Kinkkinen raja-arvo

Funktiolla voi toki olla useampi raja-arvo pisteessä (0,0) riippuen lähestymiskäyrästä. Esim. (x^2y)/(x^4 y^2) saa raja-arvon 0, kun lähestytään käyrää y=x pitkin, mutta raja-arvon 1/2, kun lähestytään käyrää y=x^2 pitkin. Näinpä tuo todistuksesi on jo osoitettu vääräksi.

pösilös kirjoitti:

Funktiolla voi toki olla useampi raja-arvo pisteessä (0,0) riippuen lähestymiskäyrästä. Esim. (x^2y)/(x^4 y^2) saa raja-arvon 0, kun lähestytään käyrää y=x pitkin, mutta raja-arvon 1/2, kun lähestytään käyrää y=x^2 pitkin. Näinpä tuo todistuksesi on jo osoitettu vääräksi.

Tutkit ensin miten raja-arvo käyttäytyy suoraa y=kx lähestyttäessä mielivaltaisella k ja sitten erikseen x- ja y-akselia pitkin lähestyttäessä?

the amatööri kirjoitti:

Tutkit ensin miten raja-arvo käyttäytyy suoraa y=kx lähestyttäessä mielivaltaisella k ja sitten erikseen x- ja y-akselia pitkin lähestyttäessä?

siirryt napakoordinaatteihin ja osoitat raja-arvon olevan riippumaton kulmasta ja riippuvan vain etäisyydestä.

pösilös kirjoitti:

Funktiolla voi toki olla useampi raja-arvo pisteessä (0,0) riippuen lähestymiskäyrästä. Esim. (x^2y)/(x^4 y^2) saa raja-arvon 0, kun lähestytään käyrää y=x pitkin, mutta raja-arvon 1/2, kun lähestytään käyrää y=x^2 pitkin. Näinpä tuo todistuksesi on jo osoitettu vääräksi.

Toki xyz:n todistus oli aivan oikea. JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa (mm. kaikki metriset avaruudet): mainitsemiesi "vastaesimerkkien" välttämiseksi puhutaan yleensä raja-arvosta pitkin jotain joukkoa A. Siis raja-arvo voi olla yhtä "pitkin käyrää y = x^2" ja toista "pitkin suoraa y = x", mutta kummassakin tapauksessa raja-arvo on yksikäsitteinen käytetyn joukon (käyrä ja suora) suhteen. Jos taas puhumme vain raja-arvosta ilman täsmentävää joukkoa, tarkoitamme yleensä raja-arvoa pitkin koko määrittelyjoukkoa, tässä tapauksessa R^2:ta. Pitkin R^2:ta raja-arvoa EI ole olemassa, jos raja-arvot pitkin eri "käyriä ja suoria" ovat erisuuria.

Helen

Helen kirjoitti:

Toki xyz:n todistus oli aivan oikea. JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa (mm. kaikki metriset avaruudet): mainitsemiesi "vastaesimerkkien" välttämiseksi puhutaan yleensä raja-arvosta pitkin jotain joukkoa A. Siis raja-arvo voi olla yhtä "pitkin käyrää y = x^2" ja toista "pitkin suoraa y = x", mutta kummassakin tapauksessa raja-arvo on yksikäsitteinen käytetyn joukon (käyrä ja suora) suhteen. Jos taas puhumme vain raja-arvosta ilman täsmentävää joukkoa, tarkoitamme yleensä raja-arvoa pitkin koko määrittelyjoukkoa, tässä tapauksessa R^2:ta. Pitkin R^2:ta raja-arvoa EI ole olemassa, jos raja-arvot pitkin eri "käyriä ja suoria" ovat erisuuria.

Helen

Nyt tipahdin kärryiltä. Todennäköisesti minulla on kamelin mentävä aukko sivistyksessä, joten kouluttakaa minua :)

"JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa"

Kuulostaa järkevältä. Ongelmana oli:

"raja-arvon yksikäsitteisyyden todistaminen ei ota onnistuakseen."

Todistus meni:

"Oletetaan, että funktiolla on erisuuret raja-arvot a ja b. R^n (R^2) on Hausdorff, joten a:lla ja b:llä on erilliset ympäristöt U ja V. Mutta nyt tarpeeksi lähellä origoa funktion arvot pitää kuulua sekä U:hun että V:hen"

Miksi tuo todistus ei sano, että funktiolla f ei voi saada kahta eri raja-arvoa eri polkuja pitkin? Siis jos olisi mahdollista, että f saisi kaksi eri raja-arvoa a ja b lähestyttäessä X:ää eri suunnista (tai eri joukkoja pitkin), niin olisi a:lla ja b:llä erilliset ympäristöt U ja V. Mutta tämä ei olisi mahdollista, joten ei voi olla f:ää, jolla olisi kaksi eri raja-arvoa lähestyttäessä X:ää eri joukkoja pitkin joten kaikilla f on yksikäsitteinen raja-arvo jokaisessa pisteessä jokaisesta suunnasta.

