Pitääpä kokeilla tätä foorumia.
Olen opiskelemassa itsenäisesti Algebran tenttiä varten ja eteen tuli mm. seuraavanlainen kongruenssiyhtälö vanhasta tentistä, jota en ainakaan täysin osaa ratkaista:
Ratkaise kongruenssiyhtälö
x^2 - 3x 2 = 0 (mod 21)
Tehtävän näkee myös sivulta:
http://mathstat.helsinki.fi/tehtavakokoelma/koe/lk-kl01--kl04/alg-1/alg-1-023.html
Eniten tuossa vissiin tuottaa hankaluuksia se kun yhtälö on toiseen asteen kongruenssiyhtälö. Kokeilemalla tuosta löytää ainakin ratkaisut x = 1, x = 2, x = 8 ja x = -5, mutta miten selvitetään, mitkä ovat kaikki ratkaisut? Ja voiko yhtälöä jotenkin sieventää tms?
Kellään ideaa?
Olen opiskelemassa itsenäisesti Algebran tenttiä varten ja eteen tuli mm. seuraavanlainen kongruenssiyhtälö vanhasta tentistä, jota en ainakaan täysin osaa ratkaista:
Ratkaise kongruenssiyhtälö
x^2 - 3x 2 = 0 (mod 21)
Tehtävän näkee myös sivulta:
http://mathstat.helsinki.fi/tehtavakokoelma/koe/lk-kl01--kl04/alg-1/alg-1-023.html
Eniten tuossa vissiin tuottaa hankaluuksia se kun yhtälö on toiseen asteen kongruenssiyhtälö. Kokeilemalla tuosta löytää ainakin ratkaisut x = 1, x = 2, x = 8 ja x = -5, mutta miten selvitetään, mitkä ovat kaikki ratkaisut? Ja voiko yhtälöä jotenkin sieventää tms?
Kellään ideaa?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Moi.
Olisi hauskaa, jos Z_{21} olisi kunta. Silloinhan toisen asteen yhtälöllä olisi enintään kaksi juurta. Mutta jos ei, niin ei. Kaikki juuret ovat tosiaan tuossa (siis x \in {1,2,8,16}): renkaassa Z_{21} on onneksi vain 21 alkiota, joten todistaminen kaikki vaihtoehdot läpikäymällä onnistuu vaivahkottomasti. (Ratkaisuja on tietysti äärettömästi, mutta esim. -5 ja 16 ovat kongruentteja keskenään mod 21. Puhumme siis renkaan Z_{21} alkioista, eli kokonaislukujen ekvivalenssiluokista mod 21.) Kauniimpaa keinoa en tunne, pahoittelen. G.H. Hardy ei tykkäisi: matemaattisen rumuuden kauheimpia ilmentymiä on kuulemma "proof by enumeration of cases".
Onnea itseopiskeluun. Lukenet Metsänkylän ja Näätäsen Algebra ykköstä? Toistuva maneeri, jossa kirjoitetaan ensin "Osoitetaan x ja y", eikä sitten koskaan osoitetakaan, on lievästi kiusallinen, eikö?
Helen
Ehkä hiukan helpommalla kuin kaikkea kokeilemalla pääsee jos kirjoittaa
x^2-3x 2=(x-1)(x-2).
Riittää tarkastella lukuja mod 21, siis x=0,1,...,20.
Jotta ko. lauseke olisi jaollinen 21:llä toisen tekijöistä on oltava jaollinen 3:lla ja toisen 7:llä (tai sitten jompikumpi on 0).
7|(x-2) : x=2,9,16. (näistä 9 ei käy koska 3 ei jaa 8:a)
7|(x-1) : x=1,8,15 (näistä 15 ei käy koska 3 ei jaa 13:a).
siis ratkaisut (mod 21) ovat ne 1,2,8,16.
Kiitos vastauksista. Tehtävä tuntuu nyt paljon selvemmältä.
Sitä en tullut ajatelleeksi, että riittää tosiaan tarkastella lukuja x = 0..20. Sen tosiaan pystyy vaikka yksitellen todistamaan, jos ei muista tai keksi elegantimpaa ratkaisua.
Luen tosiaan sitä M&N:n Algebraa. Siinä on lukuisia esimerkkejä, joissa muodostetaan tai osoitetaan sitä ja tätä, mutta sitä ei tehdä kuitenkaan. Ilmeisesti ne on sitten joskus tehty joillakin luennoilla, mutta näin itseopiskelijana olisi kiva tietää miten ne on sitten tehty.
Muutenkin olisi kivempi lukea paksumpaa, suomalaista matikan oppikirjaa, joissa asiat selitettäisiin auki yksityiskohtaisemmin, mutta tällaiset kirjat taitavat olla aika harvassa.
Moi.
