Karpaloiden tiheys

>Arkhimedeen lakia soveltamalla...

Niinpä kyllä... voihan ne vain punnitakin. Mutta kysymys onkin osoitettu niille, jotka osaavat matematiikkaa...

Siis matematiikkaan perustuvaa ratkaisua odotellaan edelleenkin.
--

aloittaja kirjoitti:

>Arkhimedeen lakia soveltamalla...

Niinpä kyllä... voihan ne vain punnitakin. Mutta kysymys onkin osoitettu niille, jotka osaavat matematiikkaa...

Siis matematiikkaan perustuvaa ratkaisua odotellaan edelleenkin.
--

Lue lisää

Ajatellaan, etta karpalot olisivat niin suuria, että vain yksi karpalo mahtuu astiaan. Silloin tyhjä tila on varmasti suurimmillaan. Jos taas karpalot ovat tavattoman pieniä palloja, niin ne täyttävät koko astian, eika väleja jää.

Näin ollen pienempiä mahtuu enemmän.

aloittaja kirjoitti:

>Arkhimedeen lakia soveltamalla...

Niinpä kyllä... voihan ne vain punnitakin. Mutta kysymys onkin osoitettu niille, jotka osaavat matematiikkaa...

Siis matematiikkaan perustuvaa ratkaisua odotellaan edelleenkin.
--

Lue lisää

Sen verran sentään osaan päätellä, että vaa'an käyttö ei ole tehtäväsi ratkaisussa sallittua...

Minun täytyy (virkistävän aamukylvyn jälkeen) vielä perua Arkhimedeen lakia koskeva päätelmäni, koska Arkhimedeen lain tunteminen ei ole ehdottamani ratkaisun kannalta edes välttämätöntä.

Upotetaan siis astiat vuoronperään (harsokankaalla päällystettynä) vesisaaviin. Riittää ainoastaan seurata vedenpinnan kohoamista. Ja mitä vähemmän vesi kohoaa, sitä vähemmän marjoja kyseisessä astiassa on.

aloittaja kirjoitti:

>Arkhimedeen lakia soveltamalla...

Niinpä kyllä... voihan ne vain punnitakin. Mutta kysymys onkin osoitettu niille, jotka osaavat matematiikkaa...

Siis matematiikkaan perustuvaa ratkaisua odotellaan edelleenkin.
--

Lue lisää

Arveluttaa.
Edellytät, että astia on lieriön muotoinen.
Esimerkiksi putki (tai suoraksi venytetty letku) on muodoltaan lieriö.

Entäpä, jos kyseisen putken sisähalkaisija on 15mm paksuinen ja putken pituus (n. 57 metriä) on määritelty niin, että putken kokonaistilavuudeksi tulee 10 litraa?

sovellus kirjoitti:

Sen verran sentään osaan päätellä, että vaa'an käyttö ei ole tehtäväsi ratkaisussa sallittua...

Minun täytyy (virkistävän aamukylvyn jälkeen) vielä perua Arkhimedeen lakia koskeva päätelmäni, koska Arkhimedeen lain tunteminen ei ole ehdottamani ratkaisun kannalta edes välttämätöntä.

Upotetaan siis astiat vuoronperään (harsokankaalla päällystettynä) vesisaaviin. Riittää ainoastaan seurata vedenpinnan kohoamista. Ja mitä vähemmän vesi kohoaa, sitä vähemmän marjoja kyseisessä astiassa on.

Lue lisää

Mutta onkos sekään matemaattinen ratkaisu? Mielestäni ei ole, vaan empiirinen. Nyt pitäisi tietää, miten _lasketaan_ astiassa olevan tyhjän tilan määrä. Se ei tapahdu kokeita suorittamalla, vaan siihen tarvitaan matematiikkaa. Et ole tähän mennessä esittänyt vielä mitään asiallista vastausta esitettyyn ongelmaan, joten esiintymisesi tällä palstalla on ollut epäasiallista ja häiritsevää. Jos et osaa hahmottaa kysymystä oikein, olisi parempi että että et puuttuisi keskusteluun.

sovellus kirjoitti:

Arveluttaa.
Edellytät, että astia on lieriön muotoinen.
Esimerkiksi putki (tai suoraksi venytetty letku) on muodoltaan lieriö.

Entäpä, jos kyseisen putken sisähalkaisija on 15mm paksuinen ja putken pituus (n. 57 metriä) on määritelty niin, että putken kokonaistilavuudeksi tulee 10 litraa?

Lue lisää

Olet oikeilla jäljillä... tästä se voisi lähteä ratkeamaan! Tuota kun kehittelee eteenpäin niin sehän lähestyy matemaattista ratkaisua.
--

sovellus kirjoitti:

Arveluttaa.
Edellytät, että astia on lieriön muotoinen.
Esimerkiksi putki (tai suoraksi venytetty letku) on muodoltaan lieriö.

Entäpä, jos kyseisen putken sisähalkaisija on 15mm paksuinen ja putken pituus (n. 57 metriä) on määritelty niin, että putken kokonaistilavuudeksi tulee 10 litraa?

Lue lisää

15mm paksuun ja 57m pitkää putkeen menisi 380 marjaa.

Joka omien laskijen mukaan täyttää 66.6666666% putken tilavuudesta.

The son mathematicus god of... kirjoitti:

15mm paksuun ja 57m pitkää putkeen menisi 380 marjaa.

Joka omien laskijen mukaan täyttää 66.6666666% putken tilavuudesta.

Jatkan empiiristä järkeilyä, koska tuon edellä olevan valopään omaa ratkaisua ei ole tänne vielä ilmaantunut...

Tehtävän oletuksena lienee se, että molemmat marja-astiat ovat keskenään samanmuotoisia lieriöitä?

Erikoistapaus 1, putken halkaisija 15mm:

15 mm putken kokonaistilavuuden on oltava 10 litraa, jolloin putken pituuden on oltava tuo 57 metriä (56,58842 metriä).

Tällaiseen putkeen mahtuvien 15mm marjojen määrä on 3772 kpl, joiden yhteistilavuus 6,666 litraa (66,66%). 15mm/57m putkeen mahtuvien 10mm marjojen määrä on 5658 kpl, niiden yhteistilavuus on vain 2,963 litraa (29,63%).

Erikoistapaus 2, putken halkaisija 20mm:

Putken pituudeksi tulee 10 litran tilavuudella 42,44 metriä.
Tällaiseen putkeen mahtuvien 15mm marjojen määrä on 2829 kpl, niiden yhteistilavuus on 4,999 litraa (49,99%).

Avoimena on vielä se kuinka monta 10mm marjaa mahtuu marjakerrosta kohti (2 tai 3 kpl?).
10mm marjojen keskipisteiden voi ajatella asettuvan 20mm ympyrän kehän keskellä olevan sisäkkäisen ympyrän kehälle.
Kyseisen ympyrän halkaisija on 20mm - 2 x (10mm / 2) eli 10mm jolloin sisäkkäisen ympyrän kehän pituudeksi tulee (2*pii*5mm) = 31,4mm.
Näin 10mm marjoja mahtuu sisäkkäisen ympyrän kehälle 3 kappaletta, joka on sama kuin 10mm marjojen määrä yhtä marjakerrosta kohti 20mm putkessa.

20mm/42m putkeen mahtuvien 10mm marjojen määräksi tulee 12732 kpl (3 marjaa per marjakerros), ja marjojen yhteistilavuudeksi 6,666 litraa (66,66%).

Marjojen voidaan ajatella asettuvan isoon lieriöastiaan pakattuna oman halkaisijansa suuruisiin identtisiin pikkulieriöihin. Näin ollen riittää tarkastella ison astian pohjan käytön tehokkuutta ottamatta erikseen kantaa astian korkeuteen.

Astian pohjan alan kasvaessa tilanne kääntyy pienempien marjojen eduksi.
15mm putki on erikoistapaus, siinä isompia marjoja on enemmän. Alle 15mm putkeen ei tietenkään saa ängettyä yhtäkään 15mm marjaa kokonaisena.

sovellus kirjoitti:

Jatkan empiiristä järkeilyä, koska tuon edellä olevan valopään omaa ratkaisua ei ole tänne vielä ilmaantunut...

Tehtävän oletuksena lienee se, että molemmat marja-astiat ovat keskenään samanmuotoisia lieriöitä?

Erikoistapaus 1, putken halkaisija 15mm:

15 mm putken kokonaistilavuuden on oltava 10 litraa, jolloin putken pituuden on oltava tuo 57 metriä (56,58842 metriä).

Tällaiseen putkeen mahtuvien 15mm marjojen määrä on 3772 kpl, joiden yhteistilavuus 6,666 litraa (66,66%). 15mm/57m putkeen mahtuvien 10mm marjojen määrä on 5658 kpl, niiden yhteistilavuus on vain 2,963 litraa (29,63%).

Erikoistapaus 2, putken halkaisija 20mm:

Putken pituudeksi tulee 10 litran tilavuudella 42,44 metriä.
Tällaiseen putkeen mahtuvien 15mm marjojen määrä on 2829 kpl, niiden yhteistilavuus on 4,999 litraa (49,99%).

Avoimena on vielä se kuinka monta 10mm marjaa mahtuu marjakerrosta kohti (2 tai 3 kpl?).
10mm marjojen keskipisteiden voi ajatella asettuvan 20mm ympyrän kehän keskellä olevan sisäkkäisen ympyrän kehälle.
Kyseisen ympyrän halkaisija on 20mm - 2 x (10mm / 2) eli 10mm jolloin sisäkkäisen ympyrän kehän pituudeksi tulee (2*pii*5mm) = 31,4mm.
Näin 10mm marjoja mahtuu sisäkkäisen ympyrän kehälle 3 kappaletta, joka on sama kuin 10mm marjojen määrä yhtä marjakerrosta kohti 20mm putkessa.

20mm/42m putkeen mahtuvien 10mm marjojen määräksi tulee 12732 kpl (3 marjaa per marjakerros), ja marjojen yhteistilavuudeksi 6,666 litraa (66,66%).

Marjojen voidaan ajatella asettuvan isoon lieriöastiaan pakattuna oman halkaisijansa suuruisiin identtisiin pikkulieriöihin. Näin ollen riittää tarkastella ison astian pohjan käytön tehokkuutta ottamatta erikseen kantaa astian korkeuteen.

Astian pohjan alan kasvaessa tilanne kääntyy pienempien marjojen eduksi.
15mm putki on erikoistapaus, siinä isompia marjoja on enemmän. Alle 15mm putkeen ei tietenkään saa ängettyä yhtäkään 15mm marjaa kokonaisena.

Lue lisää

Voi mennä potaskan puolelle, mutta yritetään...

Yleistä ratkaisua haettaessa pitänee selvittää sisäkkäisten ympyräkehien määrä ja sitä kautta sisäkkäisten ympyräkehien yhteenlaskettu pituus.

Sisäkkäisten ympyräkehien yhteenlasketun kehäpituuden avulla saadaan selville marjojen määrä yhtä marjakerrosta kohti
= yhteenlaskettu kehäpituus / marjan halkaisija

Sisäkkäisten ympyröiden halkaisijat pienevät ison lieriön halkaisijaan nähden seuraavan sarjan mukaan:

dL = ison lieriön halkaisija
dM = marjan halkaisija

= dL - 1 * dM
= dL - 3 * dM
= dL - 5 * dM
= dL - 7 * dM
= DL - 9 * dM
= DL - 11 * dM
...jne.

Raja-arvoksi tuleva viimeinen sisäkkäinen ympyrä on se, jonka halkaisija jää marjan halkaisijaa (dM) pienemmäksi.

sovellus kirjoitti:

Voi mennä potaskan puolelle, mutta yritetään...

Yleistä ratkaisua haettaessa pitänee selvittää sisäkkäisten ympyräkehien määrä ja sitä kautta sisäkkäisten ympyräkehien yhteenlaskettu pituus.

Sisäkkäisten ympyräkehien yhteenlasketun kehäpituuden avulla saadaan selville marjojen määrä yhtä marjakerrosta kohti
= yhteenlaskettu kehäpituus / marjan halkaisija

Sisäkkäisten ympyröiden halkaisijat pienevät ison lieriön halkaisijaan nähden seuraavan sarjan mukaan:

dL = ison lieriön halkaisija
dM = marjan halkaisija

= dL - 1 * dM
= dL - 3 * dM
= dL - 5 * dM
= dL - 7 * dM
= DL - 9 * dM
= DL - 11 * dM
...jne.

Raja-arvoksi tuleva viimeinen sisäkkäinen ympyrä on se, jonka halkaisija jää marjan halkaisijaa (dM) pienemmäksi.

Lue lisää

Edellistä on näköjään pakko korjata ainakin siltä osin, että marjojen määrä on pakko laskea erikseen kutakin sisäkkäistä ympyrää kohti.
Yhteenlaskettua kehäpituutta ei voi käyttää suoraan, koska marjat asettuvat kehille kehä kehältä. Ylitse jäävää tilaa ei siis voi käyttää täyttämisessä hyväksi.

sovellus kirjoitti:

Edellistä on näköjään pakko korjata ainakin siltä osin, että marjojen määrä on pakko laskea erikseen kutakin sisäkkäistä ympyrää kohti.
Yhteenlaskettua kehäpituutta ei voi käyttää suoraan, koska marjat asettuvat kehille kehä kehältä. Ylitse jäävää tilaa ei siis voi käyttää täyttämisessä hyväksi.

Lue lisää

Oikeilla jäljillä... luulisin.

Pieni mutta tässä tietenkin on: vuorottaisissa kerroksissa olevat marjat eivät ole välttämättä juuri päällekkäin, vaan saattavat sijoittua kahden (tai kolmen) alapuolella olevan marjan muodostamaan "kuppiin" - se tehostaa tilan käyttöä. Mutta mutkistaa laskentaa.
--

Topias kirjoitti:

Oikeilla jäljillä... luulisin.

