kolme kolikkoa, joista yksi on normaali klaava-kruuna, toinen klaava-klaava ja kolmas kruuna-kruuna. Nyt pöydällä on kolikko klaava puoli ylöspäin, millä todennäköisyydellä toinenkin puoli on klaava?
todennäköisyyslaskentaa
tonttu
525173
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 2 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 52
Vanhimmat
Luulisin että 1/2 on oikea vastaus. Koska toinen puoli on klaava, ei kolikko voi tietenkään olla tuo kruuna-kruuna ja on siis kaksi vaihtoehtoa.
Suotuisia on yksi: klaava-klaava. Ja alkeistapauksia nuo kaksi. Siis 1/2= 50%
En usko
2/3
Kyllä kai se 2/3 on. Olkoon kolikot A, B ja C:
A = klaava-kruuna
B = klaava-klaava
C = kruuna-kruuna
ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko on B. Ehdolla pöydällä oleva kolikko, olettaen että heitto on rehellinen kolikonheitto, saadaan seuraavat todennäköisyydet klaavalle:
p(kl|A) = 1/2
p(kl|B) = 1
p(kl|C) = 0
Olettaen, että kolikko oli poimittu satunnaisesti suosimatta mitään kolikkoa, saadaan
p(kl) = p(kl|A) p(A) p(kl|B) p(B) p(kl|C) p(C) = 1/2
ja
p(A|kl) = p(A) p(kl|A) / p(kl) = 1/3
p(B|kl) = p(B) p(kl|B) / p(kl) = 2/3
p(C|kl) = p(C) p(kl|C) / p(kl) = 0
Siispä vastaus ok 2/3.
Siinä on kolme mahdollisuutta jos se kolikko on kerran jo valmiiksi pöydällä klaavapuoli ylöspäin:
klaava.......klaava......KLAAVA
------.......------......------
kruuna.......KLAAVA......klaava
Se kolikko ,jossa on molemmat klaavoja voi siis olla kumminpäin vaan pöydällä.
Tuosta tulisi tietysti todennäisyydeksi
2/3.
Mutta kuten epäilin jo eilenkin ,epäilen vieläkin,että menen tässä helppoon ja se todennäköisyys on sittenkin 1/2.
Mietin tätä äsken kun kävelin tänne töihin ja kyllä tämä asia täysin selväksi tuli.
Kun se raha kerran on valmiiksi pöydällä klaavapuoli ylöspäin,niin ei siinä ole kuin kaksi mahdollisuutta.
Kolikko on joko klaava/kruuna tai klaava/klaava.
Sen todennäköisyys,että se on käännettynäkin klaava on tietysti 1/2.
Sillähän ei ole mitään merkitystä millä se alunpitäen siihen pöydälle klaavaksi jostain pussista nostettiin.
Siinä tapauksessa,että se raha nostetaan summassa ja sitten lasketaan todennäköisyys sille ,että se ensinnäkin on klaava ja sitten vielä käännettynäkin on klaava tapaukset ovat:
klaava/klaava,klaava/kruuna,kruuna/klaava,kruuna/kruuna
suotuisia tapauksia on 2/4
ja näistä kahdesta vain toisessa on kääntöpuolella klaava,eli todennäköisyys on 1/4
Taidat mennä nyt sekaisin noissa tapauksissa. Kuten joku aiemmin kirjoitti, niin kolikothan ovat:
A = klaava-kruuna
B = klaava-klaava
C = kruuna-kruuna
Jos nyt pöydällä on kolikko, josta näkyy klaava, niin selvästikään se ei voi olla C joten sen on oltava A tai B. Nyt näissä kolikoissa on kolme klaavaa, joista yksi näkyy. Näistä kolmesta suotuisia tapauksia on ovat molemmat A:n puolet kun epäsuotuisia on B:n klaava-puoli. Näin kolmesta alkeistapauksesta kaksi on suotuisia ja kysytty tn. on siis 2/3.
Käytännössä ja käytännön tehtävähän tämä on ,(joka voidaan myös empiirisesti todeta),siellä on kyllä neljä kolikkoa:
A=klaava-kruuna
B=klaava-klaava
C=kruuna-kruuna
D=kruuna-klaava
Jos tuohon tehtävään vaihdetaan jokaisen klaava sanan paikalle kruuna sana,niin silloinkin tuon "2/3" logiikan mukaan tulee todennäköisyydeksi 2/3.
