Todista että on olemassa sellaiset luvut
n,p € Z_ , jotka toteuttavat yhtälön
3n^2 3n 1=p^3
n,p € Z_ , jotka toteuttavat yhtälön
3n^2 3n 1=p^3
Apua todistukseen!
Hessupoikka
11792
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
3n^2 3n 1=p^3
-n^3 n^3 3n^2 3n 1=p^3
-n^3 (n 1)^3=p^3
(n 1)^3-n^3 = p^3
eihän tuolle ole kokonaisluku ratkaisuja
Mistä tiedät, että yhtälöllä
(n 1)^3-n^3=p^3, n,p € Z_
ei ole kokonaislukuratkaisuja?
Osaisitko perustella miksi ratkaisuja ei ole olemassa?
Josko yhtälö olisi 3n^2 3(n 1) =p^2. Jos niin se menee induktiolla.
Ei ole virhettä. Kaipaisin perusteluja väitteelle, että kokonaislukuratkaisuja ei ole olemassa yhtälölle
(n 1)^3-n^3=p^3, n,p € Z_
Kokeilepa seuraavaa.
(n 1)^3 - n^3 = p^3
3n^2 3n 1 = p^3
Josta:
2a 1 = p^3 (merkitään 3n^2 3n = 2a sillä 3n^2 3n on aina parillinen)
... sinun tulee siis löytää pariton kokonaislukuratkaisu tälle ongelmalle. Onnea etsintään.
Lisätään molemmille puolille n^3
tulee n^3 3n^2 3n 1=p^3 n^3 ,eli
(n 1)^3=n^3 p^3 ,eli
(n 1)^3-n^3=p^3
vasen puoli tuottaa pelkkiä alkulukuja,jotka
eivät ole minkään luvun kolmansia potensseja,
eli tuolle yhtälölle ei ole ratkaisuja joukossa
Z
Se että tuo vasen puoli tuottaa pelkkiä
alkulukuja jää kyllä minulta osoittamatta.
Yhtälö on saatu muotoon
(n 1)^3=n^3 p^3
Jos tällaiset n ja p voitaisiin löytää, niin meillä olisi ratkaisu diofantoksen yhtälölle
x^3 y^3=z^3, asettamalla x=n, y=p, z=n 1.
Fermat suuri lause sanoo, että diofantoksen yhtälöllä x^k y^k=z^k ei ole ratkaisuja, kun k>2. Tapauksekselle k=3, löytyy lukuteorian oppikirjoista todistus jos tarvitset, mutta andrew wiles osoitti oikeaksi sen kaikille k>2.
Niin mitäpä tuohon lisäisi.
"Fermat suuri lause sanoo, että diofantoksen yhtälöllä x^k y^k=z^k ei ole ratkaisuja, kun k>2."
Ei, vaan yhtälöllä ei ole positiivisia (kokonaisluku)ratkaisuja. Tässä on oltava tarkkana, sillä esim. (x,y,z)=(0,0,0) on yhtälön ratkaisu
Diofantoksen yhtälöistä puhuttaessa tarkoitetaan yhtälön ei-triviaaleja kokonaislukuratkaisuja.
Toki triviaaleja ratkaisuja löytyy ja algebrallisia tai transcendenttisia ratkaisuja ratkeaville yhtälöille aina.
"Diofantoksen yhtälöistä puhuttaessa tarkoitetaan yhtälön ei-triviaaleja kokonaislukuratkaisuja. "
No ehkä joskus harvoin, mutta ei suinkaan aina. Olen nähnyt monessa matematiikan kirjassa esimerkin, jossa Diofantoksen yhtälön x^2 y^2=z^2 kokonaislukuratkaisut ovat muotoa x=(m^2-n^2)p, y=2mnp, z=(m^2 n^2)p, m,n,p kokonaislukuja. Parempi olla tarkka kuin huolimaton.