moellako eri tavalla voidaan järjestää sanan MAANALAINEN kirjaimet uudelleen kun kirjaimet I ja E eivät saa olla vierekkäin?
todennäköisyyttä
peikk
191250
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 19
Vanhimmat
11!-20*9!
taida olla oikein? mistä revit tuon 9*20? laskisin itse tuon siten että kaikkien sanojen määrästä vähentäisin niiden sanojen märän joissa I ja E ovat vierekkäin ja niitähän sanoja on 20(ala-astelasku)...
IE:llä alkavia sanoja on 9!
IE voi sijaita kymmenessä kohdassa tuota kirjainjonoa
Sanoja ,joissa on IE on siis 10*9!
EI :n sisältäviä on sama määrä 10*9!
Sanoja ,joissa om IE tai EI on 2*10*9!=20*9!
Sanoja joissa ei ole kumpaakaan on siis
11!-20*9!=90*9!
Näissähän nyt on tietysti samoja sanoja
4!*7!*2!, jos ne jätetään pois on vastaus
90*9!-(4!*7!*2!) 1
joka ainoa ! tarkoittaa kertomaa,eikä huutomerkkiä
siinä on kolme N:ää
samalta näyttäviä kirjainjonoja on 4!*3!*4!
jonoja kaikkiaan 90*9!-(4!*3!*4!) 1
Tuossa lopputuloksessa on ainakin se virhe,että siinä on kaikkien jonojen joukosta vähennetty kahteen kertaan sellaiset samalta näyttävät kirjainjonot ,joissa E ja I ovat vierekkäin.
pitäsikö olla 90*9!-(4!*3!*4*2*2*1) 4*2*2*1 ?
Tuntuu kyllä siltä ,että tästä ei kyllä mitään kovin isoa lukua voi tulla ylipäätäänkään,että tämä koko sepustus on päin persettä
Jos oikein laskin, niin sanassa on 11 kirjainta. Ensin laitat vaikka I:n ekaksi jolloin E:lle jää 9 mahdollista paikkaa. Sitten lasket kuinka monella tavalla voit laittaa loput kirjaimet jäljelle jääviin paikkoihin jne.
Eli jos kirjaimia on M, AAAA, NNN, L, niin I:llä alkavia on 9*(9!/1!4!3!1!), sellaisia missä I on toisena kirjaimena on 8*(9!/1!4!3!1!), I kolmantena myös 8*(9!/1!4!3!1!) etc. Jos merkitään 9!/1!4!3!1! = k, niin saan 9k 9*8k 9k =90a = 90*9!/4!3! = 90*9*8*7*5 = 226 800kpl.
Laskut menivät hatarasta muistista enempiä tarkistelematta, mutta koska kyseessä lienee kuitenkin harjoitustehtävä, niin tehtäväksi jää vastauksen tarkistaminen :)
Olihan täällä näköjään oikea vastaus (ilmeisesti oikea) jo ennalta. Tosin erilaiset lähestymistavat.
"Tosin erilaiset lähestymistavat."
Hyvä nähdä erilaisia ratkaisutapoja, itselleni ei tullut pienen miettimisen jälkeen muuta kuin tuo oma mieleen. Niin sitä urautuu ajatteluissaan..
Alkuperäiselle suosittelisin HY:n mainiota prujua Diskreetti matematiikka 2:n kurssilta:
http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/dmII/dmbook.2.ps
Mietitään aluksi komplementtia. Kirjaimilla saadaan aikaiseksi 10*2!=20 kombinaatiota, joissa kaksi kirjainta (I ja E) ovat vierekkäin. Siis mahdollisia permutaatioita on 20*4!*3!=2880 ottaen huomioon muutaman kirjaimen (A ja N) samuuden.
Kaikki mahdollisuudet järjestää kirjaimet ovat 11!. Tästä haluaisin kovasti päätellä, että vastaus on 11!-2880=39913920.
nCr(9,4) = "9 yli 4:n"
Vastaus: 11*10*nCr(9,4)*nCr(4,3) - 10*2*nCr(9,4)*nCr(4,3) = 45360
En nyt ehdi tarkistamaan, enkä selittämään. Palaan myöhemmin asiaan.
aiheesta
Helpompi ensinnäkin on varmasti laskea tämä vähentämällä kaikista mahdollisista järjestyksistä ne, joissa I ja E ovat vierekkäin.
Ajatellaan tilannetta 11 paikkaisena rasiana, johon kirjainlaattoja pitää asettaa. Seuraavat laatat pitää siis asettaa rasiaan:
A: 4 kappaletta
N: 3 kappaletta
M: 1 kappale
L: 1 kappale
I: 1 kappale
E: 1 kappale.