Jos nyt lasketaan nämä kaksi tapausta yhteen tulee 4/3 ,vaikka pitäisi tulla 1 ,jos todennäköisyydet ovat oikein.
Hyvin selvennetty! Olet varmasti opettaja.
Vaihtoehdot kun klaava näkyvissä:
1. klaava/klaavakolikon toinen puoli
2. Klaava/klaavakolikon toinen puoli
3. Klaava/kruunakolikon klaava puoli
2 tapausta 3:sta on tarkoittaa klaava/klaava kolikkoa
Tuo ei ole mikään vastatapaus koska eihän tässä kaksi kruunaa tule lainkaan kysymykseen. Ehtona on nimenomaan klaava päällimmäisenä. Silloinhan vastatapaus sille että "klaava päällä ja alla" on "klaava päällä ja kruuna alla". Nyt näiden todennäköisyyksien summa on 2/3 1/3 =1 kuten pitääkin.
Perusjoukko: klaava, kruuna; klaava, klaava ja kruuna, kruuna.
Kysytään "kolikko on klaava-klaava":A ehdolla, että "tulos on klaava":B. Se saadaan kaavalla, missä A:n ja B:n leikkausjoukon todennäköisyyttä verrataan B:n todennäköisyyteen.
P(A ja B) = 1/3 ja p(B) = 3/6, kysytty todennäköisyys siis (1/3)/(3/6) = 2/3.
Metsään voi mennä jos ajatellaan B:n tilalle että ainakin toinen kolikon puoli on klaava, jolloin tn on 1/2, menee alakanttiin.
Joo olen itsekkin taipuvainen 2/3 ehdollisen tod.näk. kautta. Tämä on siitä hauska tehtävä, että nopeasti ajatellen 1/2 tuntuisi
niin luonnolliselta vastaukselta.
No minusta ainakin se on ihan selvästi 1/2. Tottakai jos kaavoilla pyörittelee ja latelee lukuja niin saahan sitä vaikka minkälaista lukemaa. Aina ei tarvita kaavoja vaan maalaisjärkikin joskus auttaa.
Mutta, jotta asiaan saataisiin varmuus niin menkääpäs joku keskustelua seuraava matikanopiskelija proffan juttusille ja kysykää.
Mistä te sen kolmosen repäsette? Siis kaverilla on kyllä kolme kolikkoa, mutta hittoako sillä kruuna-kruunalla tekee kun ylöspäin on klaava??
Kaverilla voisi olla kädessään elefantti, siili ja traktori niin vaikuttaako sekin sitten siihen todennäköisyyteen? Tasan yhtä paljon kun se kruuna-kruuna kolikko, jos kerran klaava näkyy. Silloin se kruuna-kruuna menettää merkityksen, bonjaatteko? Miksi tehdä asiasta vaikeaa. Se ON 1/2.
kolikot 1)kl-kr, 2)kr-kr, 3)kl-kl!
1 voi olla pöydällä asennossa kl ylös tai kl alas.
2 voi olla asennossa kr ylös tai sitten se toinen kr
ylös.
3 voi olla asennossa kl ylös tai sitten toinen kl ylös.
Siis tapauksia on joissa klaava on ylöspäin on 1:stä
yksi ja 3:sta molemmat siis kolme tapausta. Suotuisia, ovat vain 3.n tapaukset. Siis tod.näk. 2/3
Kokeileppa oikein käytännössä.Tee kolme kolikkoa yhteenliimaamalla,joista yksi on tuplaklaava ,yksi tuplakruuna ja yksi normaali.
Arvot näistä kolikoista auna yhden,asetat sen pöydälle ja katsot mikä se on .Sitten katsot sen kääntöpuolen ja laitat nämä paperille.
Toista tämä vaikka nyt sata kertaa.
Aika pian huomaat,että näistä tuplakolikoista et pysty millään sanomaan kumminpäin nämä tuplakolikot siinä pöydällä ovat.
Eli kumpi klaava tai kumpi kruuna siinä milloinkin on päällä.
