Olen tässä pohtinut kahta ongelmaa jonkin asian todistamisesta tai osoittamisesta. Ensimmäinen kysymykseni kuuluu, miten jokin asia todistetaan tai osoitetaan matemaattisesti oikein? Ja toinen kysymyson, mitä eroa on osoittamisella ja todistamisella? Esimerkki osoitus tehtävästä voisi olla vaikka tällainen.
Osoita, että n kulmion kulmien summa on ((n-2)*180)astetta.
Miten ihmeessä tuon osoitta vaikka tuon voi todeksi kokeilemalla muutaman ensimmäisen todeta?
Osoita, että n kulmion kulmien summa on ((n-2)*180)astetta.
Miten ihmeessä tuon osoitta vaikka tuon voi todeksi kokeilemalla muutaman ensimmäisen todeta?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Mielestäni osoittaminen ja todistaminen ovat jokseenkin samoja asioita. Ehkä osoittaminen jossain mielessä koskee jotain yksittäistapausta kun todistaminen mahdollisesti jotain yleisempää(?).
Yleisesti ottaen todistaminen on päättelyketju, jossa aloitetaan määritelmistä, käytetään sallittuja päätelmiä ja päädytään väitteseen. Matemaattinen todistaminen on sinänsä täysin riippuvaista asetetuista määritelmistä ja päättelysäännöistä. Jos määrittelet jotain väärin, niin saat siitä johdettua sinänsä oikein väärän tuloksen. Eli päättelyketju voi olla oikein vaikka tulos olisi väärin, jos määritelmät mättävät tai vastavuoroisesti jos määritelmät ovat oikein, mutta päättelyaskeleet ontuvat, niin tulos voi olla väärin.
"Osoita, että n kulmion kulmien summa on ((n-2)*180)astetta.
Miten ihmeessä tuon osoitta vaikka tuon voi todeksi kokeilemalla muutaman ensimmäisen todeta?"
Jos kokeilet tuota n:n arvolla 1, niin tulee -180 astetta. Onko pisteen kulmien summa -180 astetta? Tuo taitaa sisältää oletuksen n>2.
Jos lasket tuon n:n arvoilla 3, 4, 5 ja 6, niin olet todistanut, että se pätee n:n arvoilla 3, 4, 5 ja 6, mutta tapaus n>6 on tarkistamatta. Yleinen tapaus saadaan tuosta helpoiten induktiolla. Tarkista, että väite pätee n:n arvolla kolme ja todista, että jos pätee n:n arvolla k, niin pätee myös n:n arvolla k 1. (mennee jos jaat kulmion kolmioihin) Tällöin se pätee kaikilla n in N.
"Ensimmäinen kysymykseni kuuluu, miten jokin asia todistetaan tai osoitetaan matemaattisesti oikein?"
Yleisesti ottaen matemattinen todistus etenee niin, että oletuksista edetään loogisin askelmin kohti väitettä. Usein väitteitä todistetaan myös ns. Antiteesilla (vastaväite). Siinä pyritään näyttämään, että jos väite ei olisi tosi, niin päädyttäisiin ristiriitaan esim. oletuksen kanssa.
"Ja toinen kysymyson, mitä eroa on osoittamisella ja todistamisella?"
Eipä äkkiseltään tule mieleen, että onko noilla mitään eroa. Ehkä toisen sanan käyttö sointuu joissain kohti paremmin. :)
"Osoita, että n kulmion kulmien summa on ((n-2)*180)astetta."
Tuo todistetaan induktiolla. (toivottavasti tuttu). 1. vaihe helppo. Sitten oletetaan, että väite pätee n:llä ja osoitetaan, että myös n 1 toimii.
Kannattaa huomata, että jokaisesta monikulmiosta löytyy terävä kulma. Valitse tämä terävä kulma n 1 kulmiosta ja jaa se kahteen osaan vetämällä viiva tämän kulman vasemman ja oikean pisteen välille. Saat n-kulmion ja kolmion. Miten jatkaisit...?