sin, cos, tan ja tarkat arvot?

Piirrät suorakulmaisen kolmion, jossa kulmat pi/3 ja pi/6. Laajennat tasasivuiseksi eli "käännät" pi/3 vastaisen sivun siten että kulmat ovat kaikki pi/3, tällöin sivut ovat x -> korkeus on x^2/4 h^2=x^2 h^2=3x^2/4
h=sqrt(3)x/2
tästä saat ratkaistua sin(pi/3) -sin(-pi/3)
eli sin(pi/3)=h/x

En mitään kovinkaan simppeliä tapaa keksi, mutta eräs vaihtoehto on tällainen. Oletetaan, että halutaan laskea sin (m*pi/n), missä (m,n)=1. Tämä voidaan ilmaista algebrallisena lukuna joss n:n parittomat alkutekijät ovat Fermat'n alkulukuja, joiden kunkin eksponentti alkutekijähajotelmassa on 1.

Nyt havaitaan, että 0=sin (pi)=sin(n pi/n). Tästä voidaan selvittää x=sin (pi/n) de Moivreen kaavan avulla. Nimittäin tällöin x toteuttaa jonkun tietyn polynomiyhtälön, jonka juuret voidaan ratkaista. En kylläkään keksi mitään näppärää ratkaisukaavaa yleiselle tapaukselle, mutta ratkaisukaava on kyseiselle polynomille olemassa. Tästä siis saadaan kyseinen x ratkaistua. Nyt sin (m pi/n) saadaan sinin summakaavasta.

Samantapainen algoritmi toimii myös kosinin ja tangentin tapauksessa. Voit myös ratkaista ensin sinin tarkan arvon ja käyttää sitten kaavoja

cos x = - sqrt (1-sin^2 x),
tan x = - sin x / sqrt (1-sin^2 x).

Luvun sin x tarkka arvo on sin x. Tuo taitaa olla helpoin tapa.