Miten lasketaan

En oikein ymmärrä noi monimutkaista kaavaa. Voitko näyttää esimerkin helpommasta päästä? Jos 3 neliömetrin levy kiihtyy 0-100 x ajassa niin saako siitä laskettua tehon tuolla tavalla?

selventämään kirjoitti:

En oikein ymmärrä noi monimutkaista kaavaa. Voitko näyttää esimerkin helpommasta päästä? Jos 3 neliömetrin levy kiihtyy 0-100 x ajassa niin saako siitä laskettua tehon tuolla tavalla?

differentiaaliyhtälön

m*x´´(t) k*x(t)^2 = F(t)

yleisenä ratkaisuna on yksinkertaistetussa tapauksessa, jossa F(t) on vakio F:

http://img162.imageshack.us/my.php?image=diffyhtratkug1.gif

Tai tähän kirjoitettuna yhtälönä:
x(t) = 1/2*(-2*F^(1/2)*k^(1/2)*t ln(1/4*(_C1*exp(2*F^(1/2)*k^(1/2)*t/m)-_C2)^2*k/F)*m)/k

Siitä pitää vakiot _C1 ja _C2 ratkaista ehtojen mukaan, esim. x(0) = 0 ja x´(0) = 0 (eli kappale lähtee origosta nopeudella nolla ajan hetkenä nolla)

Yhtälön ratkaisuna saadaan siis paikka jokaisena ajanhetkenä, eli x(t).

Paljon tämän vaikeampia yhtälöitä ei tietokoneohjelmat pysty analyyttisesti ratkaisemaan.

edgedd kirjoitti:

differentiaaliyhtälön

m*x´´(t) k*x(t)^2 = F(t)

yleisenä ratkaisuna on yksinkertaistetussa tapauksessa, jossa F(t) on vakio F:

http://img162.imageshack.us/my.php?image=diffyhtratkug1.gif

Tai tähän kirjoitettuna yhtälönä:
x(t) = 1/2*(-2*F^(1/2)*k^(1/2)*t ln(1/4*(_C1*exp(2*F^(1/2)*k^(1/2)*t/m)-_C2)^2*k/F)*m)/k

Siitä pitää vakiot _C1 ja _C2 ratkaista ehtojen mukaan, esim. x(0) = 0 ja x´(0) = 0 (eli kappale lähtee origosta nopeudella nolla ajan hetkenä nolla)

Yhtälön ratkaisuna saadaan siis paikka jokaisena ajanhetkenä, eli x(t).

Paljon tämän vaikeampia yhtälöitä ei tietokoneohjelmat pysty analyyttisesti ratkaisemaan.

(Ja ensinnäkin se derivaattamerkki k*x´(t)^2 -termistä)

Tuo yhtälöhän on siis erinomainen kun lasketaan esim. kappaleen putoamisliikettä ilmanvastuksen vaikuttaessa. Täytyy kuitenkin huomata että yhtälössä nopeustermi on toisessa potenssissa, joten se on aina positiivinen.

m*x´´(t) k*x´(t)^2 = F

Tämä aiheuttaa sen että yhtälö täytyy muuttaa siinä vaiheessa, kun/jos nopeuden suunta muuttuu (sillä ilmanvastus aina vastustaa liikettä)

eli tällöin

m*x´´(t) - k*x´(t)^2 = F

selventämään kirjoitti:

En oikein ymmärrä noi monimutkaista kaavaa. Voitko näyttää esimerkin helpommasta päästä? Jos 3 neliömetrin levy kiihtyy 0-100 x ajassa niin saako siitä laskettua tehon tuolla tavalla?

innostuin vähän selittään ohi kysymyksesi.
Toki jos tiedät (tai pystyt arvioimaan) x(t) tai x´(t) eli v(t) niin saat selville P(t) eli tehon.

Jos levy kiihtyy 0..100 ajassa 5 niin yksinkertaistaen (olettamalla kiihtyvyys vakioksi) saadaan v(t) = x´(t) = 20t

sijoittamalla se yhtälöön

m*x´´(t)*x´(t) k*x´(t)^3 = P(t)

saadaan

P(t) = 400mt 8000kt^3

Realiastisempaa toki olisi arvioida v(t) esim. logaritmiseksi funktioksi.

selventämään kirjoitti:

En oikein ymmärrä noi monimutkaista kaavaa. Voitko näyttää esimerkin helpommasta päästä? Jos 3 neliömetrin levy kiihtyy 0-100 x ajassa niin saako siitä laskettua tehon tuolla tavalla?

Mitä se kiihtyvyys siihen ilmanvastuksen tehonkulutukseen vaikuttaa? Tai vaikuttaahan se, mutta sitten ollaankin jo eri tarkkuustason malleissa kuin tuo esittämäni differentiaaliyhtälö.

Jos on tarkoitus vain kysyä, paljonko ilmanvastus kuluttaa tehoa nopeudella v, niin vastaus on P = k*v^3. k:n laskemiseksi tarvitaan liikkuvan kappaleen poikkipinta-alan lisäksi kappaleen vastuskerroin ja väliaineen tiheys.

Nimi-erkki kirjoitti:

Mitä se kiihtyvyys siihen ilmanvastuksen tehonkulutukseen vaikuttaa? Tai vaikuttaahan se, mutta sitten ollaankin jo eri tarkkuustason malleissa kuin tuo esittämäni differentiaaliyhtälö.

Jos on tarkoitus vain kysyä, paljonko ilmanvastus kuluttaa tehoa nopeudella v, niin vastaus on P = k*v^3. k:n laskemiseksi tarvitaan liikkuvan kappaleen poikkipinta-alan lisäksi kappaleen vastuskerroin ja väliaineen tiheys.

No jos kulkee esim 100kmh ja kiihtyy 0-100 kmh niin ei kait se teho mikä kuluu ole koko kiihdytyksen ajan sama kun menisi tuota tasaista nopeutta.. sehän muuttuu tuo nopeus isommaksi kunnes ollaa tuolla 100kmh

ole ihan sama kirjoitti:

No jos kulkee esim 100kmh ja kiihtyy 0-100 kmh niin ei kait se teho mikä kuluu ole koko kiihdytyksen ajan sama kun menisi tuota tasaista nopeutta.. sehän muuttuu tuo nopeus isommaksi kunnes ollaa tuolla 100kmh

Tietenkään ei, sillä kuten tuolla edellä kerroin, ilmanvastuksen tehonkulutus on nopeuden kuutioon verrannollinen. Mutta ei se kiihtyvyydestä ole riippuvainen, vaan pelkästään nopeudesta, ainakaan näin yksinkertaisen teorian mukaisesti.

Tietysti nopeus voi olla kiihtyvyydestä riippuva esim. v = a*t mukaisesti. Silloin ilmanvastuksen vaatima teho on tietysti välillisesti kiihtyvyydestä riippuva.

Taas massan kiihdytys ilmanvastuksen ollessa läsnä menee sen alkuperäisen differentiaaliyhtölön kuvaamana. Silloin jos voiman tuottaa jokin tehonlähde, F(t) tulee korvata jollakin uudella funktiolla F(x,x',x",t), jossa F(x,x',x",t) kuvaa tehonlähteestä saatavaa kiihdyttävää voimaa.

Voitkos sitten selittää miten se tehdään?