Luulin jo selvittäneeni itselleni, että t0 ja l0 ovat aika ja pituus lepokoordinaatistossa, mutta sitten erehdyin katsomaan apuja vanhasta lukion oppikirjasta, ja eiköhän se sekoittanutkin minut.
Lukion kirjassa sanotaan, että yhtälössä t = t0/sqrt(1-(v/c)^2)) t on paikallaan olevan kellon aika ja t0 liikkeessä olevan kellon aika. Luentomuistiinpanoihini olen kyllä kirjoittanut ihan päinvastaista. Kumpi on oikein?
Toisessa lukion esimerkissä sanotaan vastaavassa yhtälössä massalle, että m liikemassa ja m0 lepomassa. Onko varmasti näin?
Kiitoksia jo etukäteen!
Lukion kirjassa sanotaan, että yhtälössä t = t0/sqrt(1-(v/c)^2)) t on paikallaan olevan kellon aika ja t0 liikkeessä olevan kellon aika. Luentomuistiinpanoihini olen kyllä kirjoittanut ihan päinvastaista. Kumpi on oikein?
Toisessa lukion esimerkissä sanotaan vastaavassa yhtälössä massalle, että m liikemassa ja m0 lepomassa. Onko varmasti näin?
Kiitoksia jo etukäteen!
Vastaukset 10
Vanhimmat
Eikai tuohon mitään yleistä sääntöä ole? Eri kirjoissa ne en määritelty eri tavalla. Kunhan siitä eteenpäin ne yhtälöt on sitten laskettu sen mukaan niin eihän sillä mitään väliä ole..
Ja syyksi miksei sillä ole väliä voisi sanoa että suhteellisuusteoriahan ei erota toisistaan "liikkuvaa" ja "paikallaan olevaa" systeemiä.
Menipä monimutkaiseksi. Kai siihen joku sääntö on, koska muuten kai laskuissa on kaksi eri vastausta, ihan sen mukaan, että miten se on määritelty? Tai sitten en tajunnut sun pointtia.
Mitenkäs tämä menee: On laatikko ja tikku, joilla on sama pituus. Nakataan tikku laatikon läpi lähes valonnopeudella. Mahtuuko tikku laatikkoon a) tikun omasta mielestä b) laatikon mielestä.
Tuon b-kohdan tajuan. Laatikko on levossa, joten sen pituus pysyy samana. Tikun pituus lyhenee liikkeessä, joten se mahtuu laatikkoon. Mutta mikä tuossa a-kohdassa on levossa ja mikä liikkeessä? Pitääkö ajatella niin, että se mikä liikkuu, on omassa koordinaatistossaan levossa?
Tottakai sillä on merkitystä kumpi on kumpi. Liike on aina suhteellista ja kyse onkin siitä kumman liiketila *muuttuu*. Se jonka liiketila muuttuu kokee ajan hitaammin siihen nähden jonka liiketila ei muutu.
"suhteellisuusteoriahan ei erota toisistaan "liikkuvaa" ja "paikallaan olevaa" systeemiä."
Suhteellisuusteoria ei mielestäni ota kantaa liiketilaan vaan sen muutokseen.
[lainaus]
On laatikko ja tikku, joilla on sama pituus. Nakataan tikku laatikon läpi lähes valonnopeudella. Mahtuuko tikku laatikkoon a) tikun omasta mielestä b) laatikon mielestä.
[/lainaus]
b- kohta on ilmeinen, ja tarkemmin ajateltuna myös a-kohta. a-kohdassa laatikko liikkuu tikun mielestä, ja on tikkua lyhempi. Ei siis tikun koordinaatistona katsottuna mahdu laatikkoon hetkeksikään.
Tämä on seurausta samanaikaisuuden suhteellisuudesta. Eroa tulee siinä, milloin tapahtuma "etupää tulee laatikosta ulos" ja "takapää tulee laatikkoon" tapahtuu.
No tuotahan minä juuri yritin sanoa.
"Tottakai sillä on merkitystä kumpi on kumpi."
Tarkoitin että ei ole väliä että kumpaa niistä merkitään t0:lla ja kumpaa t:llä, kunhan niistä johdetuissa kaavoissa on otettu huomioon kumpi on kumpi. Oletin että alkup. kysyjä tätä tarkoitti.
"Suhteellisuusteoria ei mielestäni ota kantaa liiketilaan vaan sen muutokseen. "
Aivan, eli suhteellisuusteoria ei erota "liikkuvaa" ja "paikallaan olevaa" systeemiä, niinkuin sanoin. Tai ehkä sitten ilmaisin itseäni huonosti.
"No tuotahan minä juuri yritin sanoa."
Mutta kun mielestäni et sanonut.
"Tarkoitin että ei ole väliä että kumpaa niistä merkitään t0:lla ja kumpaa t:llä, kunhan niistä johdetuissa kaavoissa on otettu huomioon kumpi on kumpi."
Puhummekohan samasta asiasta? Kyllä niissä on eroa.
Tilannehan on niin, että kun se toinen kaksonen ammutaan maapallolta raketilla lähes c:n nopeudella kauvas poijes, niin palatessaan se on vanhennut vähemmän.
Jos sillä ei olisi merkitystä kumpi on t0 ja kumpi t, niin voisi, virheellisesti, ajatella, että maassa asuvan kaksosen mielestä raketissa oleva vanhenee hitaammin kun taas raketissa matkustavan mielestä maassa oleva vanhenee hitaammin (liike on suhteellista). Tämähän on se perinteinen paradoksi, eli vaikuttaisi että aina toisen mielestä toinen vanhenee hitaammin ja ratkaisuna on, että liiketila ei ratkaise (koska se on suhteellista) vaan sen muutos (joka taas ei ole suhteellista), joten ei ole yhdentekevää kumpi on t ja kumpi t0.
