Nämähän ovat ihan perusyhtälöitä, mutta itse en vaan tajua ollenkaan näiden ratkaisutapaa:
a) sin x = 1/2
b) cos x = 1/2
a) sin x = 1/2
b) cos x = 1/2
Trigonometriset yhtälöt
tumpelo
10981
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Siis en ymmärrä, mitä noissa et ymmärrä. Rautalangasta väännettynä tehtävät kuuluvat:
a) Etsi ne x:n arvot, jolloin sinifunktio x:stä saa arvon 1/2.
b) Etsi ne x:n arvot, jolloin kosinifunktio x:stä saa arvon 1/2.
Jag är många gonger, det är mycket verkstygloda. Här är många gonger, det verkstykslofa är denna sitta. Vill du ha coffe eller såkker? Jag är sitta en "paskakokkare". Därför min verktygsloda är slut.
a) Eli paljonko on kulma x silloin, kun suorakulmaisen kolmion kulman x vastainen kateetti on puolet viereisen kateetin pituudesta.
b) Paljonko on x, kun viereisen kateetin suhde vastakkaiseen on puoli.
sin=vastainen kateetti/hypotenuusa
cos=viereinen kateetti/hypotenuusa
Tuo (a kohta) tarkoittaa sitä,että sinun on löydettävä kulmat joiden sin on 1/2.
Yksi löytyy helpoiten laskimesta.
Tarkistat ensin ,että laskin on DEG toiminnassa , sitten näppäilet 0,5 ,ja sitten Inv sin. Tulee 30 astetta.
Sitten meneekin vaikeammaksi.
Todetaan vain,että
1/2 on myös sin kulmille 30 n*360 ja (180-30) n*360 ,joissa n on positiivinen kokonaisluku.
b kohta
taas laskimesta:
0.5 Inv cos
näyttöön tulee 60 astetta
silloin
x=60 n*360 ,kuitenkin myös kulmalla -60 on tuo sama cos=0.5
eli ratkaisu on: x= 60 n*360 tai x=-60 n*360 (astetta)
n=positiivinen kokonaisluku tai 0
Tämän vastaus oli siis :
x=30 n*360 tai x=150 n*360 , n=0 ,tai positiivinen kokonaisluku
Riippuu, millä tasolla haluat asian ymmärtää. Laskimesta vastauksen saa ulos niillä ohjeilla, jotka tässä ketjusa jo näkyvät.
Mutta mitä siinä siis tehdään?
yhtälöhän oli sin(x)=1/2.
nyt helpointa olisi, jos tunnettaisiin tuon funktion sin(x) käänteisfunktio, jolloin yhtö suoraan muuttuu muotoon
x=käänteifunktio(1/2)
Tuollainen onkin olemassa
sinin käänteifunktiota kutsutaan usen nimellä arcussini(lyhemmin arcsin) jolle yksi muodollinen merkintätapa on sin¯¹(t)
eli yhtälö voidaan nyt merkitä käänteisfunktion avulla muodossa
sin(x)=1/2
->x=sin¯¹(1/2)
ja laskimesta yleensä löytyy numeerinen arvo tuolle yhtälölle, ja myös cosinille löytyy käänteisfunktio laskimesta.
Huomaa muuten, että tuo käänteisfunktio ei ole ihan yksikäsitteinen, koska esimerkiksi sin(45)=sin(135)=1/√2
ja laskimen kääntesfunktio antaa yleensä vain tuon pienemmän kulman sin¯¹(1/√2)=45
Tarkennetaan, että se käänteisfunktio sinille ja cosinille on olemassa sopivilla määrittelyväleillä, jolloin se käänteisfunktio on yksikäsitteinen ja olemassa.
(ihan vain siksi täsmennys, että joku haluaa asian kuitenkin korjata, ja ehkä se on täsmällisyyden vuoksi tarpeellistakin tällä keskustelualueella)
Piirrä suorakulmainen kolmio, jonka yksi kulma on x. Koska sini on vastainen jaettuna hypotenuusalla, niin vastaisen sivun pituus 1 ja hypotenuusan pituus 2.
Piirrä tästä kolmiosta peilikuva siten, että kateetti, jonka pituutta ei ole mainittu on molempien kolmioiden yhteinen sivu. Näin muodostuu tasasivuinen kolmio => 2x = 60 astetta, eli x=30 astetta.
Edelleen yhtälön cos y = 1/2 ratkaisu nähdään esim. siten, että aluksi piirretyn kolmion toinen terävä kulma on 90 - 30 = 60 astetta ja tämän kosini on kuvasta katsomalla 1/2, joten y = 60 astetta.
Kosini ja sini funktiot ovat jaksollisia, joten ratkaisuja on tietysti a)- ja b)-kohdissa äärettömän monta. Tarkoituksena tässä oli näyttää, että tällaisissa tapauksissa tilannetta voidaan hahmottaa ja ratkaista myös ilman laskimen apua.