Pieni mutta tässä tietenkin on: vuorottaisissa kerroksissa olevat marjat eivät ole välttämättä juuri päällekkäin, vaan saattavat sijoittua kahden (tai kolmen) alapuolella olevan marjan muodostamaan "kuppiin" - se tehostaa tilan käyttöä. Mutta mutkistaa laskentaa.
--

Lue lisää

Tämä kuulostaa ihan perus pakkaustekniseltä ongelmalta, mistä fiksujen kemistien olen joskus kuullut puhuvan.

http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html

Näitä ongelmia ovat aikoinaan miettineet jo mm. Kepler ja Gauss, joten en vielä suostu myöntämään olevani ihan tyhmä kun en tätä osaa :P

Topias kirjoitti:

Oikeilla jäljillä... luulisin.

Pieni mutta tässä tietenkin on: vuorottaisissa kerroksissa olevat marjat eivät ole välttämättä juuri päällekkäin, vaan saattavat sijoittua kahden (tai kolmen) alapuolella olevan marjan muodostamaan "kuppiin" - se tehostaa tilan käyttöä. Mutta mutkistaa laskentaa.
--

Lue lisää

Jotain tuollaista osasin kyllä vähän epäillä...

Sitten muinaisten lukioaikojen en ole tällaisia edes yrittänyt laskea.
Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

sovellus kirjoitti:

Jotain tuollaista osasin kyllä vähän epäillä...

Sitten muinaisten lukioaikojen en ole tällaisia edes yrittänyt laskea.
Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

Lue lisää

Enpä olisi luulenut minäkään, että ihan noin monimutkaiseen matematiikkaan johtaisi tämä "näin yksinkertainen tehtävä"!

>Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

Ihan totta! Ja onnea vaan yrityksestä!

Itse taidan suosiolla suostua "empiirisiin keinoihin" ja paljastaa totuuden: punnittuna astiassa A on marjoja 6,5 kg ja astiassa B noin 6,0 kg. Astiat ovat noin 9 litran vetoisia.

Kiitokset kaikille ongelmaa selvitellelleille!
--

Topias kirjoitti:

Enpä olisi luulenut minäkään, että ihan noin monimutkaiseen matematiikkaan johtaisi tämä "näin yksinkertainen tehtävä"!

>Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

Ihan totta! Ja onnea vaan yrityksestä!

Itse taidan suosiolla suostua "empiirisiin keinoihin" ja paljastaa totuuden: punnittuna astiassa A on marjoja 6,5 kg ja astiassa B noin 6,0 kg. Astiat ovat noin 9 litran vetoisia.

Kiitokset kaikille ongelmaa selvitellelleille!
--

Lue lisää

Löytämäni linkki, joka valaisee pakkausteknisen optimoinnin kiemuroita:

http://www.cs.uta.fi/research/theses/masters/Laakso_Jussi.pdf#search="pakkauksen sisällön optimointi"

Topias kirjoitti:

Enpä olisi luulenut minäkään, että ihan noin monimutkaiseen matematiikkaan johtaisi tämä "näin yksinkertainen tehtävä"!

>Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

Ihan totta! Ja onnea vaan yrityksestä!

Itse taidan suosiolla suostua "empiirisiin keinoihin" ja paljastaa totuuden: punnittuna astiassa A on marjoja 6,5 kg ja astiassa B noin 6,0 kg. Astiat ovat noin 9 litran vetoisia.

Kiitokset kaikille ongelmaa selvitellelleille!
--

Lue lisää

Kaikki tällaiset pakkausongelmat ovat todella vaikeita, sen verran olen asiaa elämäni varrella harrastanut. Jo yksinkertaiset kaksiulotteiset ongelmat, esimerkiksi samankokoiset ympyrät suorakaiteessa, ovat kohtuullisen hankalia ratkaista. Sitten kun mennään ongelmiin, joissa kappaleiden dimensiot ovat erisuuria, vaikka niiden muoto säilyy samana, ongelma edelleen vaikeutuu.

Kaksidimensionaalisissa ongelmisssa kaikkein vaikeimpia ovat tietysti mielivaltaisten kappaleiden sijoittaminen mielivaltaiselle aihiolle, mikä käytännössä on tehtävä jonkinlaisella sivistyneellä arvauksella, koska täydellisen ratkaisen hakemiseen ei maailman kaikki tietokoneteho vieläkään riitä.

Kolmiulotteiset ongelmat ovat minulle oudompia, mutta luulisin, että niiden ratkaisun mutkikkuus verrattuna kaksiulotteisiin kasvaa ainakin suhteessa (3/2)^N, missä N on melkoisen suuri luku.

Jäärä kirjoitti:

Kaikki tällaiset pakkausongelmat ovat todella vaikeita, sen verran olen asiaa elämäni varrella harrastanut. Jo yksinkertaiset kaksiulotteiset ongelmat, esimerkiksi samankokoiset ympyrät suorakaiteessa, ovat kohtuullisen hankalia ratkaista. Sitten kun mennään ongelmiin, joissa kappaleiden dimensiot ovat erisuuria, vaikka niiden muoto säilyy samana, ongelma edelleen vaikeutuu.

Kaksidimensionaalisissa ongelmisssa kaikkein vaikeimpia ovat tietysti mielivaltaisten kappaleiden sijoittaminen mielivaltaiselle aihiolle, mikä käytännössä on tehtävä jonkinlaisella sivistyneellä arvauksella, koska täydellisen ratkaisen hakemiseen ei maailman kaikki tietokoneteho vieläkään riitä.

Kolmiulotteiset ongelmat ovat minulle oudompia, mutta luulisin, että niiden ratkaisun mutkikkuus verrattuna kaksiulotteisiin kasvaa ainakin suhteessa (3/2)^N, missä N on melkoisen suuri luku.

Lue lisää

Käytäntö on tositilanne, jonka raameihin matematiikan selitysvoima ei aina mahdu tai riitä. Käytäntö myös osoittaa sen voidaanko empirismillä jatkaa siitä minne matematiikan selitysvoima loppuu...

Topias kirjoitti:

Enpä olisi luulenut minäkään, että ihan noin monimutkaiseen matematiikkaan johtaisi tämä "näin yksinkertainen tehtävä"!

>Mutta ihan kiva, että etenin tännekin asti.

Ihan totta! Ja onnea vaan yrityksestä!

Itse taidan suosiolla suostua "empiirisiin keinoihin" ja paljastaa totuuden: punnittuna astiassa A on marjoja 6,5 kg ja astiassa B noin 6,0 kg. Astiat ovat noin 9 litran vetoisia.

Kiitokset kaikille ongelmaa selvitellelleille!
--

Lue lisää

Olisivatko isommat marjat mehustuneempia, sitä kautta suhteellisesti raskaampia eikä alkuperäinen olettama marjojen yhtäläisestä tiheydestä enää pitäisikään paikkaansa?

Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta. Meillä on siis lieriö, jonka sisähalkaisija ja korkeus ovat sama kuin lieriön sisällä olevan pallon halkaisija:

(Vp) pallon tilavuus = (4/3) * pii * r^3
(Vs) lieriön tilavuus = 2 * pii * r^2 * (2 * r)

Vp/Vs = 2/3 = 0,667 (66,67%)

Edellinen suhdeluku ei alkuperäisen tehtävän kannalta kerro matemaattisesti tehokkaimmasta tavasta välttämättä yhtään mitään eikä ota huomioon sitä vaatimusta, että marja-astioiden on oltava keskenään yhdenmuotoiset. Mutta, se on yksi laskettavissa oleva, vähemmän tehokas pakkaustapa, jossa yhtä lieriöastiaa kohti on yksi marja, joka juuri ja juuri sovittuu lieriöastiaan.

Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän.

Marjalajikkeiden vertailu on sitä helpompaa, mitä suurempi kokoero marjojen välillä on. Pienempien marjojen halkaisijoiden monikertoja syntyy tiheämmin välein ja sitä tehokkaammin ne tasoittuvat ja sovittuvat ison astian raameihin, niin vaaka- kuin pystysuunnassa.
Marjakoon pienetessä lähestytään tilannetta, jossa marjat alkavat muistuttaa marjasosetta ja, jossa saavutettu täyttöaste lähestyy 100%.:ia.

On mahdollista, että joku laskentavoiman avulla onnistuu hakemaan marjatehtävälle absoluuttisen optimaalisen ratkaisun. On mahdollista, jopa todennäköistä, että sellainen optimaalinen pakkaus on paino- ja kitkavoimien kannalta stabiili, eikä pakkaus tarvitsisi tuekseen tilaa vieviä tukirakenteita.

Entä, kestäisikö marjojen asettelu (marja marjalta se kai on tehtävä) astiaan liian kauan, jos käytettävissä olisi matemaattisesti optimaalisin tapa?

sovellus kirjoitti:

Olisivatko isommat marjat mehustuneempia, sitä kautta suhteellisesti raskaampia eikä alkuperäinen olettama marjojen yhtäläisestä tiheydestä enää pitäisikään paikkaansa?

Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta. Meillä on siis lieriö, jonka sisähalkaisija ja korkeus ovat sama kuin lieriön sisällä olevan pallon halkaisija:

(Vp) pallon tilavuus = (4/3) * pii * r^3
(Vs) lieriön tilavuus = 2 * pii * r^2 * (2 * r)

Vp/Vs = 2/3 = 0,667 (66,67%)

Edellinen suhdeluku ei alkuperäisen tehtävän kannalta kerro matemaattisesti tehokkaimmasta tavasta välttämättä yhtään mitään eikä ota huomioon sitä vaatimusta, että marja-astioiden on oltava keskenään yhdenmuotoiset. Mutta, se on yksi laskettavissa oleva, vähemmän tehokas pakkaustapa, jossa yhtä lieriöastiaa kohti on yksi marja, joka juuri ja juuri sovittuu lieriöastiaan.

Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän.

Marjalajikkeiden vertailu on sitä helpompaa, mitä suurempi kokoero marjojen välillä on. Pienempien marjojen halkaisijoiden monikertoja syntyy tiheämmin välein ja sitä tehokkaammin ne tasoittuvat ja sovittuvat ison astian raameihin, niin vaaka- kuin pystysuunnassa.
Marjakoon pienetessä lähestytään tilannetta, jossa marjat alkavat muistuttaa marjasosetta ja, jossa saavutettu täyttöaste lähestyy 100%.:ia.

On mahdollista, että joku laskentavoiman avulla onnistuu hakemaan marjatehtävälle absoluuttisen optimaalisen ratkaisun. On mahdollista, jopa todennäköistä, että sellainen optimaalinen pakkaus on paino- ja kitkavoimien kannalta stabiili, eikä pakkaus tarvitsisi tuekseen tilaa vieviä tukirakenteita.

Entä, kestäisikö marjojen asettelu (marja marjalta se kai on tehtävä) astiaan liian kauan, jos käytettävissä olisi matemaattisesti optimaalisin tapa?

Lue lisää

Ensin sanot

"Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."

Sitten

"Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän. "

Kumpaa tarkoitat?

"Marjakoon pienetessä lähestytään tilannetta, jossa marjat alkavat muistuttaa marjasosetta ja, jossa saavutettu täyttöaste lähestyy 100%.:ia."

Tässä on kyllä mennyt matematiikka ja fysiikka sekaisin. Sosetta ei matikan tutkiskelulla synny. On yhdentekevää mitkä mittasuhteet valitset, suhteet ovat ja pysyvät.

ymmärtämätön kirjoitti:

Ensin sanot

"Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."

Sitten

"Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän. "

Kumpaa tarkoitat?

"Marjakoon pienetessä lähestytään tilannetta, jossa marjat alkavat muistuttaa marjasosetta ja, jossa saavutettu täyttöaste lähestyy 100%.:ia."

Tässä on kyllä mennyt matematiikka ja fysiikka sekaisin. Sosetta ei matikan tutkiskelulla synny. On yhdentekevää mitkä mittasuhteet valitset, suhteet ovat ja pysyvät.

Lue lisää

"Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."
- edellisestä minulla kai oli esittää kelvollinen matem. todistus?

"Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän. "
- koeta pohtia asiaa sillä tavalla, että yhden lieriöastian kokoisen ison marjan tilalla on vaihtoehtoisesti monta pientä (esim. 1000) marjaa, joiden yhteenlaskettu tilavuus kuitenkin on sama kuin ison marjan tilavuus. Sen jälkeen mietiskele pienten marjojen asettumista lieriöastiaan isoon marjaan verrattuna.

Matematiikan, fysiikan ja empiriikan sosetta tästä tähän asti näyttää syntyneenkin. Mutta mitä, jos se nimenomaan on tämän tehtävän opetus?
Ainakin siihen asti, kun sinä tai kuka tahansa muu osaava matematiikko jotain muuta pystyy pitävästi todistamaan.

sovellus kirjoitti:

"Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."
- edellisestä minulla kai oli esittää kelvollinen matem. todistus?

"Kun marjan koko tästä pienenee, hukkatilaa alkaa jäädä vähemmän. "
- koeta pohtia asiaa sillä tavalla, että yhden lieriöastian kokoisen ison marjan tilalla on vaihtoehtoisesti monta pientä (esim. 1000) marjaa, joiden yhteenlaskettu tilavuus kuitenkin on sama kuin ison marjan tilavuus. Sen jälkeen mietiskele pienten marjojen asettumista lieriöastiaan isoon marjaan verrattuna.

Matematiikan, fysiikan ja empiriikan sosetta tästä tähän asti näyttää syntyneenkin. Mutta mitä, jos se nimenomaan on tämän tehtävän opetus?
Ainakin siihen asti, kun sinä tai kuka tahansa muu osaava matematiikko jotain muuta pystyy pitävästi todistamaan.

Lue lisää

""Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."
- edellisestä minulla kai oli esittää kelvollinen matem. todistus? "

Sen mitä luin, niin ilmeisestikin annetuille oletuksilla kyllä. En vain ymmärrä miten voit ensin olettaa, että lieriössä on kokonainen pallo, eli marjat asettuvat lieriön malliin suoraan päällekkäin, mutta sitten jos koko muuttuu niin ne eivät asetukaan päällekkäin. Mielestäni logiikkasi mättää tuossa kohdassa. Jos ne ovat suoraan päällekkäin, niin ne ovat sitä koosta riippumatta.

"koeta pohtia asiaa sillä tavalla, että yhden lieriöastian kokoisen ison marjan tilalla on vaihtoehtoisesti monta pientä (esim. 1000) marjaa, joiden yhteenlaskettu tilavuus kuitenkin on sama kuin ison marjan tilavuus."