Häpeäkseni minun on tunnustettava, että kävin Algebra I -kurssin juuri viime keväänä ja istuin kiltisti lähes kaikilla luennoilla. Merkkejä siitä, että kaikki esimerkit (edes kaikki mielenkiintoiset) käsiteltäisiin perinpohjaisesti en havainnut. Sitävastoin sykliset ryhmät saivat osakseen jopa kirjan presentaatiosta kevennetyn kohtelun, ja oppikirjamateriaalia lukemattomat kohtasivat permutaatioryhmät ensi kertaa toisessa välikokeessa (hence kokeen keskiarvo vajaat 7/24).
Mitä toivomaasi paksuun, suomalaiseen niteeseen tulee, sellaista tuskin on tai lähiaikoina ilmestyy. Hyviä algebran perusoppikirjoja lienee niukalti kielellä kuin kielellä: suomeksi M&N edustaa mitä luultavimmin kirkkainta kärkeä (eikä puutteistaan huolimatta ehkä aivan kehno olekaan). Englanniksi tarjonta on hieman runsaampaa: itse olin tilaisuudessa lukea kirjaa "Thomas W. Hungerford: Algebra" (Springer-Verlag). Se on paksu, keltainen, kovakantinen ja käsittelee huomattavan laajalti ainakin kurssit Algebra I ja II (jälkimmäistä en ole vielä käynyt, mutta kuulopuheet tukevat väitettäni). Ei (tietystikään) siksi, että sinun tässä vaiheessa opintojasi kannattaisi enää edes harkita lisämateriaalin hankkimista kurssille I. Hyvien kirjojen ilosanomaa on vain kovin vaikea vastustaa julistamasta. (Hinta on uutena näemmä 31.35 puntaa Amazon.co.uk:ssa, mikä asteikolla "senttiä per lukemiseen vierähtävä tunti" on pöyristyttävän edullista).
Edelleen, onnea itseopiskeluun. Osallistunet elokuun yleistenttiin , mihin myös onnea. Lisäkysymysten ilmetessä käytä toki samaista ketjua hyödyksesi.
Helen
Moi,
Ensi viikon yleiseen tenttiin olisi tarkoitus mennä, ja vähän kyllä jo hirvittää. Monia asioita olen vasta raapaissut enkä esim. kunnista ole lukenut vielä riviäkään. No, tässä on viikko aikaa. Kirjasuositukset ovat aina tervetulleita, ne usein helpottavat oikean kirjan löytämistä.
Ja sitten asiaan. Nyt olen painiskellut ryhmien ja aliryhmien parissa ja pohdiskellut jälleen vanhaa koetehtävää:
Merkitään X = {(x,y) € RxR : y > 0} ja määritellään joukon X laskutoimitus o kaavalla
(x,y) o (z,u) = (z xu,yu). Osoita, että (X,o) on ryhmä ja joukot H = {(0,y) : y > 0} ja J = {(x,1) : x € R} ovat sen aliryhmiä. Selvitä myös kysymys aliryhmien H ja J normaalisuudesta.
http://mathstat.helsinki.fi/tehtavakokoelma/koe/lk-kl01--kl04/alg-1/alg-1-021.html
Luulen, että olen saanut osoitettua, että (Z,o) on ryhmä ja, mikäli olen oikein ymmärtänyt, löytänyt neutraalialkion (0,1) ja käänteisalkion (x,y)^(-1) = (-x/y,1/y).
Kuitenkin aliryhmän, varsinkin sen todistuksen, ymmärtäminen meinaa tuottaa hankaluuksia. M&N sanoo sivulla 61 seuraavasti:
Lause 3 (Aliryhmäkriteeri).
Olkoon G ryhmä ja H c G (osajoukko). Silloin H on G:n aliryhmä, jos ja vain jos H =/ 0 (H ei ole tyhjä) ja
ab^-1 € H kaikilla a, b € H.
Miksi näin? Miksi mikä tahansa H:n alkio a kerrottuna millä tahansa toisella H:n alkion b:n käänteisalkiolla kuuluminen joukkoon H osoittaa sen olevan aliryhmä? Mikä merkitys sillä käänteisluvulla on aliryhmässä ja miksi ei riitä, että kerrottaisiin keskenään pelkät luvut a, b ilman kummankaan käänteislukua.
Ja sitten joukon osoittamisesta aliryhmäksi. Meneeköhän koetehtävässä joukon H osoittaminen X:n aliryhmäksi tähän tapaan:
Olkoon H = {(0,y) : y > 0).
Joukon ominaisuutena P on ehto (0,y) : y > 0.
Olkoon e = (0,1), mikä on X:n neutraalialkio.
1. Alkiolla e on ominaisuus P, koska (0,1) toteuttaa ehdon => H on epätyhjä.
2. Olkoon a, b € H. Tällöin
a = (0,y) : y > 0 ja
b = (0,z) : z > 0.