Näinhän ei ole, mutta mikä mättää?

ku ei snaijaa kirjoitti:

Nyt tipahdin kärryiltä. Todennäköisesti minulla on kamelin mentävä aukko sivistyksessä, joten kouluttakaa minua :)

"JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa"

Kuulostaa järkevältä. Ongelmana oli:

"raja-arvon yksikäsitteisyyden todistaminen ei ota onnistuakseen."

Todistus meni:

"Oletetaan, että funktiolla on erisuuret raja-arvot a ja b. R^n (R^2) on Hausdorff, joten a:lla ja b:llä on erilliset ympäristöt U ja V. Mutta nyt tarpeeksi lähellä origoa funktion arvot pitää kuulua sekä U:hun että V:hen"

Miksi tuo todistus ei sano, että funktiolla f ei voi saada kahta eri raja-arvoa eri polkuja pitkin? Siis jos olisi mahdollista, että f saisi kaksi eri raja-arvoa a ja b lähestyttäessä X:ää eri suunnista (tai eri joukkoja pitkin), niin olisi a:lla ja b:llä erilliset ympäristöt U ja V. Mutta tämä ei olisi mahdollista, joten ei voi olla f:ää, jolla olisi kaksi eri raja-arvoa lähestyttäessä X:ää eri joukkoja pitkin joten kaikilla f on yksikäsitteinen raja-arvo jokaisessa pisteessä jokaisesta suunnasta.

Näinhän ei ole, mutta mikä mättää?

Siis kysymys ei ollut siitä, että jos funktiolla on määritelmän mukainen raja-arvo pisteessä A, niin onko se yksikäsitteinen, vaan siitä, että onko funktiolla määritelmän mukainen raja-arvo annetussa pisteessä.

Mielestäni joko vastaus tai kysymys on väärin :) (en ole alkup. kysyjä)

ku ei snaijaa kirjoitti:

Nyt tipahdin kärryiltä. Todennäköisesti minulla on kamelin mentävä aukko sivistyksessä, joten kouluttakaa minua :)

"JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa"

Kuulostaa järkevältä. Ongelmana oli:

"raja-arvon yksikäsitteisyyden todistaminen ei ota onnistuakseen."

Todistus meni:

"Oletetaan, että funktiolla on erisuuret raja-arvot a ja b. R^n (R^2) on Hausdorff, joten a:lla ja b:llä on erilliset ympäristöt U ja V. Mutta nyt tarpeeksi lähellä origoa funktion arvot pitää kuulua sekä U:hun että V:hen"

Miksi tuo todistus ei sano, että funktiolla f ei voi saada kahta eri raja-arvoa eri polkuja pitkin? Siis jos olisi mahdollista, että f saisi kaksi eri raja-arvoa a ja b lähestyttäessä X:ää eri suunnista (tai eri joukkoja pitkin), niin olisi a:lla ja b:llä erilliset ympäristöt U ja V. Mutta tämä ei olisi mahdollista, joten ei voi olla f:ää, jolla olisi kaksi eri raja-arvoa lähestyttäessä X:ää eri joukkoja pitkin joten kaikilla f on yksikäsitteinen raja-arvo jokaisessa pisteessä jokaisesta suunnasta.

Näinhän ei ole, mutta mikä mättää?

Kameli on paikattava.

Aloitetaan raja-arvon määritelmästä.

Olkoon f: X -> Y kuvaus, A X:n osajoukko ja a piste A:n sulkeumassa. Sanomme, että funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a pitkin joukkoa A, jos kaikilla b:n ympäristöillä V on olemassa sellainen A:n ympäristö U, että

f[A leikkaus U] sisältyy V:hen.

Määritelmää ennen kuulemattomalle moinen puhe saattaa kalskahtaa melko paksulta, mutta idea on yksinkertainen: pysyttelemällä riittävän lähellä a:ta myös funktion arvot saadaan pysymään mielivaltaisen lähellä b:tä.

Tehtävän tapauksessa voitaneen pitää selvänä, että X = R^2, Y = R, A = R^2 \ {0} ja a = 0.

