Löysin vanhasta iltalukion matikankirjasta tämän tehtävän, enkä osaa ratkaista sitä.
Määritä vakio a siten, että funkito f(x) = x^2 - (a 1)x a saa negatiivisia arvoja
täsmälleen välillä -2, 1 . (Päätepisteet eivät kuulu alueeseen.)
Mistä aloitan? Miten jatkan?
Määritä vakio a siten, että funkito f(x) = x^2 - (a 1)x a saa negatiivisia arvoja
täsmälleen välillä -2, 1 . (Päätepisteet eivät kuulu alueeseen.)
Mistä aloitan? Miten jatkan?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Löysin vanhasta iltalukion matikankirjasta tämän tehtävän, enkä osaa ratkaista sitä.
Määritä vakio a siten, että funkito f(x) = x^2 - (a 1)x a saa negatiivisia arvoja
täsmälleen välillä -2, 1 . (Päätepisteet eivät kuulu alueeseen.)
Mistä aloitan? Miten jatkan?
Koska toisenasteen termin kerroin on >0 eli 1
niin kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli,
joka saa negatiivisia arvoja nollakohtiensa
välissä.
Eli siis nollakohtien on oltava kohdissa
x=-2 ja x=1 siis
f(-2)=0 ja f(1)=0
V:a=-1/2 ja x=1 on nk. triviaali nolla kohta.
Toisaalta, kun tuo f(1)=0 toteutuu aina
a:n arvosta riippumatta niin tuo lauseke
onkin helppo jakaa tekijöihin niin, että
toinen tekijä on (x-1) =>
x^2-(a 1)x a=(x-k)(x-1)= x^2-(x k)x k
eli oltava k=a siis lauseke saa muodon
(x-k)(x-1) joten k=a=-2 siis korjaus edelliseen
Pitäis kai ratkaisujen reaalisuudestakin sanoa jotain.
ylppäreissä piirtää se paraabeli sillä a = -2 arvolla ja mainita se reaalisuusehto eli diskriminantti suurempi tai yhtäsuuri kun nolla. Millainen olisi mallivastua?
(lyhyt matikka)
Lähdetään siitä, että funktio f(x) saa negatiivisia arvoja välillä ]-2, 1[. Tämä tarkoittaa sitä, että f(-2)=0 ja f(1)=0.
Tehdään sijoitus x=-2 ja ratkaistaan a:
f(-2) = (-2)^2 -(a 1)*(-2) a = 0
4 2*(a 1) a = 0
4 2a 2 a = 0
3a = -6
a = -2
Tarkistus, sij. a=-2 ja x=1:
f(1) = 1^2 -(-2 1)*(1) -2 = 0
f(1) = 1 2 -1 -2 = 0
f(1) = 3 - 3 = 0
f(1) = 0 = 0
Siis funktio f(x) = 0 joss a=-2 ja x=-2 tai x=1. f(x) saa negatiivisia arvoja välillä ]-2,1[ kun a=-2, koska funktion termi "x^2" on positiivinen ja funktion kuvaaja on tällöin ylöspäin aukeava paraabeli.
Tämä on siis vähän matemaattisempi tapa esittää todistus, kuin pelkästään piirtää kuvaaja. Tosin lyhyellä matikalla sekin voi olla riittävä todistus, asia kannattaa varmistaa opettajalta.
f(1) =0 antaa triviaaliratkaisun 0 = 0. Kuvaaja leikkaa x-akselin aina kohdassa 1 olipa a mikä tahansa reaaliluku. Silloin määritetään f(2) =0 josta a = - 2.