä. Tässä vaiheessa voin tyytyä siihen, että en vielä osaa logiikkaa tarpeeksi, jotta täysin kykenisin arvioimaan kommenttejasi, Lkasdf.
Menestyksekästä jatkoa kaikille asiaa seuranneille!