Alkulukujen määrää välillä 2 --> N voidaan arvioida kaavalla
N
(1) al(N) = -----
ln(N)
Tämän kaavan antama ennuste on kuitenkin hidas ja se heittää 4x10^9 (=4 miljrd) kohalla vielä noin 5%.
Tehdään kaavaan (1) lisäys:
N
-----
N ln(N)
(2) al(N) = ----- -----------
ln(N) N
ln(-----)
ln(N)
(Siis lisätermissä kaavan (1) antamaa ennustetta sovelletaan itseensä.)
Tarkistuslaskenta antaa seuraavan taulukon. Siinä ensimmäinen sarake ilmoittaa mihin asti laskenta suorutetaan (N=2^n). Toisessa sarakkeessa on alkulukujen todellinen määrä välillä 2 --> N. Kolmannessa on kaavan (1) antama ennuste (=todellinen määrä/ennustettu määrä). Neljäs on kaavan (2) antaman ennusteen tarkkuus
alkulukujen kaavan (1) kaavan (2)
n todel. määrä ennuste ennuste
-----------------------------------------------
12 564 1.1453 0.9862
16 6542 1.1071 0.9928
20 82025 1.0844 0.9958
24 1077871 1.0688 0.9967
28 14630843 1.0578 0.9972
4 mrd 189961182 1.0500 0.9975
(Viimeinen rivi n-sarakkeessa tarkoittaa että laskenta on suoritettu N=4 miljrd saakka.) Kaava (2) on huomattavasti tarkempi jo pienillä N:n arvoilla. Lisäksi kaava (2) --> kaava (1) kun N lähestyy ääretöntä.
Seuraavassa alp(N) on alkulukuparien määrä välillä 3-->N, ja al(N) alkulukujen määrä samalla välillä. Seuraava on pelkkä arvaus
al(N)
(3) alp(N) = ---------
ln(al(N))
Tälle saadaan tarkkuusarvio:
alkuluku- kaavan (3) oikea määrä/
parien ennustama ennustettu
n todel. määrä määrä määrä
------------------------------------------------
12 107 89 1.202
16 860 744 1.155
20 8535 7249 1.177
24 92246 77598 1.189
28 1056281 886791 1.191
4 mrd 11944438 9965297 1.198
Kaava (3) antaa tuloksia jotka ovat sinne päin, mutta suunta näyttää olevan, että se koko ajan pikku hiljaa huononee. (Jos se kerrottaisiin luvulla 1.2, niin saataisiin varsin tarkka ennuste alkulukuparien määrälle 4 miljrd saakka.) Kaavan (3) ennustamaa määrää laskettaessa on käytetty ensimmäisen taulukon saraketta 'alkulukujen todellinen määrä', mutta koska se on hyvin lähellä kaavan (2) antamaa ennustetta, voitaisiin siinä käyttää myös kaavaa (2).
N
(1) al(N) = -----
ln(N)
Tämän kaavan antama ennuste on kuitenkin hidas ja se heittää 4x10^9 (=4 miljrd) kohalla vielä noin 5%.
Tehdään kaavaan (1) lisäys:
N
-----
N ln(N)
(2) al(N) = ----- -----------
ln(N) N
ln(-----)
ln(N)
(Siis lisätermissä kaavan (1) antamaa ennustetta sovelletaan itseensä.)
Tarkistuslaskenta antaa seuraavan taulukon. Siinä ensimmäinen sarake ilmoittaa mihin asti laskenta suorutetaan (N=2^n). Toisessa sarakkeessa on alkulukujen todellinen määrä välillä 2 --> N. Kolmannessa on kaavan (1) antama ennuste (=todellinen määrä/ennustettu määrä). Neljäs on kaavan (2) antaman ennusteen tarkkuus
alkulukujen kaavan (1) kaavan (2)
n todel. määrä ennuste ennuste
-----------------------------------------------
12 564 1.1453 0.9862
16 6542 1.1071 0.9928
20 82025 1.0844 0.9958
24 1077871 1.0688 0.9967
28 14630843 1.0578 0.9972
4 mrd 189961182 1.0500 0.9975
(Viimeinen rivi n-sarakkeessa tarkoittaa että laskenta on suoritettu N=4 miljrd saakka.) Kaava (2) on huomattavasti tarkempi jo pienillä N:n arvoilla. Lisäksi kaava (2) --> kaava (1) kun N lähestyy ääretöntä.
Seuraavassa alp(N) on alkulukuparien määrä välillä 3-->N, ja al(N) alkulukujen määrä samalla välillä. Seuraava on pelkkä arvaus
al(N)
(3) alp(N) = ---------
ln(al(N))
Tälle saadaan tarkkuusarvio:
alkuluku- kaavan (3) oikea määrä/
parien ennustama ennustettu
n todel. määrä määrä määrä
------------------------------------------------
12 107 89 1.202
16 860 744 1.155
20 8535 7249 1.177
24 92246 77598 1.189
28 1056281 886791 1.191
4 mrd 11944438 9965297 1.198
Kaava (3) antaa tuloksia jotka ovat sinne päin, mutta suunta näyttää olevan, että se koko ajan pikku hiljaa huononee. (Jos se kerrottaisiin luvulla 1.2, niin saataisiin varsin tarkka ennuste alkulukuparien määrälle 4 miljrd saakka.) Kaavan (3) ennustamaa määrää laskettaessa on käytetty ensimmäisen taulukon saraketta 'alkulukujen todellinen määrä', mutta koska se on hyvin lähellä kaavan (2) antamaa ennustetta, voitaisiin siinä käyttää myös kaavaa (2).
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.