Siis kyseessä on SAMA tapaus.
Siihen tilastoon tulee vain tapaukset:
klaava-klaava
klaava-kruuna
kruuna-kruuna
kruuna-klaava
Kaikkia tulee suurinpiirtein 25%
Jos nyt lasket tapauksen klaava-klaava osuuden
tapauksista(klaava-kruuna ja klaava-klaava) niin aika lähelle 50%tulee,ja sitähän tässä kysyttiin.
Tehtävässä selvästi sanotaan,että se kolikko on pöydällä ja siinä on klaavapuoli ylöspäin.
Sillä ei ole mitään väliä kuinka se siihen on tullut,se on siinä ja klaava päällä.
Klaavaa ei ole kuin kahdessa kolikossa:normaalissa ja tuplaklaavassa.
Satavarmasti sen on oltava jompikumpi näistä.
Siis yksi kahdesta= 1/2, piste
Näkyvissä oleva klaava on
- joko tuplaklaavan toinen puoli
tai
- tuplaklaavan toinen puoli
tai
- klaavakruunan klaavapuoli
näet siis tuplaklaavan kaksi kertaa kolmesta, eli 2/3 todennäköisyydellä
ihan sama kumpi puoli se siitä tuplakaavasta on!
ettekö nyt helevata tajua ettei se vaikuta siihen.
kivasti sen saat tuohon kaavaan ja tuon väärän vastauksetn (2/3) mutta oikea vastaus on (1/2) koska se on samantekevää kumpi fukken puoli se siitä klaava-klaavasta.
Ongelma on yhtäpitävä, kuin jos kysytään, että "Millä todennäköisyydellä pöydällä oleva kolikko on se, jossa on molemmilla puolilla klaava, kun kolikon näkyvällä puolella on klaava". Näin mahdollisia alkeistapauksia on kaksi, joista yksi on suotuisa, eli todennäköisyys on 1/2.
Ongelma tosiaan on yhtäpitävä, mutta alkeistapauksia on kolme, ei kaksi. Jos klaavapuoli näkyy, niin on kolme yhtä todennäköistä ERI vaihtoehtoa: näkyvä klaava on (1) kruuna-klaava -kolikon toinen puoli, (2) klaava-klaava -kolikon ensimmäinen puoli tai (3) klaava-klaava -kolikon toinen puoli. Ko. tapauksissa kahdessa kolmesta kolikon kääntöpuolella on klaava, eli kysytty todennäköisyys on 2/3.
Kruuna/kruuna-kolikon voimme unohtaa, se on tehtävän kannalta irrelevantti. Muotoilkaamme tämän jälkeen tehtävä (jälleen kerran) uudestaan:
""
Sinulla on kaksi kolikkoa: kruuna/klaava-kolikko ja klaava/klaava kolikko.
Toinen kolikoista on pöydällä klaava-puoli ylöspäin.
Kysymys kuuluu: Millä todennäköisyydellä pöydällä oleva kolikko on klaava/klaava-kolikko?
""
==> 1/2
Ei-ehdolliset todennäköisyydet ovat toki edelleen
p(A) = 1/2
p(B) = 1/2
mutta _ehdolla_, että pöydällä on klaava ylöspäin, todennäköisyydet ovat
p(A|kl) = 2/3
p(B|kl) = 1/3
Ihan tavallista Bayesilaista todennäköisyyslaskentaa, ei mitään sen kummempaa.
Tai siis A:n ja B:n todennäköisyydet piti olla toisinpäin, mutta tuolla idealla kuitenkin...
Moi.
Siitä, että kruuna-kruuna -kolikon voimme unohtaa, olen samaa mieltä. Päättelyn toista vaihetta ("==>") en sellaisenaan hyväksy. Hiljalleen alan kuitenkin ymmärtää, miksi kysymys on herättänyt niin kiivasta keskustelua. Annan kaksi näkökantaa, joista voitte valita parhaiten miellyttävän. Ensimmäinen perustuu oletukseen, että "molemmat kolikot ovat ensin taskussa", ja sitten toinen kolikoista viskataan pöydälle tunnetuin seurauksin. Toisen lähtökohta on, että aksiomaattisesti OLETAMME, että eri kolikoilla on yhtä suuret todennäköisyydet olla pöydällä.
