joukkojen järjestäminen

Voitasko kompleksilukujen joukolle määritellä järjestysrelaatio sopimalla, että z on suurempi kuin w, joss Arg z > Arg w. Lisäksi, jos luvuilla on sama argumentti, niin sovitaan, että suurempi luvuista on se, jonka normi on suurempi.

jukepuke kirjoitti:

Voitasko kompleksilukujen joukolle määritellä järjestysrelaatio sopimalla, että z on suurempi kuin w, joss Arg z > Arg w. Lisäksi, jos luvuilla on sama argumentti, niin sovitaan, että suurempi luvuista on se, jonka normi on suurempi.

Tämä on ihan toimiva tapa järjestää kompleksiluvut. Tässä voit selvästi kahdesta eri kompleksiluvusta sanoa, kumpi tulee toisen jälkeen. Pienenä houmautuksena todettakoon, että argumentti on monikäsitteinen mod 2pi, joten on otettava käsittelyyn argumentin jokin kiinnetty haara, vaikkapa päähaara. (Ehkäpä tuo isolla kirjoitettu Arg tarkoittaakin juuri sitä. En ole vaan nähnyt merkintää aiemmin.) Lisäksi on sovittava, mihin väliin nolla kuuluu, sillä arg 0 ei ole määritelty. Ilmeisesti alkuun, sillä nollan normi on pienempi kuin minkä tahansa muun luvun, mutta tällöin on kuitenkin väärin sanoa arg z > arg w.

mahtimatemaatikko kirjoitti:

Tämä on ihan toimiva tapa järjestää kompleksiluvut. Tässä voit selvästi kahdesta eri kompleksiluvusta sanoa, kumpi tulee toisen jälkeen. Pienenä houmautuksena todettakoon, että argumentti on monikäsitteinen mod 2pi, joten on otettava käsittelyyn argumentin jokin kiinnetty haara, vaikkapa päähaara. (Ehkäpä tuo isolla kirjoitettu Arg tarkoittaakin juuri sitä. En ole vaan nähnyt merkintää aiemmin.) Lisäksi on sovittava, mihin väliin nolla kuuluu, sillä arg 0 ei ole määritelty. Ilmeisesti alkuun, sillä nollan normi on pienempi kuin minkä tahansa muun luvun, mutta tällöin on kuitenkin väärin sanoa arg z > arg w.

Merkinnällä Arg tarkoitin juuri päähaaraa, eli Arg z \in ]-pii,pii]. Luulin, että sitä käytetään yleisesti, mutta tulipa taas todistettua, että matematiikassa harvemmin voi merkintöjen yleisyyteen luottaa. =/

Kaipa se 0 voisi olla "alussa". Vähän samalla tavalla, kuin reaalilukujen laajennuksessa R* sovitaan äärettömän olion olevan "lopussa". Elikkäs, alkuperäiset määrittelyt kaikille kompleksiluvuille, jotka ovat erisuuria, kuin 0 ja sitten lopuksi sovitaan 0 < z kaikille nollasta eroaville z. =)

Reaaliluvut ovat sinänsä eri asia, koska niissä järjestys tulee jo aksioomissa määritellyksi. Tässä tapauksessa mietityttää enemmän, minkälaisia kokoja tulee kun astutaan "numeroituvan ulkopuolelle" ja miten sellaisia joukkoja voidaan järjestellä.

Pitääpä perehtyä annettuun linkkiin.

koska niin on kirjoitti:

Reaaliluvut ovat sinänsä eri asia, koska niissä järjestys tulee jo aksioomissa määritellyksi. Tässä tapauksessa mietityttää enemmän, minkälaisia kokoja tulee kun astutaan "numeroituvan ulkopuolelle" ja miten sellaisia joukkoja voidaan järjestellä.

Pitääpä perehtyä annettuun linkkiin.

Ei ne reaaliluvut sillä perusteella eroa. Kyllä ne reaaliluvut voidaan järjestää vaikka ne olisi otettu käyttöön konstruoimalla.

Kompleksiluvut voidaan tietysti järjestää monellakin tavalla, esim. käyttämällä itseisarvoa tai tuota vaihekulmaa. Kysymys on oikeastaan siitä mitä tältä järjestykseltä haetaan. Esim. vaaditaanko, että joko x

Per Saukko kirjoitti:

Ei ne reaaliluvut sillä perusteella eroa. Kyllä ne reaaliluvut voidaan järjestää vaikka ne olisi otettu käyttöön konstruoimalla.

Kompleksiluvut voidaan tietysti järjestää monellakin tavalla, esim. käyttämällä itseisarvoa tai tuota vaihekulmaa. Kysymys on oikeastaan siitä mitä tältä järjestykseltä haetaan. Esim. vaaditaanko, että joko x

En tunne kuin Dedekindin leikkauksilla ja Cauchy-sarjoilla konstruoinnit.

Mitä konstruointia tarkoitat?

heitellä? kirjoitti:

En tunne kuin Dedekindin leikkauksilla ja Cauchy-sarjoilla konstruoinnit.

Mitä konstruointia tarkoitat?

Näitä kahta lähinnä ajattelin (eikä Dedekindin leikkauksiin juuri nykyään törmää, vaikka vielä Lindelöfin kirjoissa ne opetetaan). Muita tapoja on, mutta se on paremminkin muitten miesten hommia. Eli tämä Cauchy-jono konstruktio on nykyään "oikea tapa"...

Per Saukko kirjoitti:

Näitä kahta lähinnä ajattelin (eikä Dedekindin leikkauksiin juuri nykyään törmää, vaikka vielä Lindelöfin kirjoissa ne opetetaan). Muita tapoja on, mutta se on paremminkin muitten miesten hommia. Eli tämä Cauchy-jono konstruktio on nykyään "oikea tapa"...

Eikös noissa se järjestys tule suoraan jo aksioomissa? Mitä nyt missaan? Konstruoinnissa käytettävät oliothan ovat jo järjestetty eikä niitä tarvitse mitenkään järjestää...?

Dedekindin leikkauksissa käytettävät joukot ovat suoraan määritelty jo ennen itse reaalinumeroiden määrittelyä ja siinä samalla on määritelty niiden järjestys. Eikö sama koske myös käytettäviä Cauchy-jonoja?

öö?