Mo,
Epsilon-tekniikka vaikuttaa hieman epäselkoiselta, kun ei tiedä, milloin siinä pitää tehdä se sopimus, että epsilon on esimerkiksi pienempi yhtä kuin yksi tai neljä.
Osaisiko joku matemaatikko tai asiasta tietävä vastata?
Epsilon-tekniikka vaikuttaa hieman epäselkoiselta, kun ei tiedä, milloin siinä pitää tehdä se sopimus, että epsilon on esimerkiksi pienempi yhtä kuin yksi tai neljä.
Osaisiko joku matemaatikko tai asiasta tietävä vastata?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Lähdetään liikkeelle yleisestä raja-arvon määritelmästä jatkuville funktioille:
Reaalimuuttujan reaaliarvoisella funktiolla f on raja-arvo L pisteessä c mikäli kaikilla ε > 0 löytyy vastaava δ > 0 siten, että
| f(x) − L | < ε aina kun 0 < | x − c | < δ.
Toisin sanoen, funktiolla on raja-arvo pisteessä c, mikäli se ei pahemmin heilahtele pisteen c ympäristössä.
Yleensähän ottaen ε > 0 on luku joka on mielivaltaisen lähellä nollaa, joten epsiloniksi tulisi suurimmassa osassa tapauksissa valita luku ykkösen ja nollan väliltä jolloin todistuksissa tulee tietty varmuus. Tämä sääntö tosin ei aina pidä paikkaansa, joskus joutuu valitsemaan kokonaislukujakin.
Tietty nyrkkisääntö tuossa todistamisessa tosin on: ε > 0 aina.
Jostain syystä moni matematiikan aineenopettajaksi valmistunut ei näytä ymmärtävän raja-arvon käsitettä kunnolla, ei edes tavallisille reaalifunktioille. Eli ei ihme jos lukiolaisella menee hieman yli. Jatkuvuuden kanssa on sama juttu. Ja sitten on vielä tasainen jatkuvuus. Jne, jne...
Se epsilon voi olla ihan mikä tahansa positiivinen reaaliluku. Sitä ei valita.
Raja-arvon määritelmä jatkuville funktioille? Ei tässä kohtaa tarvita jatkuvuutta.
Mitä on tietty varmuus??? Matematiikassa joko asia on varma tai sitten ei.
Joskus joutuu valitsemaan kokonaislukuja? Ei sitä epsilonia edelleenkään valita. Ja kaksikymmentä vuotisen matemaatikon urani aikana en ole kuullut raja-arvotehtävästä jossa epsilon olisi voitu olettaa kokonaisluvuksi. Siis jos kyseessä on saman merkityksen omaava epsilon kuin yllä oleva.
Tyypillisesti tehtävän "todista että f(x)->L kun x->a" ratkaisu alkaa "Olkoon epsilon >0..." Tämän jälkeen koitetaan löytää jokin delta jolle tuo määritelmän ehto saadaan voimaan.
Mitään ei olla nyt valittu, mutta tästä lähtien epsilon voidaan olettaa kiinteäksi. Se ei siis muutu todistuksen aikana. Jos tarpeen on, niin voidaan kyllä olettaa, että epsilon < 1 tai epsilon < 0.5 ja niin edespäin (mutta ei tietenkään epsilon >1). Mutta tämä johtuu siitä, että jos ehdosta 0 < | x − a | < δ seuraa, että f(x) poikkeaa L:sta vähemmän kuin epsilonin verran, niin kyllähän silloin | f(x) − L | < E
mille tahansa E:lle jolle myös E>epsilon
On siis osoitettava, että kaikilla 0