(i): "Kolikot taskussa"
Valitaan kahdesta merkittävästä kolikosta SATUNNAISESTI toinen ja viskataan se pöydälle: näemme edessämme klaavan. Millä todennäköisyydellä myös kolikon kääntöpuolella on klaava? Tässä vastauksen "1/2" virhe on olettaa, että kummallakin kolikolla on nyt yhtä suuri todennäköisyys olla viskaamamme kolikko -- jos näin olisi, olisi vastaus triviaalisti "1/2". Olemme kuitenkin saaneet käyttöömme informaatiota kolikon laadusta, jota ei käy sivuuttaminen. Ehdolla, että näemme pöydällä klaavan, on todennäköisempää, että viskasimme juuri klaava-klaava -kolikon, kuin että viskasimme kruuna-klaava -kolikon. Tämän tiedon valossa on tietysti myös todennäköisempää, että toisella puolella on klaava, kuin että toisella puolella olisi kruuna. Tarkat luvut ovat 2/3 ja 1/3, kuten ketjussa aiemmin on mainittu.
(ii) "Kolikot ovat valmiiksi pöydällä"
Oletus siitä, että valitsemme viskattavan kolikon aluksi umpimähkään on tietysti näkökulman (i) kannalta oleellinen. Jos tosiaan aksiomaattisesti OLETAMME, että kummallakin kolikolla on aluksi yhtä suuri todennäköisyys olla pöydällä, on vastaus "1/2" oikea lähes triviaalisti.
Kumpi sitten on "oikea vastaus"? Kallistuisin vaihtoehdon (i) kannalle, sillä tilanne on jollain tapaa "realistisempi". Vaihtoehto (ii) likimain olettaa, että ulkopuolinen apuri ensin tarkastelisi kahta kolikkoamme, arpoisi niistä sitten toisen umpimähkään, ja asettelisi sitten arvonnan tuloksen pöydälle VARMISTAEN, että klaavapuoli tulee ylöspäin. Silloin todennäköisyydet ovat puoli ja puoli, mutta kaikki satunnaisuuden viehätys on tehtävästä kadonnut.
Siis mikä v*tun Bayes? Voidaan me Einsteininkin E=mc^2 ja Newtonilta kokonainen kaavakokoelma repiä mutta ei niitä tartte, eikä niillä saa oikeaa ratkaisuakaan kun ei näköjään tuolla Bayesillakaan. Ttu, kele, teetkö tuon tahallasi?
Jos on klaava ylöspäin, niin alla voi olla joko klaava tai kruunu. Ja koska klaava-klaavoja on 1 ja klaava-kruunuja on 1 niin vastaus on edelleen 1/2. Joko olet hiton tyhmä ettet ymmärrä tai sitten et vaan halua tai sitten oikeasti tajuat tuon mutta tahallasi jotain ehdollisuutta ja Bayesia jankutat koko ajan.
Mutta jos haluat varmistua, mene lähimpään yliopistoon, eti proffa, tartu hihasta ja kysy. Bayes-itkut loppuu lyhyeen, ei tuhlata omaa ja muiden aikaa täällä. Piste. Loppu, iäksi, toivon.
Järjenkäyttö jäi (minulta) kesken, takinkäännön paikka. Muotoilen tehtävän tavalla, jolla asia käy paremmin ilmi:
""
Sinulla on kaksi kolikkoa: kruuna/klaava-kolikko ja klaava/klaava kolikko.
Toinen kolikoista on pöydällä klaava-puoli ylöspäin.
Kysymys kuuluu: Millä todennäköisyydellä pöydällä olevan kolikon toinen puoli EI OLE kruuna?
""
=> P(on kruuna) = 1/3
==> P(ei ole kruuna) = 1 - (1/3) = 2/3
Ja vielä niille, jotka luottavat Wikipediaan enemmän kuin itseensä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Three_cards_problem
Samaa mieltä.
Eli sekä vastaus 2/3 että vastaus 1/2 voidaan perustella.