Nyt näytettävä, että alkiolla a o b^-1 on ominaisuus P.
a o b^-1 = (0,y) o (-0/z,1/z) = (0,y) o (0,1/z) =
(0 0*1/z,y*1/z) = (0,y/z), y/z > 0, koska oletuksen mukaan y > 0 ja z > 0.
Siis alkiolla a o b^-1 on ominaisuus P, joten a o b^-1 € H => H on ryhmän X aliryhmä.
Sellaista tällä kertaa. Tehtävän muita osia en ole vielä pohdiskellut.
"Miksi näin? Miksi mikä tahansa H:n alkio a kerrottuna millä tahansa toisella H:n alkion b:n käänteisalkiolla kuuluminen joukkoon H osoittaa sen olevan aliryhmä? Mikä merkitys sillä käänteisluvulla on aliryhmässä ja miksi ei riitä, että kerrottaisiin keskenään pelkät luvut a, b ilman kummankaan käänteislukua."
Kyllä se on olennaista, että siinä on a*b^-1, eikä a*b. Pelkän laskutoimituksen "säilyminen" (eli, että a:n ja b:n laskutoimituksen tulos kuuluu myös tässä tapauksessa joukkoon H) ei riitä osoittamaan, että H on ryhmä. Miten osoittaisit käänteisalkion olemassaolon silloin?
Siis epätyhjyydestä seuraa, että meillä on joku a, mikä kuuluu joukkoon H. Tästä saadaan asettamalla a=b, että myös neutraalialkio 1 kuuluu joukkoon H. Nyt saadaan tästä tiedosta asettamalla a=1, että kaikille b H:ssa, myös 1*b^-1=b^-1 kuuluu joukkoon H. Ts. nuo ehdot lauseessa sisältävät ovelasti postulaatin G3.
Aliryhmäkriteerin todistus ei meinaa taipua meikäläiselle, mutta ilmeisesti siinä on tosiaan ideana se, että aliryhmä on myös ryhmä ja aliryhmäkriteerin toteutuminen takaa myös ryhmän postulaattien G0, G1, G2 ja G3 toteutumisen. Mutta silläkin päässee jo aika pitkälle jos osaa vain osoittaa joukon aliryhmäksi käyttämällä kyseistä aliryhmäkriteeriä.
Heips taas,
Tässä sitä ollaan laskeskeltu ja pyöritelty algebrallisia struktuureja ja päästy jo kunnissakin käymään. Tehdessäni vaihteeksi erästä koetehtävää jäi pari asiaa askarruttamaan. Tehtävä määritellään siis näin:
Osoita, että (Q(sqrt(2), ,*) on kunta, missä Q(sqrt(2)) = {x y*sqrt(2) | x, y IN Q}
(tehtävä samasta paperista kuin alussa mainittu kongruenssiyhtälö)
Ensinnäkin, olenkohan ymmärtänyt oikein, että kyseessä on siis kuvaus kaksiulotteiselta joukolta Q*Q yksiulotteiselle joukolle Q(sqrt(2)). Eli sanallisesti sanottuna kuvaus liittää kaksi Q:n lukua x ja y toisiinsa siten, että toinen luku y kerrotaan kakkosen neliöjuurella, ja siihen lisätään ensimmäinen luku x. Tehtävänanto on hiukan hämäävä.
Tehtävässä pyydetään osoittamaan Q(sqrt(2)) kunnaksi. Tarkastellaan kunnan määritelmää K3', mikä määrittelee osittelulain olemassaolon eli
a(b c) = ab ac ja (a b)c = ac bc kaikilla a, b, c IN Q(sqrt(2)).
Lähden sitä osoittamaan seuraavasti:
Osoitettava, että a(b c) = ab ac.
Olkoon a = (x1, y1), b = (x2, y2) ja c = (x3, y3), x1, y1, x2, y2, x3, y3 IN Q.
Mekaaniseen tapaan..
Nyt a*(b c) = (x1, y1) * ((x2, y2) (x3, y3))
= (x1 y1*sqrt(2)) * ((x2 y2*sqrt(2)) (x3 y3*sqrt(2))
= (x1 y1*sqrt(2)) * (x2 y2*sqrt(2) x3 y3*sqrt(2))
= x1*x2 x1*y2*sqrt(2) x1*x3 x1*y3*sqrt(2) y1*sqrt(2)*x2 y1*sqrt(2)*y2*sqrt(2) y1*sqrt(2)*x3 y1*sqrt(2)*y3*sqrt(2) (kerrottiin sulut auki)
Ongelma:
Tässä tulee esiin ongelma: jotta osittelulain voimassaolon voidaan todeta, on päästävä muotoon ab ac, mihin päästään termien paikkoja siirtelemällä ja ottamalla sopivat tekijät, mutta millä perusteella sen voi tehdä? Siis päteekö vaihdannaisuus automaattisesti joukon Q(sqrt(2)) sisällä? Kyseessähän ei kai ole ryhmässä oleva laskutoimituksen vaihdannaisuus, vai onko?. Joukko Q(sqrt(2)) ei ole Q, mutta on reaalilukujen osajoukko. Riittääkö todeta, että vaihdannaisuus ynnä muut pätevät reaalilukujoukossa? Ja sitten voidaan vapaasti siirrellä termejä.