Lasketaan ensin kaikki mahdolliset järjestykset:
Jos kaikki kirjaimet olisivat eri kirjaimia, niin tämä voitaisiin laskea suoraan 11!, eli vastaus olisi yhdentoista kertoma. Nyt kuitenkin joitakin kirjaimia on useampia kappaleita, joten tilanne täytyy (tai voi/kannattaa) ajatella hieman toisella tavalla.
A-kirjaimet voidaan asettaa rasiaan 11 yli 4 eri tavalla, eli nCr(11,4). Tämän jälkeen kolme N-kirjainta voidaan asettaa jäljellä oleviin paikkoihin nCr(7,3) eri tavalla. Loput neljä eri kirjainta M,L,I ja E voidaan sijoittaa loppuihin rasian paikkoihin 4! = 4*3*2*1 eri tavoilla. Näin ollen eri järjestysten määrä on näiden tulo, eli
nCr(11,4)*nCr(7,3)*4!.
Lasketaan sitten järjestykset, joissa I ja E ovat vierekkäin:
Sijoitetaan aluksi I ja E rasiaan. Ne voidaan sijoittaa rasiaan vierekkäin järjestyksessä IE 10 eri tavalla ja järjestyksessä EI 10 eri tavalla, eli yhteensä 2*10 eri tavalla. Tämän jälkeen loput kirjaimet voidaan sijoittaa nCr(9,4)*nCr(5,3)*2! eri tavalla. Siis tapoja, joissa I ja E ovat vierekkäin on:
2*10*nCr(9,4)*nCr(4,3)*2!
Lopullinen tulos on siis näiden erotus, eli:
nCr(11,4)*nCr(7,3)*4! - 2*10*nCr(9,4)*nCr(5,3)*2! = 226800
Mun eka viesti oli puuta heinää.
Kuitenkin kysymys kuului kuinka monella tavalla kirjaimet voidaan järjestää, eli kirjainten järjestyksellä ON väliä. Tämä sotii kombinaation käyttöä vastaan.
Siis kaikki järjestykset on 11! ja komplementti on 20*9!. Tästä kysytty 11!-20*9! = 32659200
Sulla on hyvin noi "eri sanat" selvitetty, eli "olennaisesti eroavat" järjestykset tuloperiatteella.
"Kuitenkin kysymys kuului kuinka monella tavalla kirjaimet voidaan järjestää, eli kirjainten järjestyksellä ON väliä. Tämä sotii kombinaation käyttöä vastaan. "
On sillä väliä tiettyyn rajaan asti. Jos laitat kolme A kirjainta peräkkäin ei järjestyksellä ole väliä. Vastaavasti jos sinulla on viisi A-kirjainta ja yksi B, niin montako vaihtoehtoa saat? Onko kuuden kertoma? Ei taida olla :)
Multinomi hieman sovellettuna on ehkä suoraviivaisin tapa laskea tuo.
No joo. Tulkinnastahan on tietysti kysymys. Alkuperäisessä ei ole sanottu, että otetaanko samojen kirjaimien eri järjestykset huomioon. Itse olen sen verran monesti tällaisia tehnyt, että osasin avistaa, että kyseessä on tulkinta, missä samojen kirjaimien eri järjestykset edustavat samaa tapausta.
En ymmärtänyt mitä hait takaa. Kertositko lisää tosta multinomin soveltamisesta.
"Eli jos kirjaimia on M, AAAA, NNN, L, niin I:llä alkavia on 9*(9!/1!4!3!1!), sellaisia missä I on toisena kirjaimena on 8*(9!/1!4!3!1!), I kolmantena myös 8*(9!/1!4!3!1!) etc. Jos merkitään 9!/1!4!3!1! = k, niin saan 9k 9*8k 9k =90a = 90*9!/4!3! = 90*9*8*7*5 = 226 800kpl. "
Tuossa multinomi on tuo k. Eli siinä meillä on 9 merkkiä, joita neljä erilaista, joista vain yksi on L, yksi M, neljä A:ta ja 3 N:ää, niin voimme järjestää ne 9!/(1!1!4!3!) eri tavalla (1 1 4 3=9).
Pistin aiemmin linkin yhteen prujuun, katso sieltä tarkemmin miten se toimii. En valitettavasti kerkeä selittämään.
Onko luentomonistetta muodoissa .pdf tai .doc?
Minulla on tuosta prujusta pdf-versio, mutta en arvaisi sitä jakaa. Kysy suoraan kirjoittajalta onko siitä pdf-versiota jakelussa. Muistelen nähneeni aiemmilla kursseilla pdf:n, mutta en löytänyt sitä enää.