Mutta ilman erityistä syytä olettaa että kolikot on asettanut pöydälle joku joka varmistaa että klaavapuoli on aina ylöspäin, niin minä(kin) veikkaisin, että toisella puolella on klaava tn:llä 2/3. Tämä vastaa ajatusta siitä että kolikko on heitetty satunnaisesti pöydälle, eikä sitä ole kukaan "älykäs taho" sen jälkeen käännellyt. Tämä nyt vain tuntuu realistisemmalta mallilta tapaukselle, annetuilla tiedoilla.
Mutta jos on lisätietoa siitä miten kolikko on pöydälle joutunut, niin sitten vastaus voi olla myös 1/2.
Siis jollain tapaa kaikki ovat oikeassa!
Joku jo laittoikin tuon Wiki-linkin, missä on myös perusteltu tuo todennäköisyysteoreettisesti (Bayesilaisittain) oikea vastaus 2/3. Se on hieman paradoksaalinen, mutta nimenomaan noilla mainitsemillani oletuksilla ja ehdollistuksella se menee noin.
Bayesilainen todennäköisyyslaskenta: http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_statistics
Ihan tilastotieteen perusopintoihin tuo kuuluu hyvin monessa matematiikkaa opettavassa korkeakoulussa / yliopistossa. Sori jos väännän veistä haavassa. :)
Lukemalla viestiketjua voit todeta, että nimimerkin kallista. perustelu on varsin tyhjentävä. Lue se vielä:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000022252385
Argumentoisi on loistavaa. Kiroilusi osoittaa mielenlujuutta ja kypsyyttä. Kysyisin vielä, haluatko pelata seuraavaa peliä.
Pelissä on kaksi kolikkoa. Toisessa on klaava ja kruuna eri puolilla, toisessa on klaava molemmin puolin. Peli-isäntä arpoo satunnaisesti toisen kolikon ja laittaa sen pöydälle. Jos kolikossa näkyy kruuna, kierros mitätöidään. Muutoin näkyy klaava ja voit nyt lyödä vetoa, onko kolikon toisella puolella kruuna.
Sinulle tarjotaan mahdollisuus lyödä vetoa 20 € kolmeakymmentä vastaan. Tämä tarkoittaa siis, että jokainen pelikierros, jota ei mitätöidä, maksaa sinulle 20 egeä. Jos ja vain jos pelatun kierroksen kolikon toinen puoli paljastuu kruunaksi, sinulle maksetaan 50 € (20 30). Siis kruunan näkyessä heti alussa raha ei vaihda omistajaa ollenkaan, otetaan vain uusi arvonta heti perään.
Nyt voit joko hävitä 20 € yhdessä kierroksessa tai voittaa 30 €. Jos on, kuten väität, todennäköisyys voitolle 1/2, niin odotusarvo yhdeltä kierrokselta on 5 € sinun kassaasi. Jos taas todennäköisyys olisi ollut se arvo, minkä jo briljantisti osoitit vääräksi, olisi odotusarvo -20*2/3 30/3, eli - 3 1/3 (-3,3333...).
Helppoa rahaa saisit joltain Bayes-uskovaiselta, joka luottaisi jälkimmäiseen tulokseen. Vai saisitko? Tiedän yhden hyvän tavan ottaa selvää...
Varmuuden vuoksi voisitte muuten ottaa peliin mukaan sen kruuna-kruuna-kolikonkin, mutta eihän sitä tarvitse, koska jokainen kierros, jossa se valittaisiin, mitätöitäisiin kuitenkin. Eikö niin?
Tässä on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä. Ehtona on että päällä on klaava. Ehto toteutuu todennäköisyydellä 1/2. Toisaalta, että molemmat puolet olisivat klaavoja, toteutuu todennäköisyydellä 1/3.
Nyt kysytty tn on (1/3):(1/2)=2/3.
Lienee nyt sitten selvää, että oikeampi vastaus on 2/3. Mutta 1/2 kannattajat voisivat koettaa, vielä antaa (jos huvittaa) jonkin tarkan perustelun miten moiseen tulokseen päätyvät. Ketjussa oli jo jotain perusteluja, mutta niistä en oikein vielä hoksannut kuinka tulokseksi saadaan puoli.
Hyvät joulut!
pahoittelen, jos kyssäri on aiheuttanut unettomia öitä
Lähdetään liikkeelle vähän toisella lailla:
Herra A asettaa pöydälle kaksi kolikkoa :Tuplaklaavan ja normaalin kolikon ,klaavapuoli ylöspäin molemmat.