Oletetaan kokeeksi, että f:llä olisi eri raja-arvot b ja c vastaavasti pitkin suoraa y = x ja käyrää y = x^2. Koska b ja c ovat eri pisteitä, niillä on erilliset ympäristöt V (b:lle) ja W (c:lle). Määritelmän nojalla on olemassa sellaiset 0:n ympäristöt T ja U, että f[T leikkaus {suora y = x}] sisältyy V:hen ja f[U leikkaus {käyrä y = x^2}] sisältyy W:hen (kyseessä ovat siis pienet pätkät tason suoraa ja tason käyrää, jotka kuvautuvat kuka minnekin). Miksei nyt f:llä voi olla raja-arvoa pitkin joukkoa A? Jos tällainen raja-arvo d olisi olemassa, olisi kaikilla d:n ympäristöillä Q oltava sellainen 0:n ympäristö P, että f[A leikkaus P] sisältyy Q:hun. Mutta koska P on nollan ympäristö ja A = R^2 \ {0}, sisältyy [A leikkaus P]:hen aina osia [T leikkaus {suora y = x}]:sta ja [U leikkaus {käyrä y = x^2}]:sta (siis origon pieneen ympäristöön sisältyy aina palat ko. suoria ja käyriä). Mutta näissä suoran ja käyrän pätkissä f "viskelee" x:n arvoja kauas toisistaan, nimittäin V:hen ja W:hen, jotka valittiin erillisiksi. Siis f:llä ei voi olla kokonaisvaltaista raja-arvoa pitkin joukkoa A, sillä f:n arvot missään origon pienessä ympäristössä (leikattuna A:lla) eivät pysy lähellä mitään yksittäistä pistettä.

Tästä näemme, että jotta f:llä voisi olla raja-arvo pitkin joukkoa A, tuon arvon on oltava yksikäsitteinen: A:lla ei saa olla sellaisia osajoukkoja (esim. suorat ja käyrät), joita pitkin raja-arvot olisivat erisuuria.

Jos lukija ei vielä ole perehtynyt topologian perusteisiin, niin kannattaa aloittaa heti tänään. Paras tarjolla oleva kirja on Jussi Väisälän Topologia I (keltakantinen, Limes-paino).

Helen

ku ei snaijaa kirjoitti:

Nyt tipahdin kärryiltä. Todennäköisesti minulla on kamelin mentävä aukko sivistyksessä, joten kouluttakaa minua :)

"JOS raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäistteinen Hausdorffin avaruuksissa"

Kuulostaa järkevältä. Ongelmana oli:

"raja-arvon yksikäsitteisyyden todistaminen ei ota onnistuakseen."

Todistus meni:

"Oletetaan, että funktiolla on erisuuret raja-arvot a ja b. R^n (R^2) on Hausdorff, joten a:lla ja b:llä on erilliset ympäristöt U ja V. Mutta nyt tarpeeksi lähellä origoa funktion arvot pitää kuulua sekä U:hun että V:hen"

Miksi tuo todistus ei sano, että funktiolla f ei voi saada kahta eri raja-arvoa eri polkuja pitkin? Siis jos olisi mahdollista, että f saisi kaksi eri raja-arvoa a ja b lähestyttäessä X:ää eri suunnista (tai eri joukkoja pitkin), niin olisi a:lla ja b:llä erilliset ympäristöt U ja V. Mutta tämä ei olisi mahdollista, joten ei voi olla f:ää, jolla olisi kaksi eri raja-arvoa lähestyttäessä X:ää eri joukkoja pitkin joten kaikilla f on yksikäsitteinen raja-arvo jokaisessa pisteessä jokaisesta suunnasta.

Näinhän ei ole, mutta mikä mättää?

Koitan selittää vielä raja-arvon käsitettä R^n:ssä. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a jos kaikilla jonoilla x_1, x_2, ... joilla x_i->a f(x_i) -> b, eli |f(x_i)-b| saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa. Siten jos haluat todistaa jonkun funktion raja-arvon, on sinun tutkittava kaikkia mahdollisia kohti a:ta suppenevia jonoja ja osoitettava, että f:n arvot jonon pisteissä suppenevat kohti b:tä.

Todistuksessani oletin, että funktiolla on raja-arvo, eli sen jotain lukua kohti suppenevista jonoista muodostetut funktion arvot suppenevat kohti annettua lukua. Tämän jälkeen osoitin, että funktion arvot jonon pisteissä eivät voi supeta kohti toista arvoa.

