Aloitin opiskella funktioteoriaa ja törmäsin seuraavaan ongelmaan, johon kirja ei kertonut vastausta. Miten kompleksijuurilla lasketaan yhteen- ja vähennyslaskuja?
Esimerkiksi kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa esiintyy juurien summa, mutta miten se on määritelty?
Olen miettinyt seuraavaa tapaa: Olkoon laskettava esim (2 3i)^(1/2) (4 5i)^(1/3). Ensiksi lasketaan paljonko on (2 3i)^(1/2) ja arvoksi saadaan joukko {z_1,z_2}. Vastaavasti (4 5i)^(1/3)={w_1,w_2,w_3}. (Laskekoon eksplisiittisesti se ken haluaa). Nyt summataan ensimmäisen joukon jokaisesta alkiosta toisen joukon jokainen alkio, jolloin vastaukseksi saadaan {z_1 w_1, z_1 w_2, z_1 w_3, z_2 w_1, z_2 w_2, z_2 w_3}. Onko tämä oikea tapa laskea juurilla vai miten monihaaraisilla funktioilla lasketaan?
Esimerkiksi kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa esiintyy juurien summa, mutta miten se on määritelty?
Olen miettinyt seuraavaa tapaa: Olkoon laskettava esim (2 3i)^(1/2) (4 5i)^(1/3). Ensiksi lasketaan paljonko on (2 3i)^(1/2) ja arvoksi saadaan joukko {z_1,z_2}. Vastaavasti (4 5i)^(1/3)={w_1,w_2,w_3}. (Laskekoon eksplisiittisesti se ken haluaa). Nyt summataan ensimmäisen joukon jokaisesta alkiosta toisen joukon jokainen alkio, jolloin vastaukseksi saadaan {z_1 w_1, z_1 w_2, z_1 w_3, z_2 w_1, z_2 w_2, z_2 w_3}. Onko tämä oikea tapa laskea juurilla vai miten monihaaraisilla funktioilla lasketaan?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Voit sijoittaa kompleksilukujesi paikalla
reaaliluvut esim. 2^1/2 ja 3^1/3, näiden yhteenlaskua ei voida sieventää mukavampaan muotoon.
Eli nimenomaan noin yleisessä tapauksessa toimitaan, mutta katso onko kompleksilukujen normi sama, tällöin voidaan jotain ehkä tehdä.
Kiitos selvennyksestä. Tuntuu vaan hassulta ajatella, että esim. sqrt(-1) sqrt(-1)={-2i,2i,0}. Luulisin äkkiseltään, että esimerkiksi viivaintegraaleissa vastaus ei olisi tuolloin yksikäsitteinen.