Huoneeseen saapuu rouva B .Hänelle annetaan tehtäväksi valita jompikumpi kolikoista.Hän ei siis tiedä mistään tuplaklaavoista mitään,näkee vain kaksi kolikkoa pöydällä klaavapuoli ylöspäin.
Hänellä on siis selvästi kaksi mahdollisuutta valita kolikko.
No hän valtsee kolikkonsa ,joka jätetään siihen koskematta pöydälle ja toinen kolikko poistetaan.
Sitten huoneeseen saapastelee neiti C.Hän näkee pöydällä yhden kolikon klaavapuoli ylöspäin.
Sitten hänelle näytetään kahta kolikkoa :normaalia ja tuplaklaavaa,sanotaan,että tuo kolikko on jommankumman kaltainen ja kysytään:
Mitä luulet ,millä todennäköisyydellä tuo pöydällä oleva kolikko samanlainen kuin tämä ,ja osoitetaan tuplaklaava kolikkoa.
Tämähän tämä tehtävä periaatteessa on.
Rouva B siis valitsi yhden kahdesta.
Miten se todennäköisyys 1/2 olisi muuttunut tämän toiminnan aikana todennnäköisyydeksi 2/3?
Rouva B:n tapauksessa todennäköisyys tottakai on 1/2.
Neiti C:n tapauksessa tilanne on toinen, hänellä on enemmän informaatiota käytettävissään.
Ajattele asiaa järjellä: todennäköisyyden ilmiselvästi täytyy olla suurempi kuin 1/2.
Linkkaan vielä aiempaan vastaukseeni, koska tehtävän uudelleen muotoilulla asia taatusti käy paremmin ilmi:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000022271704
Tehtävänantosi olisi tullut kuulua esim.:
Pussissa on kolme kolikkoa. K/R K/K ja R/R
Yksi niistä heitetään pöydälle johon se jää klaava näkyvissä.
Millä todennäköisyydellä myös toisella puolen on klaava ?
Vastaus: 2/3
Sanoit kuitenkin vain:
On kolme kolikkoa K/R K/K R/R
Yksi on pöydällä klaava näkyvissä.
Millä todennäköisyydellä toisellakin puolen on klaava ?
Vastaus: 1/2 (Kun tehtävän anto tulkitaan "Yksi kolikko on ASETETTU pöydälle siten, että klaava näkyy)
No itse ajattelin tilannetta niin, että ulkopuolinen henkilö valitsee jomman kumman kolikoista, joka sisältää klaavan ja asettaa sen niin, että klaava on ylöspäin. Tällä logiikalla todennäköisyydeksi tulee 1/2, jos ajatellaan, että kummankin kolikon valituksi tuleminen on yhtä todennäköistä.
Aikaisemmin joku tuossa laittoi linkin wikipediaan samantapaiseen ongelmaan, missä hatusta otetaan kortteja jne. Tällöinhän todennäköisyydeksi todella tulee 2/3. Tehtävänantoa olisikin (mielestäni) voinut tarkentaa jotenkin tyyliin, että kolikko otetaan esim. sattumanvaraisesti taskusta ja sen toinen puoli on klaava jne...
Minä siis kysyin,että miten se todennäköisyys voi muka muuttua? Jos kolikko siihen jäi sillä todennäköisyydellä,että se on 50%:n varmuudella tuplaklaava,niin kyllä se myös viitenäkymmenenä pysyy.
Se mitä neiti C vastaa tai mitä lisätietoa hänellä on,ei muuta sitä todennäköisyyttä miksikään.
Hyvää joulua!
1/2 sen sanoo jo yksinkertainen järki
Testasin asiaa kirjoittamallani tietokoneohjelmalla miljoonalla toistolla. Oikea todennäköisyys on 1/2, ei 2/3.