Jos tilanne on se, että f saa kaksi eri arvoa kahdella tiettyä pistettä kohti suppenevalla jonolla, kun jonon indeksi kasvaa rajatta, tilanne tarkoittaa sitä, että funktiolla ei ole raja-arvoa kyseisessä pisteessä.

Helen kirjoitti:

Kameli on paikattava.

Aloitetaan raja-arvon määritelmästä.

Olkoon f: X -> Y kuvaus, A X:n osajoukko ja a piste A:n sulkeumassa. Sanomme, että funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a pitkin joukkoa A, jos kaikilla b:n ympäristöillä V on olemassa sellainen A:n ympäristö U, että

f[A leikkaus U] sisältyy V:hen.

Määritelmää ennen kuulemattomalle moinen puhe saattaa kalskahtaa melko paksulta, mutta idea on yksinkertainen: pysyttelemällä riittävän lähellä a:ta myös funktion arvot saadaan pysymään mielivaltaisen lähellä b:tä.

Tehtävän tapauksessa voitaneen pitää selvänä, että X = R^2, Y = R, A = R^2 \ {0} ja a = 0.

Oletetaan kokeeksi, että f:llä olisi eri raja-arvot b ja c vastaavasti pitkin suoraa y = x ja käyrää y = x^2. Koska b ja c ovat eri pisteitä, niillä on erilliset ympäristöt V (b:lle) ja W (c:lle). Määritelmän nojalla on olemassa sellaiset 0:n ympäristöt T ja U, että f[T leikkaus {suora y = x}] sisältyy V:hen ja f[U leikkaus {käyrä y = x^2}] sisältyy W:hen (kyseessä ovat siis pienet pätkät tason suoraa ja tason käyrää, jotka kuvautuvat kuka minnekin). Miksei nyt f:llä voi olla raja-arvoa pitkin joukkoa A? Jos tällainen raja-arvo d olisi olemassa, olisi kaikilla d:n ympäristöillä Q oltava sellainen 0:n ympäristö P, että f[A leikkaus P] sisältyy Q:hun. Mutta koska P on nollan ympäristö ja A = R^2 \ {0}, sisältyy [A leikkaus P]:hen aina osia [T leikkaus {suora y = x}]:sta ja [U leikkaus {käyrä y = x^2}]:sta (siis origon pieneen ympäristöön sisältyy aina palat ko. suoria ja käyriä). Mutta näissä suoran ja käyrän pätkissä f "viskelee" x:n arvoja kauas toisistaan, nimittäin V:hen ja W:hen, jotka valittiin erillisiksi. Siis f:llä ei voi olla kokonaisvaltaista raja-arvoa pitkin joukkoa A, sillä f:n arvot missään origon pienessä ympäristössä (leikattuna A:lla) eivät pysy lähellä mitään yksittäistä pistettä.

Tästä näemme, että jotta f:llä voisi olla raja-arvo pitkin joukkoa A, tuon arvon on oltava yksikäsitteinen: A:lla ei saa olla sellaisia osajoukkoja (esim. suorat ja käyrät), joita pitkin raja-arvot olisivat erisuuria.

Jos lukija ei vielä ole perehtynyt topologian perusteisiin, niin kannattaa aloittaa heti tänään. Paras tarjolla oleva kirja on Jussi Väisälän Topologia I (keltakantinen, Limes-paino).

Helen

Kiitos perusteellisesta vastauksesta, mutta en kyllä edelleenkään ymmärrä miten tämä vastaa esitettyyn kysymykseen. Kysyjällä oli vaikeuksia todistaa *annetun funktion* raja-arvon yksikäsitteisyys *eikä*, että Jos funktiolla on raja-arvo, Niin se on yksikäsitteinen.

Kyse ei ole nyt topologiasta (jonka olen kyllä suorittanut) vaan siitä onko vastattu kysymykseen.

Jos kysytään "minulla on funktio f. miten voin todistaa, että f:llä on yksikäsitteinen raja-arvo A pisteessä X, eli että raja-arvo ei riipu lähestysmisuunnasta" niin tarkoitetaan eri asiaa kuin kysymällä "minulla on funktio f jolla *on* raja-arvo A pisteessä X, miten todistan, että raja-arvo on yksikäsitteinen". Tässä vastattiin jälkimmäiseen, mutta sitä ei kysytty. Antaisin vastauksesta nolla pistettä.

mä taas kirjoitti:

Kiitos perusteellisesta vastauksesta, mutta en kyllä edelleenkään ymmärrä miten tämä vastaa esitettyyn kysymykseen. Kysyjällä oli vaikeuksia todistaa *annetun funktion* raja-arvon yksikäsitteisyys *eikä*, että Jos funktiolla on raja-arvo, Niin se on yksikäsitteinen.