Sama juttu. Oletat ensin, että yksi marja menee lieriönmalliin, mutta jos niitä on useampia, niin ne eivät mene.

En kylläkään ole lukenut ketjun kaikkia viestejä, joten voi olla, että en vain ymmärrä mitä tarkoitat.

mjaaha kirjoitti:

""Pallon ja sen ympärille sovitetun lieriön tilavuuksien suhde on vakio, se ei riipu pallon säteestä/halkaisijasta."
- edellisestä minulla kai oli esittää kelvollinen matem. todistus? "

Sen mitä luin, niin ilmeisestikin annetuille oletuksilla kyllä. En vain ymmärrä miten voit ensin olettaa, että lieriössä on kokonainen pallo, eli marjat asettuvat lieriön malliin suoraan päällekkäin, mutta sitten jos koko muuttuu niin ne eivät asetukaan päällekkäin. Mielestäni logiikkasi mättää tuossa kohdassa. Jos ne ovat suoraan päällekkäin, niin ne ovat sitä koosta riippumatta.

"koeta pohtia asiaa sillä tavalla, että yhden lieriöastian kokoisen ison marjan tilalla on vaihtoehtoisesti monta pientä (esim. 1000) marjaa, joiden yhteenlaskettu tilavuus kuitenkin on sama kuin ison marjan tilavuus."

Sama juttu. Oletat ensin, että yksi marja menee lieriönmalliin, mutta jos niitä on useampia, niin ne eivät mene.

En kylläkään ole lukenut ketjun kaikkia viestejä, joten voi olla, että en vain ymmärrä mitä tarkoitat.

Lue lisää

Vaihtoehtojen pohdintaahan tämä vain on. Ketjun lukeminen voi helpottaa, tai sitten ei.

Ymmärsit 100% väärin. En sanonut, että pienemmät marjat eivät mahdu astiaan. Totesin vain, että hukkatilaa jää pienillä marjoilla täytettäessä vähemmän.
Se on kokonaan toinen asia, joka kääntäen tarkoittaa nimenomaan sitä, että pienet marjat mahtuvat/sovittuvat samaan astiaan paremmin/tehokkaammin.
Vieläkin yksinkertaisemmin se tarkoittaa: Pieniä marjoja (marjojen tilavuus) mahtuu ison astian rajaamaan tilavuuteen enemmän!

sovellus kirjoitti:

Vaihtoehtojen pohdintaahan tämä vain on. Ketjun lukeminen voi helpottaa, tai sitten ei.

Ymmärsit 100% väärin. En sanonut, että pienemmät marjat eivät mahdu astiaan. Totesin vain, että hukkatilaa jää pienillä marjoilla täytettäessä vähemmän.
Se on kokonaan toinen asia, joka kääntäen tarkoittaa nimenomaan sitä, että pienet marjat mahtuvat/sovittuvat samaan astiaan paremmin/tehokkaammin.
Vieläkin yksinkertaisemmin se tarkoittaa: Pieniä marjoja (marjojen tilavuus) mahtuu ison astian rajaamaan tilavuuteen enemmän!

Lue lisää

"Totesin vain, että hukkatilaa jää pienillä marjoilla täytettäessä vähemmän."

Todista tämä. En ymmärrä mistä tällainen päätelmä voi tulla. En sano, että asia ei olisi niin vaan että en ymmärrä mistä tällainen päätelmä tulee.

Se pitää paikkansa jos verrataan esim. yhtä pirun isoa marjaa, jonkalaisia menee vain yksi astiaan, kahteen vähän pienempään, joita myöskin menee vain yksi astiaan, mutta en ymmärrä miten voit tehdä yleistyksen.

Äärettömän pieniä marjoja ei ole olemassa (tämän tehtävän yhteydessä ainakaan). Eli ei voida päätellä, että pienemmät jättäisivät enemmän hukkatilaa ainakaan sen perusteella. Oli marja kuin pieni tahansa, niin se on edelleen matemaattisesti pallo ja hukkatilaa jää aina samassa mielessä kuin isompien marjojen kanssa. Ainut mihin marjan koko voi vaikuttaa on optimaalinen rakenne, mutta et ole vetänyt yhtään päätelmää siihen suuntaan.

Mielestäni et käsittelee tehtävää puhtaan matemaattisesti, vaan sokeudut matkalla.

no mää kirjoitti:

"Totesin vain, että hukkatilaa jää pienillä marjoilla täytettäessä vähemmän."

Todista tämä. En ymmärrä mistä tällainen päätelmä voi tulla. En sano, että asia ei olisi niin vaan että en ymmärrä mistä tällainen päätelmä tulee.

Se pitää paikkansa jos verrataan esim. yhtä pirun isoa marjaa, jonkalaisia menee vain yksi astiaan, kahteen vähän pienempään, joita myöskin menee vain yksi astiaan, mutta en ymmärrä miten voit tehdä yleistyksen.

Äärettömän pieniä marjoja ei ole olemassa (tämän tehtävän yhteydessä ainakaan). Eli ei voida päätellä, että pienemmät jättäisivät enemmän hukkatilaa ainakaan sen perusteella. Oli marja kuin pieni tahansa, niin se on edelleen matemaattisesti pallo ja hukkatilaa jää aina samassa mielessä kuin isompien marjojen kanssa. Ainut mihin marjan koko voi vaikuttaa on optimaalinen rakenne, mutta et ole vetänyt yhtään päätelmää siihen suuntaan.

Mielestäni et käsittelee tehtävää puhtaan matemaattisesti, vaan sokeudut matkalla.

Lue lisää

Tiedän, lausumani on osittain empiirinen, eikä näin ollen matemaattisesti todistusvoimainen.
Edelleen on voimassa väittämäni, että yksi iso pallo täyttää kokoisensa lieriöastian tilavuudesta 66,7% ja, että 33,3% kyseisen astian tilavuudesta jää käyttämättä.
Pienentämällä vertailuryhmän marjojen kokoa päädytään ilmiselvästi tilanteeseen, jossa täyttöaste lähenee 100:ia.%.
Tämä tästä toistaiseksi minun osaltani.

Edelleen toivon, että joku osaava matemaatikko esittää asiasta vastaavan (yhtä hyvin myös päinvastaisen) todistuksen.

Haet vertailukohtia todellisuudesta, luonnossa esiintyvistä marjoista, samanaikaisesti hehkutat matemaattisella idealismilla.
Syyllistit minua sokeutumisesta empirismiin, nyt on sinun vuorosi:
Matematiikka ei tunne marjoja, se tuntee vain palloja. Matematiikan puolesta ei ole olemassa ylä- tai alarajoja sille, mikä pallon koko on.

sovellus kirjoitti:

Tiedän, lausumani on osittain empiirinen, eikä näin ollen matemaattisesti todistusvoimainen.
Edelleen on voimassa väittämäni, että yksi iso pallo täyttää kokoisensa lieriöastian tilavuudesta 66,7% ja, että 33,3% kyseisen astian tilavuudesta jää käyttämättä.
Pienentämällä vertailuryhmän marjojen kokoa päädytään ilmiselvästi tilanteeseen, jossa täyttöaste lähenee 100:ia.%.
Tämä tästä toistaiseksi minun osaltani.

Edelleen toivon, että joku osaava matemaatikko esittää asiasta vastaavan (yhtä hyvin myös päinvastaisen) todistuksen.

Haet vertailukohtia todellisuudesta, luonnossa esiintyvistä marjoista, samanaikaisesti hehkutat matemaattisella idealismilla.
Syyllistit minua sokeutumisesta empirismiin, nyt on sinun vuorosi:
Matematiikka ei tunne marjoja, se tuntee vain palloja. Matematiikan puolesta ei ole olemassa ylä- tai alarajoja sille, mikä pallon koko on.

Lue lisää

"Pienentämällä vertailuryhmän marjojen kokoa päädytään ilmiselvästi tilanteeseen, jossa täyttöaste lähenee 100:ia.%. "

Tämä ei suinkaan ole ilmiselvää. Olen valmis jopa väittämään, että väite ei ole edes totta, mutta todistusta en ainakaan suoraa osaa antaa. Alempana tarjosin hyvin pitkästi yksinkertaistetun mallin, missä oli ympyröitä neliön sisällä NxN ruudukkona. Jos lasket miten siinä täyttöasteen käy kun pallon koko pienenee, niin huomaat mitä tarkoitan.

Tilanne on siis
|---|
|OOO|
|OOO|
|OOO|
|---|
ja ympyröitä on aina n^2 jollekin n in N. Sivun pituutena voit pitää vaikka s:ää.

"Matematiikka ei tunne marjoja, se tuntee vain palloja. Matematiikan puolesta ei ole olemassa ylä- tai alarajoja sille, mikä pallon koko on."

Juuri näin. Pallon koolla ei ole mitään merkitystä jos halutaan laskea suhteilla.

En ole hakenut vertailukohtia luonnosta vaan nimesin pallot karpaloiksi/marjoiksi aloittajan tapaan.

sovellus kirjoitti:

Tiedän, lausumani on osittain empiirinen, eikä näin ollen matemaattisesti todistusvoimainen.
Edelleen on voimassa väittämäni, että yksi iso pallo täyttää kokoisensa lieriöastian tilavuudesta 66,7% ja, että 33,3% kyseisen astian tilavuudesta jää käyttämättä.
Pienentämällä vertailuryhmän marjojen kokoa päädytään ilmiselvästi tilanteeseen, jossa täyttöaste lähenee 100:ia.%.
Tämä tästä toistaiseksi minun osaltani.

Edelleen toivon, että joku osaava matemaatikko esittää asiasta vastaavan (yhtä hyvin myös päinvastaisen) todistuksen.

Haet vertailukohtia todellisuudesta, luonnossa esiintyvistä marjoista, samanaikaisesti hehkutat matemaattisella idealismilla.
Syyllistit minua sokeutumisesta empirismiin, nyt on sinun vuorosi:
Matematiikka ei tunne marjoja, se tuntee vain palloja. Matematiikan puolesta ei ole olemassa ylä- tai alarajoja sille, mikä pallon koko on.

Lue lisää

Meni hierarkia liian syväksi, eli vastaan tähän kohtaan.

Yritin tällaista neliöpohjaista viritystä:

1. piirsin 1000mm * 1000mm ruudukon
2. ruudukon sisällä keskellä on iso ympyrä, säteeltään 500mm. Ison ympyrän alaksi saadaan pii * (500^2) mm2 eli 7853,98mm2
3. piirsin samaan ruudukkoon riviä kohti 10 kpl 5mm säteisiä ympyröitä, yhteensä 100 kpl. Pikku ympyrän alaksi tulee pii * (5^2) mm2 eli 78,5398mm2 ja pikkuympyröiden yhteenlasketuksi alaksi 100 * 78,5398mm2 = 7853,98mm2. Ja sehän on sama kuin ison ympyrän pinta-ala.

Mutta, mitä tämä alkuperäisen tehtävän kannalta sitten voisi merkitä?

Joo, hierarkiapa pisti rajat vastaan. Jatketaan täältä.

"Yritin tällaista neliöpohjaista viritystä:

Mutta, mitä tämä alkuperäisen tehtävän kannalta sitten voisi merkitä?"

Ajatellaan sivun pituudeksi mainittu s. Tällöin jos ympyrät on aseteltu kuten sanoin ja niitä on n^2 kappaletta, niin yhden ympyrän halkaisija on s/n ja säde siten s/2n. Ympyröitä on n^2 kappaletta ja kunkin pinta-ala on a=pi*r^2 missä r=s/2n, eli a=pi*s^2/4n^2. Koska ympyröitä on n^2 kappaletta, niin niiden kokonaisala on A = n^2*a = n^2*pi*s^2/4n^2 = pi*s^2/4. Neliön ala on puolestaan s^2 ja suhteeksi saadaan (pi*s^2/4)/s^2=pi/4.

Kuten huomataan, niin suhde ei ole mitenkään ympyrän koosta kiinni. Tästä voidaan päätellä, että on aivan sama kuinka paljon ympyröitä on neliössä - tilanne on aivan yhtenevä joka tapauksessa.

Toki päätelmän voi tehdä suoraan piirtämällä kuvan ja huomaamalla, että jokaisen ympyrän ympäri tulee neliö ja varsinaista laskua ei ole tarve käydä läpi.

Tämä on tietysti hyvin pitkälti yksinkertaistettu tilanne alkuperäiseen ongelmaan nähden eikä varsinaisesti sano mitään siitä, mutta antaa ehkä hieman tarkasteluperspektiiviä. Olettaisin itse, että jossain kohdalla menee raja minkä jälkeen karpaloiden lukumäärä on yhdentekevä tilavuuden suhteiden osalta. Sen todistaminen ei vaan ole tässä tapauksessa itsestäänselvyys, jos ylipäätään mahdollistakaan.

Jäärä kirjoitti:

Kaikki tällaiset pakkausongelmat ovat todella vaikeita, sen verran olen asiaa elämäni varrella harrastanut. Jo yksinkertaiset kaksiulotteiset ongelmat, esimerkiksi samankokoiset ympyrät suorakaiteessa, ovat kohtuullisen hankalia ratkaista. Sitten kun mennään ongelmiin, joissa kappaleiden dimensiot ovat erisuuria, vaikka niiden muoto säilyy samana, ongelma edelleen vaikeutuu.

Kaksidimensionaalisissa ongelmisssa kaikkein vaikeimpia ovat tietysti mielivaltaisten kappaleiden sijoittaminen mielivaltaiselle aihiolle, mikä käytännössä on tehtävä jonkinlaisella sivistyneellä arvauksella, koska täydellisen ratkaisen hakemiseen ei maailman kaikki tietokoneteho vieläkään riitä.

Kolmiulotteiset ongelmat ovat minulle oudompia, mutta luulisin, että niiden ratkaisun mutkikkuus verrattuna kaksiulotteisiin kasvaa ainakin suhteessa (3/2)^N, missä N on melkoisen suuri luku.