Jotkut aiemmin tähän ketjuun kirjoittaneet ovat oikeassa siinä, että 2/3 todennäköisyydeksi väittävät ovat väärässä erottaessaan klaava-klaava-kolikon puolet toisistaan. Jos kyse olisi kolmisivuisista kappaleista, jotka olisivat muuten alkuperäisen esimerkin kaltaisia, mutta kl-kr-kappaleeseen lisättäisiin kr-sivu ja kl-kl-kappaleeseen kl-sivu ja pitäisi laskea todennäköisyys, että kappaleen piilossa olevalla sivulla on "klaava", olisiko kl-kl-kl-kappaleen todennäköisyys jo 3/4? Entä jos sivuja olisi triljoona, olisiko vain klaavasivuista koostuvan kappaleen todennäköisyys triljoonan suhde triljoona yhteen? Vaikka sivuja olisi triljoona, klaavakappaleen todennäköisyys olisi 1/2, koska kappaleita olisi 2.
En todellakaan usko, että Bayesin kaavassa on mitään vikaa, ongelma on siinä, että osa täällä soveltaa sitä väärin. Olennaista on niiden kappaleiden määrä, joiden jokin sivu on klaava, ei se, montako klaavaa yhteensä on. Klaava on klaava, on samantekevää, mikä klaavoista on kyseessä. Kolikonheiton näkökulmasta vain klaavan ja kruunun ero on funktionaalinen ja jokainen yksittäinen klaava ja kruunu on klaava- ja kruunutyypin toteutuma.
Luin tuossa englanninkielisen Wikipedian artikkelin aiheesta ja on totta, että klassisessa korttiongelmassa (musta-musta, valkea-valkea, musta-valkea) kortin mustan puolen tn. on 2/3 eikä 1/2. Tuo esimerkki eroaa tämän ketjun esimerkistä niin, että henkilö vetää kortin hatusta. Tiedetään, että kortin puoli on musta ja mustista puolista on 2/3 yhdessä kortissa, joten m-m-kortin todennäköisyys on 2/3. Tämän ketjun esimerkki on kuitenkin erilainen, sillä avausviestissä ei sanota, että kolikko on poimittu sattumalta. Sille, joka tietää kolikon molemmat puolet, todennäköisyys on 0 tai 1, epävarmuuden tilalla on varmuus. Jos joku asettaa kolikon klaavapuoli ylöspäin pöydälle ja luettelee jollekin henkilölle tämän ketjun esimerkissä täyttyvät ehdot, kuulijalle tn. on 1/2. Jos kolikko vedetään "silmät kiinni" hatusta, klaavan tn. on tietysti se 2/3.
En sano, että tämän ketjun esimerkki on huonosti muotoiltu, tuollainen kysymys on totta kai mielekästä esittää. On vain pidettävä mielessä, että tämä on eri ongelma kuin se, jota monet käyttivät ratkaisumallina, joten ratkaisukin on eri.
Olisi kiintoisaa nähdä lähdekoodi, ei sillä
että epäilisin sen oikeellisuutta, mut olis vaan kiva nähä kuinka konetta voi hyödyntää
Kirjoitin sen ohjelman BASIC-kielellä, ohjelma on niin yksinkertainen, että sen tekeminen ei vaadi kuin ohjelmoinnin PERUStaitoja. Olen todella niin harrastelija kuin joku voi olla.
Ohjelma olisi antanut tulokseksi 2/3, jos olisin kirjoittanut siihen kolikon arvonnan, mutta en sitä tehnyt, koska esimerkissä ei sellaista väitetty. Kokeilin ohjelmaa apuvälineenä joskus aiemmin Marilyn vos Savantin vaihto-ongelmassa (Monty Hall problem). Ongelma liittyy peliin, jossa arvataan, missä kolmesta suljetusta lokerosta palkinto on. Kun pelaaja on arvannut kerran, hänelle avataan kahdesta muusta lokerosta sellainen, jossa palkintoa ei ole. Tämän jälkeen kysytään, haluaako pelaaja vaihtaa arvaustaan. vos Savantin mukaan hänen kannattaa vaihtaa, sillä todennäköisyys, että palkinto on vaihdetussa lokerossa, on 2/3. Vaikka tiesin vos Savantin huippuälykkääksi, en olisi ikinä uskonut, että hän on oikeassa, mutta kyllä hän on, totta kai. :D Kirjoitin BASIC-kielisen ohjelman, joka vakuutti minut siitä, että vaihto todella kannattaa.
