Kysyjälle 'Kuinka niin suppenee': (Summalausekkeesta näyttää jääneen viimeinen sulkumerkki pois, mutta oikein se on ymmärretty.)
Mikähän tässä on, kun minä saan siitä piin. Kun laskukoneella (kerran tarkistettuna) naputtaa 10 ensimmäistä termiä, niin tulee piin 4 ensimmäistä numeroa. Summasta tulee 0.570553011. Se kertaa kaksi ja sitten plus kaksi on jo lähellä pii'tä. Vai muistankohan merkinnän väärin. Eikö esim. 9!! tarkoittanut 9*7*5*3*1.
Ensimmäinen kaava näin kirjoitettuna näyttää varmaankin sekavalta, mutta se on aika yksinkertainen. Tänä päivänä katselin muistiinpanoja perusteluksi, mutta ne ovat jo 30 vuotta vanhoja ja niin huitaisemalla tehty etten saa niistä oikein selvää. Palaan asiaan jos jotakin valmista syntyy.
Mikähän tässä on, kun minä saan siitä piin. Kun laskukoneella (kerran tarkistettuna) naputtaa 10 ensimmäistä termiä, niin tulee piin 4 ensimmäistä numeroa. Summasta tulee 0.570553011. Se kertaa kaksi ja sitten plus kaksi on jo lähellä pii'tä. Vai muistankohan merkinnän väärin. Eikö esim. 9!! tarkoittanut 9*7*5*3*1.
Ensimmäinen kaava näin kirjoitettuna näyttää varmaankin sekavalta, mutta se on aika yksinkertainen. Tänä päivänä katselin muistiinpanoja perusteluksi, mutta ne ovat jo 30 vuotta vanhoja ja niin huitaisemalla tehty etten saa niistä oikein selvää. Palaan asiaan jos jotakin valmista syntyy.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Ahaa, luulin, että 9!! = (9!)! eli esim.
3!! = 6! = 720
mutta se olikin tuo "joka toinen"-tyyppinen kertoma.
Juu, eli tosiaan esimerkiksi tästä Octave/Matlab
skriptinpätkästä saadaan hyvin lähellä piitä oleva
luku:
S=0;for j=1:100,S=S prod(1:j)/prod(1:2:(2*j 1));end;2 2*S
Tuoltahan se löytyy, kaava numero 23:
http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
Sain juuri opastusta, ettei tarvitse aina mennä yleiselle sivustolle.
Kaavan 1 kohdalla näyttää ajatus olleen tämä:
(Seuraavassa B(n,k) on binomikertoimen merkintä,
eli se mikä tavallisesti merkitään isoilla kaarisuluilla.)
Määritellään jatkuva binomikäyrä B(n,x), jolla on sama rakenne kuin tavallisella binomijakautumalla B(n,k), mutta nyt nimittäjän kertoimet x! ja (n-x)! on korvattava Gamma-funktioilla (kreikkalainen iso gamma). Kokonaislukupisteissä B(n,x) ja B(n,k) antavat samat arvot.
Nyt integroidaan B(n,x) integraalin määritelmän mukaan kahdella tavalla. Toisessa jakopisteiksi otetaan kokonaislukupisteet joissa funktio saa tavallisen binomikertoimen arvot ja toisessa jakopisteiksi otetaan puolilukupisteet. Kokonaislukupisteistä laskettuna integraali lähestyy arvoa Sigma B(n,k)=2^n. (Kreikan iso sigma.)
B(n,x):n puolilukuarvot saadaan seuraavalla tavalla (tässä k on pariton ja 1
Juu, idea on ok, eli kun määritellään
B(n,x) = n! / [Gamma(x 1) Gamma(n-x 1)]
niin homma juju on, että kun n --> ääretön
[Summa B(n,k 1/2)] / [Summa B(n,k)] --> 1
jossa k=1,...,n. Varmastikin näin on, mutta
integraalien kanssa tällä on aika vähän tekemistä.
Muuten, yllä antamani linkin kaava (23) on siis
tasan se antamasti yksinkertaisempi lauseke
piille. Siellä sivulla on muuten viitteitä
siihen miten se on johdettu.