Lue lisää

Näinhän se on. Vielä ei käsittääkseni edes tiedetä, mikä on pienin neliö, jonka sisään voidaan pakata 11 yksikköneliötä, joilla ei ole yhteisiä sisäpisteitä. Ei taida tuota tehtävää osata ratkaista edes Joulupukin tontut, vaikka aikamoisia pakkauseksperttejä ovatkin.

sitten jatkan kirjoitti:

Joo, hierarkiapa pisti rajat vastaan. Jatketaan täältä.

"Yritin tällaista neliöpohjaista viritystä:

Mutta, mitä tämä alkuperäisen tehtävän kannalta sitten voisi merkitä?"

Ajatellaan sivun pituudeksi mainittu s. Tällöin jos ympyrät on aseteltu kuten sanoin ja niitä on n^2 kappaletta, niin yhden ympyrän halkaisija on s/n ja säde siten s/2n. Ympyröitä on n^2 kappaletta ja kunkin pinta-ala on a=pi*r^2 missä r=s/2n, eli a=pi*s^2/4n^2. Koska ympyröitä on n^2 kappaletta, niin niiden kokonaisala on A = n^2*a = n^2*pi*s^2/4n^2 = pi*s^2/4. Neliön ala on puolestaan s^2 ja suhteeksi saadaan (pi*s^2/4)/s^2=pi/4.

Kuten huomataan, niin suhde ei ole mitenkään ympyrän koosta kiinni. Tästä voidaan päätellä, että on aivan sama kuinka paljon ympyröitä on neliössä - tilanne on aivan yhtenevä joka tapauksessa.

Toki päätelmän voi tehdä suoraan piirtämällä kuvan ja huomaamalla, että jokaisen ympyrän ympäri tulee neliö ja varsinaista laskua ei ole tarve käydä läpi.

Tämä on tietysti hyvin pitkälti yksinkertaistettu tilanne alkuperäiseen ongelmaan nähden eikä varsinaisesti sano mitään siitä, mutta antaa ehkä hieman tarkasteluperspektiiviä. Olettaisin itse, että jossain kohdalla menee raja minkä jälkeen karpaloiden lukumäärä on yhdentekevä tilavuuden suhteiden osalta. Sen todistaminen ei vaan ole tässä tapauksessa itsestäänselvyys, jos ylipäätään mahdollistakaan.

Lue lisää

Yksi iso pallo sovittuu halkaisijansa kokoisen kuution sisälle hyötysuhteella 52,36%. Jos kuution sivu jaetaan tasajakovälein 1/10, voidaan helposti laskea vastaava 1000 pienemmmän pallon sovittuminen, ja saadaan hyötysuhteeksi samainen 52,36%.

On vertailtu ideaaleja tapauksia ja sitä myötä etäännytty alkuperäisestä tehtävästä.
Alkuperäisen tehtävän peruslähtökohta on kahden lieriöastian yhtäläisyys/samanmuotoisuus. Lieriöastiaa ei myöskään saisi etukäteen ajatella optimoiduksi kummankaan marjakoon suhteen.

Saako pienempi marjakoko jotain TODENnäköisyyteen perustuvaa suhteellista etua asettumisessaan sovittumisen kannalta epätäydellisen muotoiseen isoon astiaan? Ainakin tähän asti uskallan vastata kyllä.

Perusteluni on se entinen: "Pienempien marjojen halkaisijoiden monikertoja syntyy tiheämmin välein ja sitä tehokkaammin ne tasoittuvat ja sovittuvat ison astian raameihin, niin vaaka- kuin pystysuunnassa. Marjalajikkeiden vertailu on sitä helpompaa, mitä suurempi kokoero marjojen välillä on."

sovellus kirjoitti:

Yksi iso pallo sovittuu halkaisijansa kokoisen kuution sisälle hyötysuhteella 52,36%. Jos kuution sivu jaetaan tasajakovälein 1/10, voidaan helposti laskea vastaava 1000 pienemmmän pallon sovittuminen, ja saadaan hyötysuhteeksi samainen 52,36%.

On vertailtu ideaaleja tapauksia ja sitä myötä etäännytty alkuperäisestä tehtävästä.
Alkuperäisen tehtävän peruslähtökohta on kahden lieriöastian yhtäläisyys/samanmuotoisuus. Lieriöastiaa ei myöskään saisi etukäteen ajatella optimoiduksi kummankaan marjakoon suhteen.

Saako pienempi marjakoko jotain TODENnäköisyyteen perustuvaa suhteellista etua asettumisessaan sovittumisen kannalta epätäydellisen muotoiseen isoon astiaan? Ainakin tähän asti uskallan vastata kyllä.

Perusteluni on se entinen: "Pienempien marjojen halkaisijoiden monikertoja syntyy tiheämmin välein ja sitä tehokkaammin ne tasoittuvat ja sovittuvat ison astian raameihin, niin vaaka- kuin pystysuunnassa. Marjalajikkeiden vertailu on sitä helpompaa, mitä suurempi kokoero marjojen välillä on."

Lue lisää

"Pienempien marjojen halkaisijoiden monikertoja syntyy tiheämmin välein ja sitä tehokkaammin ne tasoittuvat ja sovittuvat ison astian raameihin, niin vaaka- kuin pystysuunnassa. Marjalajikkeiden vertailu on sitä helpompaa, mitä suurempi kokoero marjojen välillä on."

Ja jotain kättä pidempää:

1. http://www.packomania.com/
2. ja pääsivulta "circles in a circle" -linkkiin
3. ison taulukon density-sarake on aika mielenkiintoinen

Spiraaleja:
http://www.buddenbooks.com/jb/pack/circle/snakes.htm

Jos olettaisi optimaalisen karpaloiden asettumisen vastaavan jotain hilarakennetta H, joka on itse asiassa vektorin (x,y,z) suhteen karakteristinen funktio siinä mielessä, että jos H:(x,y,z)->1 niin pisteessä (x,y,z) on jonkin karpalon keskipiste ja muuten H:(x,y,z)->0.

Tämä optimaalinen rakenne on keräysastion suhteen periodinen tai sitten ei. Jos se on periodinen, niin on olemassa jokin alihila H_0 jota monistamalla voidaan rakentaa varsinainen hila H ja tämä alihila tulee väistämättä kokonaisuudessaan ainakin kerran astian sisään. Nyt hilan fyysinen koko riippuu marjojen läpimitasta ja jos oletetaan sen mahtuvan astiaan sekä isoilla, että pienillä karpaloilla, niin astioissa on ainakin kaksi yhtenevää rakennetta karpaloita. Nyt siis kokonaiset hilat eivät vaikuta mitenkään asiaan ja riittää tarkastella vain niitä kohtia, jotka eivät muodosta kokonaista hilarakennetta.

Jos hilarakenne on symmetrinen, kuten voisi olettaa, niin tällöin voisi myös olettaa, että tällaisia "ylimääräisiä" rakenteita tulee molempiin ämpäriin yhtälailla paljon ja tullaan uudestaan päätelmään, että karpaloiden lukumäärä ei vaikuta asiaan.

Ainakin jos astian läpimitta on A ja karpalon B, niin jos B/A pienenee, niin riippuvuus karpaloiden lukumäärään selvästi vähenee.

Hyvin summittaista päättelyä, mutta tulen edelleen tulokseen ettei karpaloiden lukumäärällä ole väliä.

Mielenkiintoinen linkki. En vain millään keksi kuinka jonkin ennaltamäärätyn hila-/kiderakenteen omaavan kuution pakkaaminen voisi liittyä alkuperäisen tehtävän mukaiseen pakkausongelmaan.

Toisin sanoen, jokainen tila/muoto-kombinaatio on oma ongelmansa:
http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html

sovellus kirjoitti:

Mielenkiintoinen linkki. En vain millään keksi kuinka jonkin ennaltamäärätyn hila-/kiderakenteen omaavan kuution pakkaaminen voisi liittyä alkuperäisen tehtävän mukaiseen pakkausongelmaan.

Toisin sanoen, jokainen tila/muoto-kombinaatio on oma ongelmansa:
http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html

Lue lisää

Ensiksikin tuo oikaiseen sen virhekäsityksen, että pakkaustiheys lähenisi 100%, jos karpaloita pienenennetään.
Toisekseen esiintyi mallinnusta, missä pallot olivat omina pinoinaan, eivät tiiveimpinä pakkauksina. Tämä antaa ainakin väärän tuloksen pallojen määrälle.

Joku tuolla jo kirjoittikin hilasta, mielestäni ihan tämän kideopin mukaisesti.

Tuo alkeiskoppi on samanmuotoinen, olipa ne pallot miten suuria tahansa. ==> reunattomassa (tai äärettömässä) systeemissä pallojen tiheys (tai suhde tyhjään) on sama (74%) koosta riippumatta.

Eli tarkastelun voinee siirtää sinne reunalle. Jos voi osoittaa, että suuremmilla alkeiskopeihin järjesteillä palloilla jää enemmän tyhjää reunaan, silloin suuremmat pallot jättävät hieman enemmän tyhjää ämpäriin. Tarkasteluun pitänee ottaa siis vähintään kolme kerrosta marjoja eli palloja riippuen vähän siitä, sijoittaako ne heksagonaaliseen vai kuutiolliseen tiiveimpään pakkaukseen.
Antamassasi linkissä muuten ei käsitellä tilaa ainakan alkusivuilla ollenkaan, vaan ainoastaan kuvioita. Joka tapauksessa kun "astian" koon suhde pallojen kokoon on pienehkö, reunaefektit yms. saavat suuremman merkityksen kuin lähestyttäessä ääretöntä. Tämä annettu tehtävä on siitä rajalta.

tuttumies kirjoitti:

Ensiksikin tuo oikaiseen sen virhekäsityksen, että pakkaustiheys lähenisi 100%, jos karpaloita pienenennetään.
Toisekseen esiintyi mallinnusta, missä pallot olivat omina pinoinaan, eivät tiiveimpinä pakkauksina. Tämä antaa ainakin väärän tuloksen pallojen määrälle.

Joku tuolla jo kirjoittikin hilasta, mielestäni ihan tämän kideopin mukaisesti.

Tuo alkeiskoppi on samanmuotoinen, olipa ne pallot miten suuria tahansa. ==> reunattomassa (tai äärettömässä) systeemissä pallojen tiheys (tai suhde tyhjään) on sama (74%) koosta riippumatta.

Eli tarkastelun voinee siirtää sinne reunalle. Jos voi osoittaa, että suuremmilla alkeiskopeihin järjesteillä palloilla jää enemmän tyhjää reunaan, silloin suuremmat pallot jättävät hieman enemmän tyhjää ämpäriin. Tarkasteluun pitänee ottaa siis vähintään kolme kerrosta marjoja eli palloja riippuen vähän siitä, sijoittaako ne heksagonaaliseen vai kuutiolliseen tiiveimpään pakkaukseen.
Antamassasi linkissä muuten ei käsitellä tilaa ainakan alkusivuilla ollenkaan, vaan ainoastaan kuvioita. Joka tapauksessa kun "astian" koon suhde pallojen kokoon on pienehkö, reunaefektit yms. saavat suuremman merkityksen kuin lähestyttäessä ääretöntä. Tämä annettu tehtävä on siitä rajalta.

Lue lisää

Esitit vastaustani kohtaan kritiikkiä:
"esiintyi mallinnusta, missä pallot olivat omina pinoinaan, eivät tiiveimpinä pakkauksina. Tämä antaa ainakin väärän tuloksen pallojen määrälle."

Käyttämäsi sana "väärä" on aika voimakas ilmaisu, itse en ole missään vaiheessa käyttänyt ratkaisun yhteydessä sanaa "oikea". Sellaisten sanojen käyttö ei mielestäni liity tehtävän perusluonteeseen, reunalliseen ja symmetriattomaan pakkaamiseen.
Uskon, että ratkaisuni on riittävä. Se on eri asia kuin, että ratkaisu on varma tai oikea.

Puolustan ratkaisua edelleen, mutta vain siihen asti, kunnes joku laskee paremman.
Totta, pinosin ratkaisussani optimaaliset marjakerrokset päällekkäin:
1. niin on mahdollista toimia ja mikä tärkeintä; niin on mahdollista laskea
2. samalla oli mahdollista säilyttää kerroskohtainen optimaalisuus
3. korkeussuuntaisten "pallotaskujen" huomioiminen olisi johtanut ratkaisussa hyväksikäytettyjen kerroskohtaisten optimointitulosten menettämiseen

Se puolusteluista toistaiseksi…

Oikeaa/varmaa vastausta ei ole mahdollista laskea muuta kuin hyvin pienille kappalemäärille. Viittasin tehtävän ratkaisussa unkarilaislle matemaatikoille omistetuun sivustoon ("This page is dedicated to the Hungarian mathematicians who are the pioneers in this discipline.")
http://www.packomania.com/
Sieltä mitä todennäköisimmin olisi löytynyt eksakti ratkaisutapa, jos sellainen tähän päivään mennessä olisi keksitty.


Halusit keskustella hilarakenteista ja reunattomista tiloista/avaruuksia. En täysin vieläkään ymmärrä miksi, alkuperäisen tehtävän peruslähtökohta kun on reunallisuus ja hilattomuus eli epäsymmetrisyys.

Vähemmän tuttua asiaa nämä hilat ja kiteet minulle muutenkin. Sori siis, että turvaudun määritelmään ennen kuin alan tehdä johtopäätöksiä:

"Hila on säännöllinen, eri suuntiin toistuva rakenne, joka voidaan esittää matemaattisesti. Hila siis koostuu pisteistä ja niiden välisistä etäisyyksistä. Pisteet sijaitsevat tietyissä kohdin hilaa, eli pisteillä on jokin määriteltävissä oleva sijainti/paikka hilassa.
Kiteiden tapauksessa pisteiden kohdalla ajatellaan olevan massapisteinä atomeja tai molekyylejä.
Kide on atomien muodostama tasavälinen kolmiulotteinen hila, eli ns. avaruushila.
Tasavälisellä tarkoitetaan, että hilan pisteiden, atomien tai molekyylien, väliset etäisyydet lähimpiin pisteisiin pysyvät samana läpi hilan."
http://www.opigeologiaa.fi/kiteet/index.php?id=3#avaruushila

Oleellinen ero alkuperäiseen tehtävään verrattuna hilassa/kiteessä mielestäni on rakenteen symmetrisyys, sellainen on matemaattisesti eksaktisti määriteltävissä ja lähestyttävissä.
Jos symmetristä pakkaamista verrataan symmetriattomaan pakkaamiseen, symmetrisen pakkaamisen etu jäänee siihen että se helposti laskettavissa.
Haitta taas tulee siitä, että symmetriarakenteen mukainen "kytkentäkaavio" on mielestäni ilmiselvä lisärajoite tehokkaimman mahdolliseen pakkaustehon saavuttamisen kannalta. Symmetriarakenteen säilyttäminenhän on välttämättömyys.