Ns. simulaatiosta on kirjoitettu tilastotieteessä siitä näkökulmasta, kuinka vaikeista ongelmista on helppo saada niiden avulla konkreettisempi ote. (Simulaatio voidaan tehdä vaikka lapuilla tms., mutta suuriin toistomääriin on vaikea päästä muulla kuin tietokoneella.) On tietysti aina mahdollista, että tulos ei anna oikeaa kuvaa asiasta, sillä satunnaisluvut arvotaan jokaisella toistolla erikseen ja yksi triljoonastakin toteutuu joskus. Riski on tietysti todella pieni, luotan yleensä miljoonaan toistoon, koska en pelaa lottoa. :)
Koska pöydällä olevasta kolikosta näkyy klaava-puoli, on selvää, että kolikko voi olla vain joko klaava-klaava tai klaava-kruuna. Kaksi mahdollisuutta, joten todennäköisyys on 50%.
Jos säkissä 1000 kpl kolikkoa joista 500 klaava/klaava ja 500 klaava/kruuna kolikkoa ja säkki tyhjennetään lattialle, niin noin 250 kruunaa näkyvissä. Loput kaikki klaavoja joista 500 kpl klaava/klaava kolikkoa ja noin 250 klaava/kruuna kolikkoa.
Kysytty todennäköisyys 2/3
Totta puhut. Esimerkissä ei kuitenkaan puhuttu mitään säkistä eikä 1000 kolikosta. Esimerkkitilanne voisi toteutua esimerkiksi seuraavalla tavalla. On klaava-klaava-, klaava-kruunu- ja kruuna-kruunu-kolikoita. Henkilö A asettaa kolikon klaavapuoli ylöspäin pöydälle ja pyytää henkilöä B arvaamaan, mikä kuvio on kolikon toisella puolella. Vaikka B tietäisi, että satunnaisesti poimittuna klaava-klaava-kolikon todennäköisyys on 2/3, hän ei voisi olla varma, olisko A valikoinut kolikon katsomalla sen molemmat puolet. Ehkä A valitsi tarkoituksella klaava-kruunu-kolikon, jotta B arvaisi väärin? B voi ajatella, että jos hän pelaisi arvausta toistettaessa joka toinen kerta klaava-klaavaa, hän voittaisi useammin kuin häviäisi, mutta A:lla on mahdollisuus vaihdella kolikkoa niin, että klaava-klaava on yhtä todennäköinen kuin klaava-kruunu. Jos B alkaa suosimaan arvauksissaan klaava-klaavaa, A valitsee... Niin, B:n kannattaa todella arvata.
Todennäköisyys 2/3 pätee siis vain silloin, kun kolikko oikeasti arvotaan. Esimerkissä ei sanota, että mitään arvontaa suoritettaisiin. Kolikko päätyy jotenkin pöydälle, minä oletin kolikon puolen määrääjäksi henkilön A.
Jos henkilö A oletetaan kolikon ja sen klaavapuolen määrääjäksi tehtävässä ei ole mitään järkeä, sillä kaikki todennäköisyydet 0 - 1 ovat mahdolliset.
Jos kolikko arvotaan mutta henkilö A saa määrätä miten päin se asetetaan pöydälle on todennäköisyys 1/2
Jos kolikko arvotaan ja se heitetään sattumanvaraisesti pöydälle ja hyväksytään vain ne heitot joissa on klaavapuoli ylöspäin on todennäköisyys 2/3
Heps..
Hhhhhmmmmm.....
Ongelma oli
"kolme kolikkoa, joista yksi on normaali klaava-kruuna, toinen klaava-klaava ja kolmas kruuna-kruuna. Nyt pöydällä on kolikko klaava puoli ylöspäin, millä todennäköisyydellä toinenkin puoli on klaava?"
Ainakin siinä tapauksessa että kolikot on aseteltu pöydälle niin että Kl-puolet ovat ylöspäin, todennäköisyys poimia joukosta se kolikko jossa myös toinen puoli on Kl on 1/2 elikkäs 50%. Kolikko josta näkyy Kr ei ole mahdollinen koska se on varmuudella Kr-Kr. Eli mahdollisia kolikkoja on jäljellä kaksi, jotka molemmat voivat olla oikeita.