Jos oletetaan tiedetyksi, että vaihdannaisuus pätee, niin jatketaan taas mekaanisesti seuraavasti:
= x1*x2 x1*y2*sqrt(2) y1*sqrt(2)*x2 y1*sqrt(2)*y2*sqrt(2)
x1*x3 x1*y3*sqrt(2) y1*sqrt(2)*x3 y1*sqrt(2)*y3*sqrt(2)
Ottamalla tekijäiksi (x1 y1*sqrt(2)) saadaan
(x1 y1*sqrt(2))(x2 * y2*sqrt(2)) (x1 y1*sqrt(2)) * (x3 y2*sqrt(2))
= (x1, y1)*(x2, y2) (x1, y1) * (x3, y3)
= ab ac.
(a b)c = ac bc todetaan samoin. => K3'
Tällaista tänään.
Moi.
Aluksi sananen notaatiosta. Merkintä
{ x y*sqrt(2) | x, y in Q }
merkitsee yksinkertaisesti reaalilukuja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa x y*sqrt(2), x, y in Q. Täsmällisemmin siis
{ x y*sqrt(2) in R | x, y in Q }.
Mikään kuvaus ei siis varsinaisesti ole kyseessä (tietysti on olemassa bijektio Q*Q:lta tehtävänannon joukolle, nimittäin (x,y) \mapsto x y*sqrt(2) - surjektiivisyys on selvää, injektiviisyys seuraa helposti siitä, että toista luvuista kerrotaan irrationaaliluvulla).
Muutoin kaikki vaikuttaa hyvältä. Kun olet kertonut sulut auki, on sinulla edessäsi kasa reaalilukuja, ei muuta. Reaalilukujen yhteenlaskulle pätee tietysti vaihdannaisuus, samoin kertolaskulle (R on kunta). Olettaen siis, ettei laskuissasi ole teknisiä virheitä, kaikki on kunnossa.
Sen toisen mainitsemasi kokeen tehtävistä olivat muuten aika hyviä, jopa mielenkiintoisia, ainakin numerot 2 - 4. Jos et ole vielä tehnyt, niin suosittelen. Nelonen oli tosin loppua kohti hieman puuduttava, mutta idea (ts. ratkaisuun tarvittava lause) on tärkeä. Kolmosen (erit. b-kohta) ratkaisutapa on myös kurssin ydinainesta.
Helen
ps. Joku peijakas on hiljattain rekisteröinyt itselleen kaksi suosikkinimimerkkiäni. TeX-Heleniä toivoakseni kukaan ei elinaikanani anasta.
Tentti oli, niinkuin odotin, aika vaikea.
No, ensimmäinen tehtävä oli vastaavanlainen, kuin mitä kyselin kongruenssiyhtälöstä. Siinä oli mukava aloittaa vastaus: "Riittää tarkastella lukuja..." Toinen ja kolmas tehtävä liittyivät renkaisiin, ja pienien hankaluuksien jälkeen jokseenkin niistä selviydyin. Neljäs tehtävä liittyi alkuideaaleihin ja maksimaalisiin ideaaleihin, joita en ollut paljoakaan harjoitellut. Viides tehtävä olikin sitten täysin kokemuspiirini ulkopuolella. Taisi liittyä polynomien jaollisuuteen.
Mitä opin tästä? Ainakin sen, että noin kaksi viikkoa täyspainoistakaan opiskelua Algebra I (5 ov) kurssiin ei riitä, ellei sitten ole ennakkotietoja. Jos töitä tekee, oppii ehkä perustekniikoita ja yksittäisiä asioita sieltä täältä, mutta kun tulee eteen vähänkin soveltava tehtävä, alkaa kädet hikoilla.
Opin myös sen, että luentomuistiinpanotyyppinen kirja, niinkuin M&N on, ei riitä opiskelumateriaaliksi. Suosittelen tosiaan oheiskirjallisuuden hankkimista (ks. Helen), jos joku meinaa kurssin itsenäisesti suorittaa.
Oli kiva huomata, että joskus kannattaa kysyä tällaiselta keskuskelupalstalta. Harmittaa hiukan, kun ei ole moista aikaisemmin tajunnut. Näin matematiikan sivuaineopiskelijana ehkä palaan syksyllä taas sivustolle jonkin toisen kurssin tiimoilta.
So long, and thanks for all the comments.
lancel