Yllä oleva hila-/kide –linkki kertoo, että tasavälisiä avaruushilojen muodostamia kappaleita on (matemaattisesti) olemassa 32 erilaista tyyppiä. Kutakin hilarakennetta kohti lienee lisäksi oma maksimaalinen pakkaamistehonsa?
Uskallan otaksua, että yksikään edellisten hilarakenteiden mukaisista symmetriatyypeistä ei ole alkuperäisen tehtävän mukaisen lieriöastian muotoinen? Ja vaikka olisikin, ei ole mitään symmetriaa, joka rajoittaisi marjojen asettelua. Edellinen ei toki estä sitä, etteikö symmetrinen pakkaustapa voisi "sattumalta" olla tehokkain mahdollinen pakkaustapa.

Antamasi linkin mukainen maksimipakkausteho 74% pätee kuution muotoisiin hiloihin, se on selvä.

Tarkoitukseni ei ole tyrkyttää 100%:n maksitehoja äärimmäisen pienillä palloilla täytetyn lieriön pakkaamisessa, vaikkakin epäilen, että tällainen maksiteho mitenkään voisi löytyä hiloja tutkimalla.

sovellus kirjoitti:

Esitit vastaustani kohtaan kritiikkiä:
"esiintyi mallinnusta, missä pallot olivat omina pinoinaan, eivät tiiveimpinä pakkauksina. Tämä antaa ainakin väärän tuloksen pallojen määrälle."

Käyttämäsi sana "väärä" on aika voimakas ilmaisu, itse en ole missään vaiheessa käyttänyt ratkaisun yhteydessä sanaa "oikea". Sellaisten sanojen käyttö ei mielestäni liity tehtävän perusluonteeseen, reunalliseen ja symmetriattomaan pakkaamiseen.
Uskon, että ratkaisuni on riittävä. Se on eri asia kuin, että ratkaisu on varma tai oikea.

Puolustan ratkaisua edelleen, mutta vain siihen asti, kunnes joku laskee paremman.
Totta, pinosin ratkaisussani optimaaliset marjakerrokset päällekkäin:
1. niin on mahdollista toimia ja mikä tärkeintä; niin on mahdollista laskea
2. samalla oli mahdollista säilyttää kerroskohtainen optimaalisuus
3. korkeussuuntaisten "pallotaskujen" huomioiminen olisi johtanut ratkaisussa hyväksikäytettyjen kerroskohtaisten optimointitulosten menettämiseen

Se puolusteluista toistaiseksi…

Oikeaa/varmaa vastausta ei ole mahdollista laskea muuta kuin hyvin pienille kappalemäärille. Viittasin tehtävän ratkaisussa unkarilaislle matemaatikoille omistetuun sivustoon ("This page is dedicated to the Hungarian mathematicians who are the pioneers in this discipline.")
http://www.packomania.com/
Sieltä mitä todennäköisimmin olisi löytynyt eksakti ratkaisutapa, jos sellainen tähän päivään mennessä olisi keksitty.


Halusit keskustella hilarakenteista ja reunattomista tiloista/avaruuksia. En täysin vieläkään ymmärrä miksi, alkuperäisen tehtävän peruslähtökohta kun on reunallisuus ja hilattomuus eli epäsymmetrisyys.

Vähemmän tuttua asiaa nämä hilat ja kiteet minulle muutenkin. Sori siis, että turvaudun määritelmään ennen kuin alan tehdä johtopäätöksiä:

"Hila on säännöllinen, eri suuntiin toistuva rakenne, joka voidaan esittää matemaattisesti. Hila siis koostuu pisteistä ja niiden välisistä etäisyyksistä. Pisteet sijaitsevat tietyissä kohdin hilaa, eli pisteillä on jokin määriteltävissä oleva sijainti/paikka hilassa.
Kiteiden tapauksessa pisteiden kohdalla ajatellaan olevan massapisteinä atomeja tai molekyylejä.
Kide on atomien muodostama tasavälinen kolmiulotteinen hila, eli ns. avaruushila.
Tasavälisellä tarkoitetaan, että hilan pisteiden, atomien tai molekyylien, väliset etäisyydet lähimpiin pisteisiin pysyvät samana läpi hilan."
http://www.opigeologiaa.fi/kiteet/index.php?id=3#avaruushila

Oleellinen ero alkuperäiseen tehtävään verrattuna hilassa/kiteessä mielestäni on rakenteen symmetrisyys, sellainen on matemaattisesti eksaktisti määriteltävissä ja lähestyttävissä.
Jos symmetristä pakkaamista verrataan symmetriattomaan pakkaamiseen, symmetrisen pakkaamisen etu jäänee siihen että se helposti laskettavissa.
Haitta taas tulee siitä, että symmetriarakenteen mukainen "kytkentäkaavio" on mielestäni ilmiselvä lisärajoite tehokkaimman mahdolliseen pakkaustehon saavuttamisen kannalta. Symmetriarakenteen säilyttäminenhän on välttämättömyys.

Yllä oleva hila-/kide –linkki kertoo, että tasavälisiä avaruushilojen muodostamia kappaleita on (matemaattisesti) olemassa 32 erilaista tyyppiä. Kutakin hilarakennetta kohti lienee lisäksi oma maksimaalinen pakkaamistehonsa?
Uskallan otaksua, että yksikään edellisten hilarakenteiden mukaisista symmetriatyypeistä ei ole alkuperäisen tehtävän mukaisen lieriöastian muotoinen? Ja vaikka olisikin, ei ole mitään symmetriaa, joka rajoittaisi marjojen asettelua. Edellinen ei toki estä sitä, etteikö symmetrinen pakkaustapa voisi "sattumalta" olla tehokkain mahdollinen pakkaustapa.

Antamasi linkin mukainen maksimipakkausteho 74% pätee kuution muotoisiin hiloihin, se on selvä.

Tarkoitukseni ei ole tyrkyttää 100%:n maksitehoja äärimmäisen pienillä palloilla täytetyn lieriön pakkaamisessa, vaikkakin epäilen, että tällainen maksiteho mitenkään voisi löytyä hiloja tutkimalla.

Lue lisää

http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Sivulla sanotaan että ympyröiden pakkausmenetelmä on osoitettu tehokkaimmaksi 2-ulotteisessa tasossa. Pakkaustehokkuudeksi kuitenkin jää tässä jo 90,7%, mikä on jo huomattavasti pienempi kuin ehdottamasi 100 %.

Lisäksi sivulla mainitaan, että "tuttumiehen" ehdottama 74% olisi melkein varmasti tehokkain 3-ulotteinen pakkaustehokkuus palloille. Ratkaisevaa tässä ei ole se, ovatko pallot SUURIA tai pieniä, se mikä ratkaisee on että pallot ovat yhtä suuria. Tämä johtaa juuri siihen, että (äärettömän suuressa tilavuudessa) pallojen väliin jää aina vähintään 26 % tyhjää tilaa. Tilan muodon ei siis käsitykseni mukaan tarvitse olla kuutio.

Ongelmassa oli kuitenkin selvästi rajattu äärellinen tila, mikä piti täyttää. Itse en osaa antaa tähän ratkaisua, mutta olen samalla kannalla "tuttumiehen" kanssa siitä, että pakkaustehokkuus on jokseenkin lähellä 74 %. Oletettavasti astian sisällä marjat järjestyvät melko säännölliseen hilaan ja vain lähellä astian reunaa tulee epäsäännöllistä järjestymistä. Jos oletetaan että reunan lähellä järjestyminen on lähellä ympyröiden pakkaustehokkuutta (->90,7 %), voi kokonaistehokkuus kasvaa 74 %:sta jonkin verran.

"sovellus" esitit aikaisemmin ratkaisuehdotuksesi, missä tulit lopputulokseen, jossa pakkaustehokkuus jäi 10 mm marjoilla 57 %:iin ja 15 mm marjoilla 53 %:iin. Hatunnosto siitä, että löysit kätevän tavan lähteä ratkomaan tehtävää. Se miksi tehokkuus jäi huomattavasti pienemmäksi kuin optimaalinen 74 % johtunee pallojen asettelusta päällekkäin. Oletettavasti palloja mahtuisi tilaan enemmän lomittain asettelemalla:

/xx\/::\
\xx/\::/ 2. kerros
/--\/xx\
\--/\xx/ 1. kerros

\__//--\ 2/2 kerros
/xx\\--/ 1/2 kerros
\xx//::\ 1/1 kerros
/--\\::/ 0/1 kerros

oikeaa? kirjoitti:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Sivulla sanotaan että ympyröiden pakkausmenetelmä on osoitettu tehokkaimmaksi 2-ulotteisessa tasossa. Pakkaustehokkuudeksi kuitenkin jää tässä jo 90,7%, mikä on jo huomattavasti pienempi kuin ehdottamasi 100 %.

Lisäksi sivulla mainitaan, että "tuttumiehen" ehdottama 74% olisi melkein varmasti tehokkain 3-ulotteinen pakkaustehokkuus palloille. Ratkaisevaa tässä ei ole se, ovatko pallot SUURIA tai pieniä, se mikä ratkaisee on että pallot ovat yhtä suuria. Tämä johtaa juuri siihen, että (äärettömän suuressa tilavuudessa) pallojen väliin jää aina vähintään 26 % tyhjää tilaa. Tilan muodon ei siis käsitykseni mukaan tarvitse olla kuutio.

Ongelmassa oli kuitenkin selvästi rajattu äärellinen tila, mikä piti täyttää. Itse en osaa antaa tähän ratkaisua, mutta olen samalla kannalla "tuttumiehen" kanssa siitä, että pakkaustehokkuus on jokseenkin lähellä 74 %. Oletettavasti astian sisällä marjat järjestyvät melko säännölliseen hilaan ja vain lähellä astian reunaa tulee epäsäännöllistä järjestymistä. Jos oletetaan että reunan lähellä järjestyminen on lähellä ympyröiden pakkaustehokkuutta (->90,7 %), voi kokonaistehokkuus kasvaa 74 %:sta jonkin verran.

"sovellus" esitit aikaisemmin ratkaisuehdotuksesi, missä tulit lopputulokseen, jossa pakkaustehokkuus jäi 10 mm marjoilla 57 %:iin ja 15 mm marjoilla 53 %:iin. Hatunnosto siitä, että löysit kätevän tavan lähteä ratkomaan tehtävää. Se miksi tehokkuus jäi huomattavasti pienemmäksi kuin optimaalinen 74 % johtunee pallojen asettelusta päällekkäin. Oletettavasti palloja mahtuisi tilaan enemmän lomittain asettelemalla:

/xx\/::\
\xx/\::/ 2. kerros
/--\/xx\
\--/\xx/ 1. kerros

\__//--\ 2/2 kerros
/xx\\--/ 1/2 kerros
\xx//::\ 1/1 kerros
/--\\::/ 0/1 kerros

Lue lisää

"Tämä johtaa juuri siihen, että (äärettömän suuressa tilavuudessa) pallojen väliin jää aina vähintään 26 % tyhjää tilaa. Tilan muodon ei siis käsitykseni mukaan tarvitse olla kuutio."

Pointti on siinä, että en minä ole väittänyt etteikö ylläoleva (äärettömän suurta tilavuutta koskeva lausuma) pidä paikkaansa.

"Hatunnosto siitä, että löysit kätevän tavan lähteä ratkomaan tehtävää. Se miksi tehokkuus jäi huomattavasti pienemmäksi kuin optimaalinen 74 % johtunee pallojen asettelusta päällekkäin. Oletettavasti palloja mahtuisi tilaan enemmän lomittain asettelemalla:"

Pudotaan nyt ensiksi äärettömistä hila-avaruuksista maan pinnalle, takaisin äärillisiin ja rajallisiin tiloihin sekä tilavuuksiin...
Esitän kolme mielenkiintoista kysymystä:

1. "Onko mahdollista kaapata 74%:sta hila-avaruutta 10 litran lieriöastiaan niin, että samalla voidaan säilyttää 74%:n pakkaussuhde?"
2. "Onko edellinen mahdollista tehdä hilarakennetta rikkomatta?"
3. "Onko hilarakenteen ominaispakkausteho (74%) sama asia kuin lieriöastian pohjan säteen ja korkeuden sekä pikkupallon säteen yhteensovittamattomuudesta seuraava pakkaustehon menetys?

Väitit, että ratkaisuni "heikko" teho johtuu siitä, että asetin ratkaisussani pallot (marjat) kerroksittain/päällekkäin.
Oma väitteeni on, että tehottomuus on (pääasiassa) seurausta edellä mainitsemastani säteiden ja korkeuksien yhteensovittamattomuudesta.

sovellus kirjoitti:

Esitit vastaustani kohtaan kritiikkiä:
"esiintyi mallinnusta, missä pallot olivat omina pinoinaan, eivät tiiveimpinä pakkauksina. Tämä antaa ainakin väärän tuloksen pallojen määrälle."

Käyttämäsi sana "väärä" on aika voimakas ilmaisu, itse en ole missään vaiheessa käyttänyt ratkaisun yhteydessä sanaa "oikea". Sellaisten sanojen käyttö ei mielestäni liity tehtävän perusluonteeseen, reunalliseen ja symmetriattomaan pakkaamiseen.
Uskon, että ratkaisuni on riittävä. Se on eri asia kuin, että ratkaisu on varma tai oikea.

