Miten saan mahdollisimman helposti pääteltyä/laskettua sin, cos ja tan tarkat arvot ilman taulukkokirjaa? Esim. sin[-(pi)/3] ? Onko tähän jotain helppoa menetelmää? Yksikköympyrältä jotenkin vääntää?
sin, cos, tan ja tarkat arvot?
Trigoman
31717
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Piirrät suorakulmaisen kolmion, jossa kulmat pi/3 ja pi/6. Laajennat tasasivuiseksi eli "käännät" pi/3 vastaisen sivun siten että kulmat ovat kaikki pi/3, tällöin sivut ovat x -> korkeus on x^2/4 h^2=x^2 h^2=3x^2/4
h=sqrt(3)x/2
tästä saat ratkaistua sin(pi/3) -sin(-pi/3)
eli sin(pi/3)=h/x
En mitään kovinkaan simppeliä tapaa keksi, mutta eräs vaihtoehto on tällainen. Oletetaan, että halutaan laskea sin (m*pi/n), missä (m,n)=1. Tämä voidaan ilmaista algebrallisena lukuna joss n:n parittomat alkutekijät ovat Fermat'n alkulukuja, joiden kunkin eksponentti alkutekijähajotelmassa on 1.
Nyt havaitaan, että 0=sin (pi)=sin(n pi/n). Tästä voidaan selvittää x=sin (pi/n) de Moivreen kaavan avulla. Nimittäin tällöin x toteuttaa jonkun tietyn polynomiyhtälön, jonka juuret voidaan ratkaista. En kylläkään keksi mitään näppärää ratkaisukaavaa yleiselle tapaukselle, mutta ratkaisukaava on kyseiselle polynomille olemassa. Tästä siis saadaan kyseinen x ratkaistua. Nyt sin (m pi/n) saadaan sinin summakaavasta.
Samantapainen algoritmi toimii myös kosinin ja tangentin tapauksessa. Voit myös ratkaista ensin sinin tarkan arvon ja käyttää sitten kaavoja
cos x = - sqrt (1-sin^2 x),
tan x = - sin x / sqrt (1-sin^2 x).
Luvun sin x tarkka arvo on sin x. Tuo taitaa olla helpoin tapa.