Mahdammekohan jutella ristiin? Saan nimittäin tekstistäsi sen kuvan, että kumpikin kaksonen voisi käyttää samaa kaava ja valita t:n ja t0:n miten haluaa. Näinhän ei siis ole.
"Tilannehan on niin, että kun se toinen kaksonen ammutaan maapallolta raketilla lähes c:n nopeudella kauvas poijes, niin palatessaan se on vanhennut vähemmän. "
Tässähän on jo kyse eri asiasta. Kun se gubbe palaa sieltä avaruudesta, niin se joutuu muuttamaan suuntaa ja nopeutta, eli kokemaan kiihtyvyyttä. Oletin että tuossa ekassa jutussa oli kyse vaan kahdesta toisien suhteen liikkuvasta systeemistä, joissa ei ollut kyse mistään muuttuvasta nopeudesta. Näin ymmärsin.
"Kun se gubbe palaa sieltä avaruudesta, niin se joutuu muuttamaan suuntaa ja nopeutta, eli kokemaan kiihtyvyyttä."
Jotta se gubbe pääsee avaruuteen, niin se joutuu muuttamaan liiketilaansa eli kokemaan kiihtyvyyttä.
"Oletin että tuossa ekassa jutussa oli kyse vaan kahdesta toisien suhteen liikkuvasta systeemistä, joissa ei ollut kyse mistään muuttuvasta nopeudesta. Näin ymmärsin."
Meillä ei voi olla kahta toisiensa suhteen liikkuvaa systeemiä ilman liiketilan muutosta. Tästä koko ajatuksenkulku lähtee liikkeelle. Minusta tuntuu, että olet ymmärtänyt jotain väärin (ja se on todella yleistä - asia jopa opetetaan monesti oikoen ja väärin).
Liiketilalla ei sinällään ole merkitystä vaan sen muutoksella. Kaavoissa esiintyvä nopeus ei omaa sinänsä itseisarvoa vaan se on tavallaan koetun kiihtyvyyden mittari (oikeampaa olisi puhua inertiaalikoordinaatistojen vaihtumisesta) - mitä isompi nopeus sitä isompi kiihtyvyys tai pidempi aika, jona kiihtyvyys on koettu.
Suhtiksen laskuja voi laskea ihan ongelmitta vaikka kuinka pitkään oikein ja saada ihan oikeita tuloksia ihan oikeilla perusteilla ymmärtämättä tarkalleen mistä on kyse. Tämä tekee asiasta hyvin vaikea sisäistettävän. En osaa itse valitettavasti sitä tämän paremmin selittää, mutta voin sanoa, että "piffin" hiffaaminen on kiinostuneelle hyvin suuri ahaa-elämys :)
t0 ja l0 on pituus ja aika (ymmärtääkseni aikaväli, noissa yhtälöissa puhutaan ajan muutoksesta ei yksittäisistä ajan hetkistä.) lepokoordinaatistossa. Siis kappale L on levossa ja t0 tapahtumat samassa paikassa ( esim. kävälevän ukon mielestä hänen kädessään pitämä pallo on samassa paikassa, mutta ei-kävelevän mielestä se ei ole.)
Lukion kirjan tilanteessa t on aikaväli levossa olevan mielestä ja tällöin liikuva kappale on pisteessä, jossa sillä on kellossa kulunut aika t0. Toisaalta kumman koordinaatitossa toi yhtälö pätee? Molempien! . Jos nyt yrittäis järkeillä ja sijotella voisi päästä helposti tulokseen t=t/(1-v^2/c^2) ,joka ei tietenkään voi pitää paikkaansa.Syy lienee siinä ,että kaavan johdossa verrataan tapahtumien aikaväliä kahdessa eri koordinaatistossa ,joilla ei ole samaa nopeutta ja itseasiassa tapahtumat eivät ole samat (ei voi verrata)
Eli toi kaava vertaa tapahtumien aikaa eräässä koordinaatistossa, joka on sen tilanteen lepokoordinaatisto.
Havainnolistava esimerkki (?): alus on aluksi pisteessä 0 ja maassa ja aluksessa pistetään kellot käyntiin. Maan ajan t kuluttua alus on pisteessä (maassa olevan havaitsijan mielestä), jolloin sen kello oli mennyt t0 eteenpäin (kaava). Toisaalta, kun aluksessa katsotaan kelloa ja aikaa on kulunut T (|T|=|t|, merkintä sen vuoksi, ettei tule kiusausta merkitä niitä yhtäsuuriksi). Tällöin aluksen mielestä maa on sellaisessa pisteessä, jolloin aikaa on kulunut siellä T0 (kaava). Saattaa vaikuttaa irrationaaliselta (no, mutta sittenhän suhteellisuus teoriaa on sovellettu ihan oikein ; usein tulokset ovat vähän outoja), mutta täytyy muistaa, että noi tulokset kertoo tapahtumien kulusta lepokoordinaatiston mielestä (perustuen toki mahdollisiin mittauksiin). No, jos nyt meni mönkään niin tietävämmät korjatkoon.
Paljon kiitoksia vastanneille. En tainnut hyvästä yrityksestä huolimatta saada tällaista laskua tentissä oikein :D Mutta eipä se mitään, sillä luulen, että ylitin itseni Schrödingerin yhtälöön liittyvässä laskussa, jollaiseen en edes valmistautunut.