Puolustan ratkaisua edelleen, mutta vain siihen asti, kunnes joku laskee paremman.
Totta, pinosin ratkaisussani optimaaliset marjakerrokset päällekkäin:
1. niin on mahdollista toimia ja mikä tärkeintä; niin on mahdollista laskea
2. samalla oli mahdollista säilyttää kerroskohtainen optimaalisuus
3. korkeussuuntaisten "pallotaskujen" huomioiminen olisi johtanut ratkaisussa hyväksikäytettyjen kerroskohtaisten optimointitulosten menettämiseen

Se puolusteluista toistaiseksi…

Oikeaa/varmaa vastausta ei ole mahdollista laskea muuta kuin hyvin pienille kappalemäärille. Viittasin tehtävän ratkaisussa unkarilaislle matemaatikoille omistetuun sivustoon ("This page is dedicated to the Hungarian mathematicians who are the pioneers in this discipline.")
http://www.packomania.com/
Sieltä mitä todennäköisimmin olisi löytynyt eksakti ratkaisutapa, jos sellainen tähän päivään mennessä olisi keksitty.


Halusit keskustella hilarakenteista ja reunattomista tiloista/avaruuksia. En täysin vieläkään ymmärrä miksi, alkuperäisen tehtävän peruslähtökohta kun on reunallisuus ja hilattomuus eli epäsymmetrisyys.

Vähemmän tuttua asiaa nämä hilat ja kiteet minulle muutenkin. Sori siis, että turvaudun määritelmään ennen kuin alan tehdä johtopäätöksiä:

"Hila on säännöllinen, eri suuntiin toistuva rakenne, joka voidaan esittää matemaattisesti. Hila siis koostuu pisteistä ja niiden välisistä etäisyyksistä. Pisteet sijaitsevat tietyissä kohdin hilaa, eli pisteillä on jokin määriteltävissä oleva sijainti/paikka hilassa.
Kiteiden tapauksessa pisteiden kohdalla ajatellaan olevan massapisteinä atomeja tai molekyylejä.
Kide on atomien muodostama tasavälinen kolmiulotteinen hila, eli ns. avaruushila.
Tasavälisellä tarkoitetaan, että hilan pisteiden, atomien tai molekyylien, väliset etäisyydet lähimpiin pisteisiin pysyvät samana läpi hilan."
http://www.opigeologiaa.fi/kiteet/index.php?id=3#avaruushila

Oleellinen ero alkuperäiseen tehtävään verrattuna hilassa/kiteessä mielestäni on rakenteen symmetrisyys, sellainen on matemaattisesti eksaktisti määriteltävissä ja lähestyttävissä.
Jos symmetristä pakkaamista verrataan symmetriattomaan pakkaamiseen, symmetrisen pakkaamisen etu jäänee siihen että se helposti laskettavissa.
Haitta taas tulee siitä, että symmetriarakenteen mukainen "kytkentäkaavio" on mielestäni ilmiselvä lisärajoite tehokkaimman mahdolliseen pakkaustehon saavuttamisen kannalta. Symmetriarakenteen säilyttäminenhän on välttämättömyys.

Yllä oleva hila-/kide –linkki kertoo, että tasavälisiä avaruushilojen muodostamia kappaleita on (matemaattisesti) olemassa 32 erilaista tyyppiä. Kutakin hilarakennetta kohti lienee lisäksi oma maksimaalinen pakkaamistehonsa?
Uskallan otaksua, että yksikään edellisten hilarakenteiden mukaisista symmetriatyypeistä ei ole alkuperäisen tehtävän mukaisen lieriöastian muotoinen? Ja vaikka olisikin, ei ole mitään symmetriaa, joka rajoittaisi marjojen asettelua. Edellinen ei toki estä sitä, etteikö symmetrinen pakkaustapa voisi "sattumalta" olla tehokkain mahdollinen pakkaustapa.

Antamasi linkin mukainen maksimipakkausteho 74% pätee kuution muotoisiin hiloihin, se on selvä.

Tarkoitukseni ei ole tyrkyttää 100%:n maksitehoja äärimmäisen pienillä palloilla täytetyn lieriön pakkaamisessa, vaikkakin epäilen, että tällainen maksiteho mitenkään voisi löytyä hiloja tutkimalla.

Lue lisää

Sorry, jos käytin väärin "väärä" sanaa.
Kyllä tuo tiivein pakkaus on aika vaikeasti ylitettävissä tasakokoisilla palloilla, muutenhan se ei olisi nimeltään tiivein pakkaus. Vähänkin suurempi määrä palloja vapaamuotoisessa "ei taso tai putkimaisessa" astiassa pyrkii pakkautumaan suurimmaksi osaksi tiiveimmäksi pakkaukseksi (olettean esim. gravitaation vaikuttavan).



Ihan ajatuskokeena voinee sanoa, että esittämäsi opitmointimenetelmän pallopinot "kaatuisivat" tai menisivät mutkille ravistelemalla. Jos vaikka ajattelet 2. kerrosta, niin mikä estää siellä 1. kerroksen pallon päällä olevaa palloa (eli karpaloa) vierähtämästä siihen hieman alempana olevaan "lokoseen"? Ei mikään tukivoima tms. Näin koko ämpärin pakkaustiheys kasvaa läheten tuota tiiveintä pakkausta. Se, onko tällä merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta, onkin toinen juttu. Siinähän ei pyydetty sanomaan, mikä se tiheys on, ainoastaan vertaamaan erikokoisista karpaloista saatuja tiheyksiä.

tuttumies kirjoitti:

Sorry, jos käytin väärin "väärä" sanaa.
Kyllä tuo tiivein pakkaus on aika vaikeasti ylitettävissä tasakokoisilla palloilla, muutenhan se ei olisi nimeltään tiivein pakkaus. Vähänkin suurempi määrä palloja vapaamuotoisessa "ei taso tai putkimaisessa" astiassa pyrkii pakkautumaan suurimmaksi osaksi tiiveimmäksi pakkaukseksi (olettean esim. gravitaation vaikuttavan).



Ihan ajatuskokeena voinee sanoa, että esittämäsi opitmointimenetelmän pallopinot "kaatuisivat" tai menisivät mutkille ravistelemalla. Jos vaikka ajattelet 2. kerrosta, niin mikä estää siellä 1. kerroksen pallon päällä olevaa palloa (eli karpaloa) vierähtämästä siihen hieman alempana olevaan "lokoseen"? Ei mikään tukivoima tms. Näin koko ämpärin pakkaustiheys kasvaa läheten tuota tiiveintä pakkausta. Se, onko tällä merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta, onkin toinen juttu. Siinähän ei pyydetty sanomaan, mikä se tiheys on, ainoastaan vertaamaan erikokoisista karpaloista saatuja tiheyksiä.

Lue lisää

Joo, sorittelut sikseen. Itse vänkäsin eilen hila-ajattelua vastaan, sen verran vierasta asiaa minulle.

Kaikki mitä olet kertoillut hiloista pitänee täysin paikkansa hilojen atomaarisella pakkaustasolla.

Ei pelkästään atomaarisella tasolla, kaikki määrältään riittävän suuret (ja hilarakenteiden kannalta tasamääräiset) tasakokoiset pallomäärät on mahdollista järjestää hiloiksi.
Samalla tarkasteluavaruus kuitenkin kasvaa, lopputuloksena syntyvän jättihilan maksimaalinen pakkaustiheys on olemassa vain ja tarkalleen hilan itsensä kokoisena, hilan tarkalleen rajaamassa avaruuden tilassa.

Kuvitellaan, että meillä on kasattuna kaksi jättihilaa. Toinen jättihila on kasattu 10mm palloista (marjoista) ja toinen jättihila 15 palloista (marjoista).

Teoreettisessa tarkastelussa meillä on nyt mahdollisuus väittää, että molempien jättihilojen maksimaalinen pakkausteho on sama (74%). Saman tien voimme väittää, että maksimaalinen pakkausteho ei ole pallon koosta riippuvainen.

Selvää pässinlihaa tähän asti...

Seuraa se kuuluisa "mutta":
Miten tuo kaikki yllä esitetty alkuperäiseen tehtävään liittyy?

Alkuperäisessä tehtävän idea oli vertailla lieriöastian muotoisessa rajatussa tilassa pakattuja kahta eri pallokokoa (marjakokoa) toisiinsa.

Kunpa voisimmekin "kaapata" lieriöastian ulkopuolisen (10mm tai 15mm) jättihilan 10 litraiseen lieriöastiaamme!
Voisimme näet sanoa, että molempia marjoja (marjakokoja) mahtuu astiaan yhtä paljon.

Valitettavasti se ei onnistu:
1. jättihilan marjat eivät sovitu lieriöastiaan jättihilan rakenteisena muuten kuin sahaamalla reunamarjat rikki. (Ilman muuta oletan, että marjojen rikkominen ei ole sallittua.)
2. jättihilan rakenne väistämättä rikkoutuu
3. lieriöastia voi epäonnistuneen "kaappauksen" jälkeen hyvinkin jää kukkuroilleen, mutta meidän on pyyhittävä lieriöastian yläreunan ylittävät marjakerrokset pois
4. tms.

Mitä jää lopputulemaksi:
Kaksi lieriöastiallista marjoja, joiden sisäisistä tilavuuksista meillä ei ole hajuakaan emmekä siksi pysty niitä vertaamaan.

Voisimme yrittää käyttää ratkaisussa hiloja hyväksi toista kautta, rakentaisimme hiloja astian sisällä. Hilojen rakentamista varten meillä on käytössämme lieriöastiassa jo olevat marjamäärät.
Ensiksi kaataisimme lieriöastian kaikki marjat pois. Sitten alkaisimme kasaamaan jättihilaa astian sisällä marja kerrallaan.
Saisimme aikaiseksi jättihilan. Lopuksi vielä ripottelisimme raot marjoilla mahdollisimman täyteen.
(Mielenkiintoinen yksityiskohta: Jos/kun marjojen sovittuminen olisi lähtötilanteen mukaista satunnaista järjestystä parempi, jäisi lieriöastian yläreunaan tyhjää tilaa)
Entä miten tällainen jättihila sovittuu 10 litraisessa lieriöastiassa?
Sovittuminen joka tapauksessa on hyvin epätäydellinen. Se johtuu siitä, että lieriöastialla on ennalta määrätty muoto ja hila-alkiolla (marjalla) ennalta määrätty koko. Marjoista koostuvan jättihilan ominaistiheys (74%) ei kerro lieriöastian marjatiheydestä yhtään mitään.
Johtaako marjahilan epätäydellinen sovittuminen lieriöastin kokonaisoptimointiedun kannalta huonompaan tulokseen. Ei välttämättä, ei edes luultavasti, mutta miten sen osaisimme laskea/todistaa?
Ja laskeminen ylipäätään, miten pääsemme laskemiseen käsiksi?

MUTTA:
Periaatteessa olen valmis luovuttamaan ja asettumaan hila-ajattelun kannalle.
Perusteluna seuraavaa:
1. Lieriöastian sisällä lienee mahdollista rakentaa sitä suurempi jättihila mitä pienempi hila-alkio (marja) on.
2. Olisi vain voitava osoittaa, että tämän pienemmistä hila-alkiosta (marjoista) kasatun jättihilan rajaama 74% tehollinen osatilavuus ei aiheuta lieriöastian tehollisen kokonaisoptimointiedun menettämistä.
3. Mitä luultavimmin se ei sitä aiheuta, se pitäisi vain osata laskea/todistaa...

Mitä omaan ratkaisuuni tulee, ei se tyylikäs ole. Ei matemaattinenkaan. Sen ainoaksi ja samalla parhaaksi perusteluksi jäänee se, että se mahdollistaa laskemisen.

Jännä huomata, arvostelet ratkaisuani:
"esittämäsi opitmointimenetelmän pallopinot "kaatuisivat" tai menisivät mutkille ravistelemalla"”

Heh, ei kai tuollainen kritiikki mitenkään ole oleellista? Jos tuolle linjalle menet, olen valmis (leikilläni) heittämään takaisin Arkhimedeen lailla:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000020184260

Sain nimittäin Arkhimedeen lakia (oikeammin: nesteeseen upottamista) koskevasta ehdotuksestani tuolla ketjun alussa kovasti sapiskaa.
Tosi hyvä ja nopea vaihtoehtohan se on, ainakin kaikkiin muihin tähän mennessä vastaan tulleisiin ratkaisuihin verrattuna.

sovellus kirjoitti:

Joo, sorittelut sikseen. Itse vänkäsin eilen hila-ajattelua vastaan, sen verran vierasta asiaa minulle.

Kaikki mitä olet kertoillut hiloista pitänee täysin paikkansa hilojen atomaarisella pakkaustasolla.

Ei pelkästään atomaarisella tasolla, kaikki määrältään riittävän suuret (ja hilarakenteiden kannalta tasamääräiset) tasakokoiset pallomäärät on mahdollista järjestää hiloiksi.
Samalla tarkasteluavaruus kuitenkin kasvaa, lopputuloksena syntyvän jättihilan maksimaalinen pakkaustiheys on olemassa vain ja tarkalleen hilan itsensä kokoisena, hilan tarkalleen rajaamassa avaruuden tilassa.

Kuvitellaan, että meillä on kasattuna kaksi jättihilaa. Toinen jättihila on kasattu 10mm palloista (marjoista) ja toinen jättihila 15 palloista (marjoista).

Teoreettisessa tarkastelussa meillä on nyt mahdollisuus väittää, että molempien jättihilojen maksimaalinen pakkausteho on sama (74%). Saman tien voimme väittää, että maksimaalinen pakkausteho ei ole pallon koosta riippuvainen.

Selvää pässinlihaa tähän asti...

Seuraa se kuuluisa "mutta":
Miten tuo kaikki yllä esitetty alkuperäiseen tehtävään liittyy?

Alkuperäisessä tehtävän idea oli vertailla lieriöastian muotoisessa rajatussa tilassa pakattuja kahta eri pallokokoa (marjakokoa) toisiinsa.

Kunpa voisimmekin "kaapata" lieriöastian ulkopuolisen (10mm tai 15mm) jättihilan 10 litraiseen lieriöastiaamme!
Voisimme näet sanoa, että molempia marjoja (marjakokoja) mahtuu astiaan yhtä paljon.

