1 2
miten lasketaan
tämä lasku
14795
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Sinun kannattaa ajatella asiaa näin: pöydällä on yksi omena toisella puolella, ja kaksi omenaa toisella puolella, kun otat omenat ja laitat ne kasaan, montako omenaa sinulla on kasassa? Vastaus on tietenkin kolme omenaa.
miten "1", "2" ja " " on määritelty. Jos kyseessä on yhteenlasku, niin 1 2 on kolme ainakin pienillä ykkösen ja kakkosen arvoilla, isoista en sitten tiedä.
Tietenkin 1 2=10. Ihan helppoa.
Lähdetäänpä pohtimaan ongelmaa Peanon aksioomien kautta, sillä ykkönen ja kakkonen ovat molemmat luonnollisia lukuja.
Peanon aksioomat ovat seuraavat viisi ehtoa:
P1) 1 e N
P2) Jokaisella alkiolla n e N on olemassa täsmälleen yksiseuraaja n' e N
P3) Jos n e N, niin n' on erisuurta kuin 1.
P4) Jos n e N ja m e N ja jos n' = m' niin n = m.
P5) jos A on joukon N osajoukko siten, että 1 e A ja jos ehdosta n e A seuraa n' e A niin silloin A = N.
Tästä seuraa että yhteenlasku voidaan määritellä:
a 1 = a', a b' = (a b)'
Nyt päästäänkin ongelmaan käsiksi:
1 2 = 1 1' = (1 1)' = 2' = 3.
Voilá!
1 2 = 1 1' = (1 1)' = 2' = 3
Mistä viimeinen yhtäsuuruus tulee? Eikö tuo ole ennen määritelmä kuin tulos? Siis määritellään, että "3" on alkion (1 1)' seuraaja?
Tehdäänpä sitten pieni täydennys.
1 2 = 1 1' = (1 1)' = (1')' = 2' = 3.
Yhteenlasku määriteltiin:
a 1 = a'
a b' = (a b)'
Aksioomista voidaan todellakin johtaa kaikki tunnetut N:n laskusäännöt.
Tarkoitin, että luonnollisilla luvuilla on pienin alkio, jota voidaan merkitä symbolilla "0". Tämän seuraaja 0' on aksioomien mukaan yksikäsitteinen joten *määritellään* 1==0'. Edelleen uuden symbolin seuraaja on yksikäsitteinen ja määritellään 2==1'==0'' ja vastaavasti 3==2'.
Käytät laskuissasi yhteenlaskua olettaen symboleille 1, 2 ja 3 niiden intuitiiviset tulkinnat. Mielestäni tämä on virhe. Jos lähdetään Peanon aksioomista, niin pitää ensin sopia mitä kyseiset symbolit tarkoittavat - niille ei ole annettu aksioomissa tulkintaa. Jos oletetaan niille "luonnollinen tulkinta", niin ei ole mitään todistamista.
Mitenkäs menikään taas se luonnollisten lukujen joukko?
N = {1, 2, 3, ... }
Erikseen voidaan määritellä "N-nolla", eli epänegatiiviset luvut, johon sisältyy myös nolla. Jos Peanon aksioomia lähtee kirjoittamaan N-nollalle erikseen niin syntyy aikamoinen sotku. Siksi Peanon aksioomat ovatkin vain luonnollisille luvuille päteviä.
Tiettyä intuitiotahan noissa aksioomissa on, mutta pääasiassa kyseiset aksioomat perustavat täydelliseen induktioon joka on positiivisten kokonaislukujen ominaisuus. Siksi kyseiset aksioomat eivät pädekään enää N-nollalla.
N-nolla = N \ { 0 } = Z
"Mitenkäs menikään taas se luonnollisten lukujen joukko? "
Se on se isomorfiaa vaille määritelty struktuuri, joka toteuttaa Peanon aksioomat.
"N = {1, 2, 3, ... } "
Niin, tämä on *eräs* sellainen struktuuri.
"Jos Peanon aksioomia lähtee kirjoittamaan N-nollalle erikseen niin syntyy aikamoinen sotku."
Toki ja tuosta sotkusta saadaan selkämpi sovitulla notaatiolla. Sovitaan, että 0'==1 etc.
"Tiettyä intuitiotahan noissa aksioomissa on.."
Toki aksioomissa on tietynlaista intuitiota, mutta niiden määrittämän joukon kuvaamisessa sellaista intuitiota ei (tarkalleen ottaen) saa ilmetä. Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan merkitä myös N={9,99,999,9999,99999,...} tai vaikka (jotta ero numerosymbolien intuitiiviseen numeroarvoon kävisi ilmi) N={o,oo,ooo,...}, N={{a},{a,aa},{a,aa,aaa},...}...
"Siksi kyseiset aksioomat eivät pädekään enää N-nollalla."
Jaa. Miten sinä määrittelen noukon N-nolla? Kyllä struktuuri M={-n,-n 1,...,0,1,2,...} käy yhtälailla luonnollisten lukujen joukosta abstraktissa mielessä, asetetaan -n==0, -n 1==0'..., 0^M==0^(n kertaa '),.. Eikös? Samoin {4,5,6,...} kun asetetaan 4==0, 5==0', 6==0''... Vai mitä aksioomia kyseiset joukot eivät toteuta?
Puhuin puutaheinää. N-nolla = luonnolliset luvut, nolla sisällytettynä.
Näinhän sen piti mennä. Ei hemmetti, ilman kahvia ei aina ajatus kulje.
Yleensä määitellään kyllä N_0={0, 1, 2, ...} ainakin minun käsityksen mukaan. On nimittäin sopimuskysymys onko nolla luonnollinen luku vai ei. Alaindeksi nolla kuvastaa sitä, että se nimenomaan halutaan ottaa mukaan joukkoon.
En tiedä, että onko tämä nyt kovin täsmällistä, mutta olen törmännyt luonnollisten lukujen määritelmään myös reaalilukujen aksioomien pohjalta. Tässä induktiivisen joukon määritelmä on tärkeä:
Joukkoa I \subset R kutsutaan induktiiviseksi joukoksi, jos
(i) 1 \in I
ja
(ii) x \in I implikoi x 1 \in I.
Merkitään J := "Kaikkien induktiivisten R:n osajoukkojen perhe" ja olkoon N näiden osajoukkojen leikkaus ( N = \bigcap J ). Joukkoa N kutsutaan luonnollisten lukujen joukoksi (yksi mahdollinen määritelmä).
Tämän joukon alkioiden symbolit pitää määritellä:
2 := 1 1, 3 := 2 1 ..., 10 = 9 1.
Edelleen desimaaliesityksellä saadaan loput symbolit.
Pitäähän tuo N:n induktiivisuus vielä todistaa:
Koska N on kaikkien R:n induktiivisten joukkojen leikkaus, niin 1 \in N. Jos taas x \in N, niin x \in I kaikilla I \in J, joten (ii) => x 1 \in I kaikilla I \in J ja siten x 1 \in N.
Täten N on induktiivinen. (On varmaan tosi selkee notaatio :D)