Kyse ei ole nyt topologiasta (jonka olen kyllä suorittanut) vaan siitä onko vastattu kysymykseen.

Jos kysytään "minulla on funktio f. miten voin todistaa, että f:llä on yksikäsitteinen raja-arvo A pisteessä X, eli että raja-arvo ei riipu lähestysmisuunnasta" niin tarkoitetaan eri asiaa kuin kysymällä "minulla on funktio f jolla *on* raja-arvo A pisteessä X, miten todistan, että raja-arvo on yksikäsitteinen". Tässä vastattiin jälkimmäiseen, mutta sitä ei kysytty. Antaisin vastauksesta nolla pistettä.

Taidan vihdoin käsittää, mistä on kyse.

Olikohan alkuperäisellä kysyjällä siis mielessään jotain seuraavaa:
"Eri puolilta nollaa lähestyttäessä raja-arvo tuntuu aina olevan nolla. Miten voin osoittaa, etten ole jättänyt mitään suuntaa huomiotta, ts. nolla tosiaan on ainoa raja-arvo, jota f lähestyy, suunnasta riippuamatta?"

Tähän kysymykseen en taida osata vastata muuta, kuin että kaikki tapaukset tulee tutkia erikseen: joku ehdotti aikaisemmin, että voisimme rajoittua tutkimaan raja-arvoa pitkin kaikkia nollan kautta kulkevia suoria, mutta tämähän ei tietystikään riitä (eri raja-arvo voidaan toki saavuttaa pitkin käyriä tms.). Toisaalta on ilman muuta "sallittua" rajoittua ensin esim. ylempään puolitasoon ja siirtyä sitten alempaan. Jos raja-arvot tuolloin ovat samat, on f:llä koko R^2 \ {0}:ssa raja-arvo.

I'm not being very helpful, am I? Hyvä, että väärinkäsitys selvisi (toivoakseni). Alkuperäisestä viestistä sai helposti käsityksen, että raja-arvo 0 on jo saatu jollain ilveellä laskettua ja nyt kaivattiin apua vain yksikäsitteisyyden todistamiseen. Tämä paljastui kai sittemmin vääräksi tulkinnaksi.

Helen

Helen kirjoitti:

Taidan vihdoin käsittää, mistä on kyse.

Olikohan alkuperäisellä kysyjällä siis mielessään jotain seuraavaa:
"Eri puolilta nollaa lähestyttäessä raja-arvo tuntuu aina olevan nolla. Miten voin osoittaa, etten ole jättänyt mitään suuntaa huomiotta, ts. nolla tosiaan on ainoa raja-arvo, jota f lähestyy, suunnasta riippuamatta?"

Tähän kysymykseen en taida osata vastata muuta, kuin että kaikki tapaukset tulee tutkia erikseen: joku ehdotti aikaisemmin, että voisimme rajoittua tutkimaan raja-arvoa pitkin kaikkia nollan kautta kulkevia suoria, mutta tämähän ei tietystikään riitä (eri raja-arvo voidaan toki saavuttaa pitkin käyriä tms.). Toisaalta on ilman muuta "sallittua" rajoittua ensin esim. ylempään puolitasoon ja siirtyä sitten alempaan. Jos raja-arvot tuolloin ovat samat, on f:llä koko R^2 \ {0}:ssa raja-arvo.

I'm not being very helpful, am I? Hyvä, että väärinkäsitys selvisi (toivoakseni). Alkuperäisestä viestistä sai helposti käsityksen, että raja-arvo 0 on jo saatu jollain ilveellä laskettua ja nyt kaivattiin apua vain yksikäsitteisyyden todistamiseen. Tämä paljastui kai sittemmin vääräksi tulkinnaksi.

Helen

Mieleeni palautui topologiasta asioita jotka olivat jo painuneet unholaan, joten älä vain jätä seuraavaa vastausta kirjoittamatta inttämiseni takia :)

Jo mainittu napakoordinaasto lienee helpoin tapa alkuperäisen kysymyksen ratkaisuun. Jos raja-arvo ei riipu kulmasta theta, niin se on yksikäsitteinen.

"nyt kaivattiin apua vain yksikäsitteisyyden todistamiseen."

Tässä nimenomaisessa tapauksessa kyllä, koska haluttiin todistaa raja-arvon olemassolo. Eli yksikäsitteisyyttä ei haettu oletuksella, että raja-arvo tiedetään vaan jotta tiedettäisiin onko raja-arvoa olemassa. Käännä implikaationuoli :)