Valitettavasti se ei onnistu:
1. jättihilan marjat eivät sovitu lieriöastiaan jättihilan rakenteisena muuten kuin sahaamalla reunamarjat rikki. (Ilman muuta oletan, että marjojen rikkominen ei ole sallittua.)
2. jättihilan rakenne väistämättä rikkoutuu
3. lieriöastia voi epäonnistuneen "kaappauksen" jälkeen hyvinkin jää kukkuroilleen, mutta meidän on pyyhittävä lieriöastian yläreunan ylittävät marjakerrokset pois
4. tms.

Mitä jää lopputulemaksi:
Kaksi lieriöastiallista marjoja, joiden sisäisistä tilavuuksista meillä ei ole hajuakaan emmekä siksi pysty niitä vertaamaan.

Voisimme yrittää käyttää ratkaisussa hiloja hyväksi toista kautta, rakentaisimme hiloja astian sisällä. Hilojen rakentamista varten meillä on käytössämme lieriöastiassa jo olevat marjamäärät.
Ensiksi kaataisimme lieriöastian kaikki marjat pois. Sitten alkaisimme kasaamaan jättihilaa astian sisällä marja kerrallaan.
Saisimme aikaiseksi jättihilan. Lopuksi vielä ripottelisimme raot marjoilla mahdollisimman täyteen.
(Mielenkiintoinen yksityiskohta: Jos/kun marjojen sovittuminen olisi lähtötilanteen mukaista satunnaista järjestystä parempi, jäisi lieriöastian yläreunaan tyhjää tilaa)
Entä miten tällainen jättihila sovittuu 10 litraisessa lieriöastiassa?
Sovittuminen joka tapauksessa on hyvin epätäydellinen. Se johtuu siitä, että lieriöastialla on ennalta määrätty muoto ja hila-alkiolla (marjalla) ennalta määrätty koko. Marjoista koostuvan jättihilan ominaistiheys (74%) ei kerro lieriöastian marjatiheydestä yhtään mitään.
Johtaako marjahilan epätäydellinen sovittuminen lieriöastin kokonaisoptimointiedun kannalta huonompaan tulokseen. Ei välttämättä, ei edes luultavasti, mutta miten sen osaisimme laskea/todistaa?
Ja laskeminen ylipäätään, miten pääsemme laskemiseen käsiksi?

MUTTA:
Periaatteessa olen valmis luovuttamaan ja asettumaan hila-ajattelun kannalle.
Perusteluna seuraavaa:
1. Lieriöastian sisällä lienee mahdollista rakentaa sitä suurempi jättihila mitä pienempi hila-alkio (marja) on.
2. Olisi vain voitava osoittaa, että tämän pienemmistä hila-alkiosta (marjoista) kasatun jättihilan rajaama 74% tehollinen osatilavuus ei aiheuta lieriöastian tehollisen kokonaisoptimointiedun menettämistä.
3. Mitä luultavimmin se ei sitä aiheuta, se pitäisi vain osata laskea/todistaa...

Mitä omaan ratkaisuuni tulee, ei se tyylikäs ole. Ei matemaattinenkaan. Sen ainoaksi ja samalla parhaaksi perusteluksi jäänee se, että se mahdollistaa laskemisen.

Jännä huomata, arvostelet ratkaisuani:
"esittämäsi opitmointimenetelmän pallopinot "kaatuisivat" tai menisivät mutkille ravistelemalla"”

Heh, ei kai tuollainen kritiikki mitenkään ole oleellista? Jos tuolle linjalle menet, olen valmis (leikilläni) heittämään takaisin Arkhimedeen lailla:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000020184260

Sain nimittäin Arkhimedeen lakia (oikeammin: nesteeseen upottamista) koskevasta ehdotuksestani tuolla ketjun alussa kovasti sapiskaa.
Tosi hyvä ja nopea vaihtoehtohan se on, ainakin kaikkiin muihin tähän mennessä vastaan tulleisiin ratkaisuihin verrattuna.

Lue lisää

"Samalla tarkasteluavaruus kuitenkin kasvaa, lopputuloksena syntyvän jättihilan maksimaalinen pakkaustiheys on olemassa vain ja tarkalleen hilan itsensä kokoisena, hilan tarkalleen rajaamassa avaruuden tilassa."

Tuossa aiemmin annetussa wikipedian linkissä tuo "jättihila" oli 12 pallon kokoinen, eli mahtuu vallan mainiosti annettuun astiaan. Loppu onkin hilarakenteen asettelun vaikeutta, mutta on hyvinkin todennäköistä, että hilan koko astiaan verrattuna on sen verran pieni, että asettelun merkitys on hyvin vähäinen.

oikeaa? kirjoitti:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Sivulla sanotaan että ympyröiden pakkausmenetelmä on osoitettu tehokkaimmaksi 2-ulotteisessa tasossa. Pakkaustehokkuudeksi kuitenkin jää tässä jo 90,7%, mikä on jo huomattavasti pienempi kuin ehdottamasi 100 %.

Lisäksi sivulla mainitaan, että "tuttumiehen" ehdottama 74% olisi melkein varmasti tehokkain 3-ulotteinen pakkaustehokkuus palloille. Ratkaisevaa tässä ei ole se, ovatko pallot SUURIA tai pieniä, se mikä ratkaisee on että pallot ovat yhtä suuria. Tämä johtaa juuri siihen, että (äärettömän suuressa tilavuudessa) pallojen väliin jää aina vähintään 26 % tyhjää tilaa. Tilan muodon ei siis käsitykseni mukaan tarvitse olla kuutio.

Ongelmassa oli kuitenkin selvästi rajattu äärellinen tila, mikä piti täyttää. Itse en osaa antaa tähän ratkaisua, mutta olen samalla kannalla "tuttumiehen" kanssa siitä, että pakkaustehokkuus on jokseenkin lähellä 74 %. Oletettavasti astian sisällä marjat järjestyvät melko säännölliseen hilaan ja vain lähellä astian reunaa tulee epäsäännöllistä järjestymistä. Jos oletetaan että reunan lähellä järjestyminen on lähellä ympyröiden pakkaustehokkuutta (->90,7 %), voi kokonaistehokkuus kasvaa 74 %:sta jonkin verran.

"sovellus" esitit aikaisemmin ratkaisuehdotuksesi, missä tulit lopputulokseen, jossa pakkaustehokkuus jäi 10 mm marjoilla 57 %:iin ja 15 mm marjoilla 53 %:iin. Hatunnosto siitä, että löysit kätevän tavan lähteä ratkomaan tehtävää. Se miksi tehokkuus jäi huomattavasti pienemmäksi kuin optimaalinen 74 % johtunee pallojen asettelusta päällekkäin. Oletettavasti palloja mahtuisi tilaan enemmän lomittain asettelemalla:

/xx\/::\
\xx/\::/ 2. kerros
/--\/xx\
\--/\xx/ 1. kerros

\__//--\ 2/2 kerros
/xx\\--/ 1/2 kerros
\xx//::\ 1/1 kerros
/--\\::/ 0/1 kerros

Lue lisää

oikeaa?:[. Jos oletetaan että reunan lähellä järjestyminen on lähellä ympyröiden pakkaustehokkuutta (->90,7 %), voi kokonaistehokkuus kasvaa 74 %:sta jonkin verran. ]

Minun tarkastelutapani on tässä ollut sellainen kvalitatiivinen, ei eksakti tai matemaattinen. Yritän käyttää sitä tässäkin tapauksessa.

Tuo 90,7% pakkausteho ylittää tiiveimmän pakkauksen tiheyden, mikä heti aiheuttaa tarpeen lisätarkasteluun. Onko reunan pakkaus mahdollista saada tiheämmäksi kuin tiiveinpakkaus? On, esim. plastinen vakuumipakkaus menee tiiviimmin. Entäs tässä ämpärin tapauksessa?

Ripotellaanpas yksi kerros marjoja sinne ämpärin pohjalle. Unohdetaan jokunen puolen marjan kokoinen lokonen ja katsotaan, missä tuo 90,7% pakkaustiheys esiintyisi. Se esiityisi siinä pallojen "keskivartalolla" missä ne koskettavat toisiaan. Jos siitä siiryttäisiin ylöspäin (nyt lisättyihin) seuraaviin kerroksiin, pakkaustiheys asettuisi tuon 74% luokkaan, vähän alapuolelle reunaefekteistä johtuen. Kun tarkastelussa siirrytään siitä alimman kerroksen pallojen "päiväntasaajalta" alaspäin, pakkaustiheys lähenee 0% puolipallojen "pohjaan" siirryttäessä.

Kvaltatiivisella tarkastelulla ei saa matemaattista uskottavuutta, mutta pitäisin kuitenkin epäuskottavana, että reunoissa olisi parempi pakkaustiheys kuin tiiveinpakkaus tasaisilla pintamuodoilla (taso, laaja sylinteripinta jne)

tuttumies kirjoitti:

Sorry, jos käytin väärin "väärä" sanaa.
Kyllä tuo tiivein pakkaus on aika vaikeasti ylitettävissä tasakokoisilla palloilla, muutenhan se ei olisi nimeltään tiivein pakkaus. Vähänkin suurempi määrä palloja vapaamuotoisessa "ei taso tai putkimaisessa" astiassa pyrkii pakkautumaan suurimmaksi osaksi tiiveimmäksi pakkaukseksi (olettean esim. gravitaation vaikuttavan).



Ihan ajatuskokeena voinee sanoa, että esittämäsi opitmointimenetelmän pallopinot "kaatuisivat" tai menisivät mutkille ravistelemalla. Jos vaikka ajattelet 2. kerrosta, niin mikä estää siellä 1. kerroksen pallon päällä olevaa palloa (eli karpaloa) vierähtämästä siihen hieman alempana olevaan "lokoseen"? Ei mikään tukivoima tms. Näin koko ämpärin pakkaustiheys kasvaa läheten tuota tiiveintä pakkausta. Se, onko tällä merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta, onkin toinen juttu. Siinähän ei pyydetty sanomaan, mikä se tiheys on, ainoastaan vertaamaan erikokoisista karpaloista saatuja tiheyksiä.

Lue lisää

" Ihanteellinen, helpoimmin käsiteltävä ja eniten tutkittu raemuoto on pyöreä, pallon muotoinen. Tiivein samankokoisista palloista koottavissa oleva rakenne on kuutiollinen rakenne, jonka pakkautumistiheys on 0,7405. Käytännössä suurimmat tiheydet ovat 0,6 – 0,64. Tiheä satunnainen pakkaus, jolle on laskettu teoreettinen arvo 0,637, saadaan aikaan erilaisilla tärytyslaitteilla. Satunnainen irtonainen pakkautuminen on epämääräisempää, mutta jonkinlaisena ylärajana voidaan pitää 0,60:tä /German 1989, s. 110 -111/. Jos seoksessa on kahta eri kokoa olevia palloja voivat pakkaustiheydet olla suurempia pienten pallojen täyttäessä suurten väliin jäävät onkalot. Niinpä tiheän satunnaisen pakkauksen, joka koostuu 73 % :sta isoja ja 27 % :sta pieniä, säteeltään alle 1/20 edellisistä olevia palloja, pakkaustiheys on noin 0,86, kolmesta pallokoosta saadaan pakkaustiheydeksi jo 0,95. Jos raekokojakauma on jatkuva, on maksimitiheydeksi laskettu 0,96. Lähimmäksi sitä päästään käytännössä, kun raekokojakauma on laaja, suuria raekokoja runsaasti, välikokoja vähän, ja kun jauherakeitten muoto on mahdollisimman pyöreä/German 1989, s. 210 -212/. "

jne…

Lähde: VTT:n raportti vuodelta 1996
http://virtual.vtt.fi/inf/pdf/tiedotteet/1996/T1770.pdf

sovellus kirjoitti:

" Ihanteellinen, helpoimmin käsiteltävä ja eniten tutkittu raemuoto on pyöreä, pallon muotoinen. Tiivein samankokoisista palloista koottavissa oleva rakenne on kuutiollinen rakenne, jonka pakkautumistiheys on 0,7405. Käytännössä suurimmat tiheydet ovat 0,6 – 0,64. Tiheä satunnainen pakkaus, jolle on laskettu teoreettinen arvo 0,637, saadaan aikaan erilaisilla tärytyslaitteilla. Satunnainen irtonainen pakkautuminen on epämääräisempää, mutta jonkinlaisena ylärajana voidaan pitää 0,60:tä /German 1989, s. 110 -111/. Jos seoksessa on kahta eri kokoa olevia palloja voivat pakkaustiheydet olla suurempia pienten pallojen täyttäessä suurten väliin jäävät onkalot. Niinpä tiheän satunnaisen pakkauksen, joka koostuu 73 % :sta isoja ja 27 % :sta pieniä, säteeltään alle 1/20 edellisistä olevia palloja, pakkaustiheys on noin 0,86, kolmesta pallokoosta saadaan pakkaustiheydeksi jo 0,95. Jos raekokojakauma on jatkuva, on maksimitiheydeksi laskettu 0,96. Lähimmäksi sitä päästään käytännössä, kun raekokojakauma on laaja, suuria raekokoja runsaasti, välikokoja vähän, ja kun jauherakeitten muoto on mahdollisimman pyöreä/German 1989, s. 210 -212/. "

jne…

Lähde: VTT:n raportti vuodelta 1996
http://virtual.vtt.fi/inf/pdf/tiedotteet/1996/T1770.pdf

Lue lisää

VVT-raportin kylkeen lainaus jenkkiläiseltä www.mathforum.org -keskustelupalstalta:

"A mathematician once told me how he was hired by the military to fill a large sphere with small spheres ("buckshot") to make the big sphere as heavy as possible.
After a lot of geometric analysis and computation it occurred to him to ask the guys what they had
done before.
Answer: load the big sphere into a pickup truck, fill it with as much shot as possible, then drive around on a bumpy road and shovel in more shot as the small spheres settled.
He never could improve upon that algorithm.

Nowadays computers can simulate a bumpy road very quickly. Start with a moderately good placement as indicated above, then jiggle the polygons and make the enclosing rectangle shrink as you go.
If you want to try harder for a lower amount of waste, you can "take a jump away from a local minimum", i.e. enlarge the rectangle a bit and drive over a really big pothole, then try the old trick some more.
An organized method for doing this is called "simulated annealing".
Sometimes it works well."

