voi laskea kynällä ja paperilla.
Voiko kuutiojuuren laskea jollakin menetelmällä kynällä ja paperilla?
Voiko kuutiojuuren laskea jollakin menetelmällä kynällä ja paperilla?
Neliöjuuren
sitroen.
81241
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
(En arvaa antaa mitään kaavaa, mutta vastaan kuitenkin)
Kuutiojuuren voi laskea kynällä ja paperilla siinä kuin minkä tahansa muunkin laskettavan funktion. Tietokoneet laskevat ihan (noh ~ ehkä kuitenkin melkein) samoilla periaatteilla kuin ihmisetkin - toimenpiteet on vain koodattu prosessoreille ystävälliseen muotoon. Periaatteessa voit laskea kynällä ja paperilla ihan samat asiat kuin vapaavalintaisella (fyysisellä) tietokoneella.
Suoraan en tiedä mikä kaava olisi ns. näppärä tähän touhuamiseen, mutta jos ohjelmointitaitoa on, niin suosittelen kääntymään Veijo Googlen puoleen ja hakemaan jotain ohjelmoitua toteutusta. Niistä saa yleensä kivoja ideoita. Lonkalta heittäisin, että jokin sopiva potenssisarjakehitelmä tai ihan perinteinen Newtonin iteraatio antavat kelvolliset työkalut tähän tarpeeseen.
Kuriositeettina voisi mainita, että tietokoneiden laskentavoimakkuus ei perustu mitenkään yliluonnollisiin kykyihin vaan oikeastaan päinvastoin. Niissä laskentatoimenpiteet on vain koodattu erilaiseen ja suhteellisen yksikertaiseen muottiin kuin intuitiivisesti kynällä ja paperilla laskettaessa tulee tehtyä. Jos teoriaa raaputtaa hieman syvemmältä, niin huomaa äkkiä, että hyvin vähäisellä mekaniikalla tulee toimeen vallan mainiosti (siinä mielessä "mainiosti", että eri toteutuksilla voidaan ratkaista täsmälleen samat ongelmat jos aika- tai muistivaatimuksia ei huomioida). Ehkä kuuluisin esimerkki tällaisesta "minimaalisella mekaniikalla" toimivasta "laskukoneesta" on toteutus jossa koneella on käytössään kaksi lukua, mahdollisuus lisätä ja poistaa kummastakin luvusta 1 (sillä rajoituksella ettei luku saa tulla negatiiviseksi, siis 0-1 on nolla) ja vertailla onko luku nolla. Tällä toteutuksella voidaan laskea kaikki laskettavissa oleva.
Jos x_0 on ensimmäinen arvaus luvun a kuutiojuurelle, niin iteraatio
x_n=1/3(a/x_{n-1}^2 2x_{n-1})
suppenee kohti a:n kuutiojuurta. Tämä seuraa Newtonin iteraatiokaavasta. Newtonin iteraatio tunnetusti suppenee useimmissa tapauksissa varsin nopeasti kohti juurta.
Toinen menetelmä on käyttää funktion (1 x)^(1/3) sarjakehitelmää. Veikkaisin tätä kuitenkin aika hitaaksi toimenpiteeksi, sillä sarjakehitelmissä joudutaan korottamaan lukuja korkeisiin potensseihin. Toisaalta riittävään tarkkuuteen ei välttämättä tarvitse ottaa kehitelmään mukaan kovinkaan montaa termiä. Varmaan tapauskohtaisesti kannattaa miettiä kumpi menetelmä sopii tarkoitukseen paremmin.
Miten vältit derivoidessa kuutiojuuren, jos käytit Newtonin menetelmää?
D(x^3-a)=3x^2
Mihin sinä kuutiojuuren derivaattaa tarvitset? Rationaalilausekkeitahan Newtonin iteraatiossa käytetään.
Esitit järkevän kysymyksen. Pitäisi kokeilla paperille, ennen kuin avautuu.
Kuutiojuuri luvusta a
Jos a>=1
niin
sijoitetaan a->yla ja 1->ala
(*)
(yla ala)/2->
jos |x^3-a|yla
Toistetaan kohdasta *
Siis joka kierroksella etsitään ratkaisulle ala ja ylarajaa ja testataan onko riittävä ratkaisu näiden puolivälissä. Välin pituus puolittuu joka kierroksella.
Joten tarkkuudella 10^(-s) eli
(a-1)/2^k3.332s 1.45 ln a
Esim tarkkuulla 10^(-9), kun a=123456789
k>57 eli 57 askeleella puolitusmenetelmällä voi laskea kuutio tai minkä tahansa juuren
9-numeroisesta kokonaisluvusta 0.000 000 001 tarkkuudella. Toki newtonin menetelmä on tehokkaampi, mutta tämän ymmärtämiseen ei tarvita korkeampaa matematiikkaa (raja-arvoja ja derivointia)
Tuoltahan tuo löytyy:
http://www.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
Kuutiojuuri kynä paperi
Näin silloin ennen kansakoulussa , juuria ratkaistiin.
Ei ollut : ATK ; Taskulaskinta ; laskutikkua ; älypuhelinta.
Oli vain ankara opettaja ; Karttakeppi; jälki-istunto; seisominen nurkassa ; luokasta poistaminen ; johja opettajan puhuttelu ; koti muikkari ; helmitaulu ; pyyhekumi ; lyijykynä ; ruudutonta pehmeää paperia ; vessapaperi oli perkeleen leivinpaperia arkkeina ; vasen kätisyys ; pakotettiin oikeakädelliseksi ; vettä satoi aina ; vilu ; nälkä ; kurjuus .
Näin koulua käytiin 60-luvulla.
Näitä juuren ratkaisu tapoja on ainakin neljä jos vaikka enämpi mutta tämä on taottu minunkin päähäni .
Nykyisin ihmiset eivät osaa laskea kynä paperi menetelmin.
Vittumaista koulun alkuaika kaikille opiskelijoille yhdessä ja erikseen , olisi oiken kusisia , matikka ,fysiikka, kemian tunteja sekä sataispa vettä paljon.
Kolmanteen potenssiin muisti lappu.
1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=215
7^3=434
8^3=512
9^3=729
10^3=1000
____________________________
Kuutio juuren selvittäminen vatulointia , iteröintiä , A4 vaaka tasossa ei muuten mahdu laskutoimitukset paperille.
3_____________
\/ 55742968.0 = 382
3_____________
\/ 55,742,968.0 |__3_8_2_____________________________________________
55 | |
-27 | 3×3^2=27 | 3×3^2×10×100= 27000
= 28 | | 3×3×10^2×10= 9000
28742 | 287÷27=10.62 | 10^3= +1000
- 37000 | | = 37000
= - 8258 | 287÷(27+3)=9.5 |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28742 | 9 | 3×3^2×9×100= 24300
- 32319 | | 3×3×9^2×10= 7290
= - 3577 | | 9^3 = - 729
| 287÷(27+3+3)=8.6 |
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28742 | 8 | 3×3^2×8×100 = 21600
- 27872 | | 3×3×8^2×10 = 5700
= 870 | | 8^3 = + 727
870968 | | 27872
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
870968 | 3×38^2=4332 | 3×38^2×2×100 = 866400
- 870968 | 8709÷4332= 2.0 | 3×38×2^2×10 = 4560
= 0 | | 2^3 = + 8
| | = 870968
_______________________________________________________________________________