Testailin ideaa vielä vähän pidemmälle ja sain vielä vähän optimoitua 1. marjan asettelulla. Käytössä edelleen lieriö, jonka pohjan säde 12 cm ja korkeus 22,1 cm.

1,5 cm marjoille:
Neljä ensimmäistä marjaa koordinaateissa
(0,02; 0,78; 1) (0,02; 2,78; 1) (~1,752; 1,78; 1) (~0,597; 1,78; ~2,633).
Kun tästä jatkaa hilan rakentamista, niin 1. kerrokseen mahtuu 207 marjaa ja 2. kerrokseen 204. Tästä eteenpäin jokaiseen kerrokseen menee siis vuorotellen 207 tai 204 marjaa ja kun kerroksia mahtuu lieriöön yhteensä 17 saadaan kokonaismarjamääräksi 3.495 kpl. Marjojen tilavuus ja pakkaustehokkuus tällöin
6,18 l / 61,8 %.

1,0 cm marjoille:
(0,01; 0,3; 1) (0,01; 2,3; 1) (~1,742; 1,3; 1) (~0,587; 1,3; ~2,633).
1. kerrokseen mahtuu 486 marjaa ja 2. kerrokseen 481. Kerroksia mahtuu lieriöön 26, joten marjojen kokonaismääräksi tulee 12.571 kpl. Marjojen tilavuus ja pakkaustehokkuus tällöin
6,58 l / 65,8 %.

Marjojen määrä tällä periaatteella voi olla vielä muutaman suurempikin, jos onnistuisi vain asettelemaan aloituskoordinaatit paremmin. Itse en kuitenkaan saanut Excelin solverilla ja omalla haarukoinnilla tämän parempia tuloksia :-)

Vakuuttavaa pyörittelyä vaikka en lukenut kuin silmäillen läpi :)

Otitko vielä huomioon sitä, että jos astian pohjalle ei tule marjoja aivan vieri viereen, vaan niiden välille jää hieman rakoa, niin silloin seuraavan kerroksen marjat tulevat hieman lähemmäksi pohjaa kuin jos "menisi tasan"?

lkasf. kirjoitti:

Vakuuttavaa pyörittelyä vaikka en lukenut kuin silmäillen läpi :)

Otitko vielä huomioon sitä, että jos astian pohjalle ei tule marjoja aivan vieri viereen, vaan niiden välille jää hieman rakoa, niin silloin seuraavan kerroksen marjat tulevat hieman lähemmäksi pohjaa kuin jos "menisi tasan"?

Lue lisää

Menee yhtälöt liian vaikeiksi, jos rupeaa laskemaan tyhjiä koloja reunoilta. Hila muodostuu niiden 4 marjan ympärille. Periaate on, että jokaisen marjan keskipisteen etäisyys on 2 sädettä viereisistä marjoista. Siis jokaisessa kerroksessa ja myös kerrosten välillä. Asian voi tarkistaa pythagoraan lauseen avulla ;-)

hilan vitkuttaja kirjoitti:

Testailin ideaa vielä vähän pidemmälle ja sain vielä vähän optimoitua 1. marjan asettelulla. Käytössä edelleen lieriö, jonka pohjan säde 12 cm ja korkeus 22,1 cm.

1,5 cm marjoille:
Neljä ensimmäistä marjaa koordinaateissa
(0,02; 0,78; 1) (0,02; 2,78; 1) (~1,752; 1,78; 1) (~0,597; 1,78; ~2,633).
Kun tästä jatkaa hilan rakentamista, niin 1. kerrokseen mahtuu 207 marjaa ja 2. kerrokseen 204. Tästä eteenpäin jokaiseen kerrokseen menee siis vuorotellen 207 tai 204 marjaa ja kun kerroksia mahtuu lieriöön yhteensä 17 saadaan kokonaismarjamääräksi 3.495 kpl. Marjojen tilavuus ja pakkaustehokkuus tällöin
6,18 l / 61,8 %.

1,0 cm marjoille:
(0,01; 0,3; 1) (0,01; 2,3; 1) (~1,742; 1,3; 1) (~0,587; 1,3; ~2,633).
1. kerrokseen mahtuu 486 marjaa ja 2. kerrokseen 481. Kerroksia mahtuu lieriöön 26, joten marjojen kokonaismääräksi tulee 12.571 kpl. Marjojen tilavuus ja pakkaustehokkuus tällöin
6,58 l / 65,8 %.

Marjojen määrä tällä periaatteella voi olla vielä muutaman suurempikin, jos onnistuisi vain asettelemaan aloituskoordinaatit paremmin. Itse en kuitenkaan saanut Excelin solverilla ja omalla haarukoinnilla tämän parempia tuloksia :-)

Lue lisää

Taisitkin jo saada kehuja mallinnoksesta...

Mallinnoksesi antama pakkausetu pienempien marjojen (10mm) hyväksi on noin 6,5%.
Aiemmin laskemani kerroksittainen mallinnos oli huomattavasti kömpelömpi, mutta antoi kuitenkin samansuuntaisen tuloksen. Tarkemmin sanottuna noin 8,2% pienempien marjojen (10mm) hyväksi.

Edellinen ei koko totuus, koska:
Marjakokojen välinen pakkaustehoero pienenee ja lopulta tasoittuu, jos/kun pakkausastian koko kasvaa suhteessa marjan säteeseen.
Ja analogisesti, marjakokojen välinen pakkaustehoero pienenee ja lopulta tasoittuu, jos/kun marjan säde pienenee suhteessa pakkausastian säteeseen.

Kerroit, että sinulla valmiina Excel-mallinnos. Onko sinun vielä mahdollista testata mallinnostasi?

1. astia entisellään, marjakoot 2mm ja 3mm
2. astia entisellään, marjakoot 4mm ja 6mm
3. astia entisellään, marjakoot 16mm ja 24mm

PS marjakokojen välinen suhde pysyy koko ajan samana (2/3)

sovellus kirjoitti:

Taisitkin jo saada kehuja mallinnoksesta...

Mallinnoksesi antama pakkausetu pienempien marjojen (10mm) hyväksi on noin 6,5%.
Aiemmin laskemani kerroksittainen mallinnos oli huomattavasti kömpelömpi, mutta antoi kuitenkin samansuuntaisen tuloksen. Tarkemmin sanottuna noin 8,2% pienempien marjojen (10mm) hyväksi.

Edellinen ei koko totuus, koska:
Marjakokojen välinen pakkaustehoero pienenee ja lopulta tasoittuu, jos/kun pakkausastian koko kasvaa suhteessa marjan säteeseen.
Ja analogisesti, marjakokojen välinen pakkaustehoero pienenee ja lopulta tasoittuu, jos/kun marjan säde pienenee suhteessa pakkausastian säteeseen.

Kerroit, että sinulla valmiina Excel-mallinnos. Onko sinun vielä mahdollista testata mallinnostasi?

1. astia entisellään, marjakoot 2mm ja 3mm
2. astia entisellään, marjakoot 4mm ja 6mm
3. astia entisellään, marjakoot 16mm ja 24mm

PS marjakokojen välinen suhde pysyy koko ajan samana (2/3)

Lue lisää

Vastaukset:
1. Ei pysty tekemään kovin helposti, kun Excelistä rupeaa loppumaan sarakkeet kesken, kohta 2. vaati jo sarakkeen IJ käyttöä! :-p Periaatteessa taulukkoa voisi muokata, mutta nyt ei jaksa.

2. Marjat 0,4 cm & 0,6 cm => säteet 0,2 & 0,3 cm. Marjojen max etäisyys origosta 59 & 39 r. Marjoja kahdessa kerroksessa 6.310 & 2.753 kpl. Kerroksia 67 & 44. => Marjoja yhteensä 211.385 & 60.566 kpl.
Tilavuudet: 7,08 & 6,85 l. => 70,8 % & 68,5 %.

3. Marjat 1,6 cm & 2,4 cm => säteet 0,8 & 1,2 cm. Marjojen max etäisyys origosta 14 & 9 r. Marjoja kahdessa kerroksessa 358 & 151 kpl. Kerroksia 15 & 11. => Marjoja yhteensä 2.685 & 831 kpl.
Tilavuudet: 5,76 & 6,01 l. => 57,6 & 60,1 % !!!

Siis mitä tässä tapahtui? Kun marjan koko kasvoi 1,6 cm -> 2,4 cm, niin niitä mahtuikin enemmän astiaan. "1,6" marjoja mahtuu astiaan vain korkeudelle 21,2 cm asti kun "2,4" marjat tulevat tasolle 22,0 cm asti. Kun huomioidaan tästä aiheutuva muutos astian "käyttötilavuuteen", niin tehokkuudet ovat 60,0 % vs. 60,4 % edelleen "2,4" marjan hyväksi. Omituista...

hilan vitkuttaja kirjoitti:

Vastaukset:
1. Ei pysty tekemään kovin helposti, kun Excelistä rupeaa loppumaan sarakkeet kesken, kohta 2. vaati jo sarakkeen IJ käyttöä! :-p Periaatteessa taulukkoa voisi muokata, mutta nyt ei jaksa.

2. Marjat 0,4 cm & 0,6 cm => säteet 0,2 & 0,3 cm. Marjojen max etäisyys origosta 59 & 39 r. Marjoja kahdessa kerroksessa 6.310 & 2.753 kpl. Kerroksia 67 & 44. => Marjoja yhteensä 211.385 & 60.566 kpl.
Tilavuudet: 7,08 & 6,85 l. => 70,8 % & 68,5 %.

3. Marjat 1,6 cm & 2,4 cm => säteet 0,8 & 1,2 cm. Marjojen max etäisyys origosta 14 & 9 r. Marjoja kahdessa kerroksessa 358 & 151 kpl. Kerroksia 15 & 11. => Marjoja yhteensä 2.685 & 831 kpl.
Tilavuudet: 5,76 & 6,01 l. => 57,6 & 60,1 % !!!

Siis mitä tässä tapahtui? Kun marjan koko kasvoi 1,6 cm -> 2,4 cm, niin niitä mahtuikin enemmän astiaan. "1,6" marjoja mahtuu astiaan vain korkeudelle 21,2 cm asti kun "2,4" marjat tulevat tasolle 22,0 cm asti. Kun huomioidaan tästä aiheutuva muutos astian "käyttötilavuuteen", niin tehokkuudet ovat 60,0 % vs. 60,4 % edelleen "2,4" marjan hyväksi. Omituista...

Lue lisää

Kovasti kiitos vaivannäöstäsi!

Testauspyyntöni idea oli katsoa pakkausastian säteen ja marjan säteen välisen suhteen vaikutusta pakkaustulokseen.

marjojen säteet 1mm ja 1,5mm
- Mahdoton sanoa tuloksia näkemättä. Arvaanpa, että marjat pakkautuvat jo kutakuin yhtä tehokkaasti tässä kokoluokassa.

marjojen säteet 2mm ja 3mm
- Sait tulokseksi 70,8%/68,5% pienemmän marjakoon hyväksi.
Aiemmin olit laskenut tuloksen 65,8%/61,8% koskien marjasäteitä 5mm/7,5mm.
Tuloksesi kuulostaa kovasti uskottavalta. Pakkaustehot parantuvat, kun marjojen säteet pienenevät suhteessa pakkausastian säteeseen. Marjakokojen välinen pakkaustehon ero samanaikaisesti pienenee.

marjojen säteet 8mm ja 12mm
- Marjojen kokoluokka on kasvanut suhteessa pakkausastian reunoihin (säteeseen ja korkeuteen).
Taidetaan liikkua jo siinä kokoluokassa, jossa reunat kävelevät vastaan. Satunnaisen sovittumisen edut ovat suuret ja voivat ratkaista vertailun. Sovittumisen etu voi sattumalta olla myös isomman marjan puolella.
Huomasin saman asian peukaloidessani kerroskohtaista optimointitaulukkoa Excelissä.

sovellus kirjoitti:

Kovasti kiitos vaivannäöstäsi!

Testauspyyntöni idea oli katsoa pakkausastian säteen ja marjan säteen välisen suhteen vaikutusta pakkaustulokseen.

marjojen säteet 1mm ja 1,5mm
- Mahdoton sanoa tuloksia näkemättä. Arvaanpa, että marjat pakkautuvat jo kutakuin yhtä tehokkaasti tässä kokoluokassa.

marjojen säteet 2mm ja 3mm
- Sait tulokseksi 70,8%/68,5% pienemmän marjakoon hyväksi.
Aiemmin olit laskenut tuloksen 65,8%/61,8% koskien marjasäteitä 5mm/7,5mm.
Tuloksesi kuulostaa kovasti uskottavalta. Pakkaustehot parantuvat, kun marjojen säteet pienenevät suhteessa pakkausastian säteeseen. Marjakokojen välinen pakkaustehon ero samanaikaisesti pienenee.

marjojen säteet 8mm ja 12mm
- Marjojen kokoluokka on kasvanut suhteessa pakkausastian reunoihin (säteeseen ja korkeuteen).
Taidetaan liikkua jo siinä kokoluokassa, jossa reunat kävelevät vastaan. Satunnaisen sovittumisen edut ovat suuret ja voivat ratkaista vertailun. Sovittumisen etu voi sattumalta olla myös isomman marjan puolella.
Huomasin saman asian peukaloidessani kerroskohtaista optimointitaulukkoa Excelissä.

Lue lisää

marjojen säteet 8mm ja 12mm
===========================
Tsekkasin vielä sovittumisen kerroskohtaisen optimaaliasettelun perusteella, ja pakkaustehot tosiaan ovat kutakuinkin tasan:

52,137% / marjakoko 8mm
52,115% / marjakoko 12mm

Sekä vaaka- että pystysuuntainen sovittuminen näyttää olevan poikkeuksellisen edullinen isommalle 12mm marjalle.

Pystysuuntainen sovittumisetu on mahdollista jättää huomiotta. Silloin saataisiin:

55,4% / marjakoko 8mm
53,3% / marjakoko 12mm