Opettajamme esitti tunnilla tämmöisen tehtävän:
Osoita, että luku 3^(2n 2)-1 on jaollinen kahdeksalla.
Mitenkä tästä pitäisi lähteä eteenpäin?
Osoita, että luku 3^(2n 2)-1 on jaollinen kahdeksalla.
Mitenkä tästä pitäisi lähteä eteenpäin?
Todistus tälle?
lukiosta
111205
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Induktiolla tai sitten katsot taulukkokirjasta kuinka lauseke a^n-b^n jaetaan tekijöihin( Tosin senkin todistamiseksi täytyy luultavasti käyttää induktiota).
Pyydettiin siis osoittamaan,että 3^(2n 2)-1 on
kahdeksalla jaollinen.
On siis oltava näin: 3^(n 1)^2-1=m*8 eli
(3^(n 1) 1)*(3^(n 1)-1)=m*8 ,eli yhtälöpari:
3^(n 1) 1=m
3^(n 1)-1=8 ,tästä saadaan: 3^(n 1)=3^2 , eli
n 1=2 ,eli n=1
Sijoitetaan ylempään tulee: m=10
Koska löytyi luku m=10 ja sitä vastaava n=1 niin
tuo alkuperäinen lauseke on kahdeksalla jaollinen.
Väite täytyy todistaa KAIKILLA n € Z_ . Sä todistat sen vain, kun n=1.
Voisin väittää että lauseke P(n)=3^(2n 2)-1 on jaollinen luvulla 26.
[3^(n 1)-1][3^(n 1) 1]=26m, m € Z_
3^(n 1)-1=26 n=2
ja tällöin sijoittamalla n=2 yhtälöön
3^(n 1)-1=m
3^(2 1)-1=m m=26
Siis 26 | 3^(n 1)-1
Kuitenkin kun n=4, niin p(4)=3^(2*4 2)-1=59048
Kokeilemalla laskimella huomataan, että
p(4) ei ole jaollinen luvulla 26 siispä päättelyssäsi täytyy olla virhe.
Pitäisikö sinun sijoittaa tuo n=2 yhtälöön
3^(n 1) 1=m ?
Nyt sijoitat sen takaisin siihen mistä ratkaisitkin.
Mielestäni tuohon jaollisuuden osoittamiseen riittää kun löytyy yksikin kokonaislukupari,joka toteuttaa sen.
Yleistä todistusta en yrittänytkään esittää.
Et tosiaan todistanut mitään.
"Mielestäni tuohon jaollisuuden osoittamiseen riittää kun löytyy yksikin kokonaislukupari,joka toteuttaa se"
No kun ei riitä. Samalla logiikalla voisi todistaa, että n on parillinen, valitaan vain n=2 ja todistus on valmis.
Tarkkana näiden päätelmien kanssa!
Vaikka näin:
3^(2n 2)-1
= 9^(n 1)-1
= 1 9^1 ... 9^n 9^(n 1) - (1 9^1 ... 9^n) - 1
= 9 (1 9^1 ... 9^n) - (1 9^1 ... 9^n)
= (9-1) (1 9^1 ... 9^n)
= 8 (1 9^1 ... 9^n)
Jos oletetaan tunnetuksi kaava:
a^n - b^n = [a-b]*[a^(n-1) a^(n-2)*b a^(n-3)*b^2 ... a^2*b^(n-3) a*b^(n-2) b^(n-1)],
niin saadaan seuraavaa
3^(2n 2)-1
= 3^(2(n 1))-1^(n 1
=9^(n 1)-1^(n 1)
=[9-1]*[....] = 8*[....],
mikä on kahdeksalla jaollinen.
Aikoinaan tentissä oli samankaltainen tehtävä, jossa likipitäen samantyylinen tehtävä täytyi todistaa induktiolla. Mitenkähän se olisi sujunut?
Todistettava, että 3^(2n 2)-1 on jaollinen kahdeksalla kun n >= 0.
Ensin tapaus n = 0: 3^{2*0 2}-1 = 3^2-1 = 8 joka on selvästi jaollinen kahdeksalla.
Entä n 1: Merkitään P(n) = 3^{2n 2}-1 jolloin P(n 1) = 3^{2(n 1) 2}-1 = 3^{2n 4}-1 = (3^{2n 2})^2 - 1 = ( (3^{2n 2}-1) 1)^2-1 = (3^{2n 2}-1)^2 2*3^{2n 2}-2 1-1 = (P(n))^2 2*3^{2n 2}-2 = P(n)^2 2*P(n) Ja koska P(n) on jaollinen kahdeksalla, niin on tuokin.
Kannattaa tarkastaa, tällä työllä ei ole takuuta... :)
3^(2n 2)-1 = 9^(n 1)-1
Induktio ännän suhteen:
1. Alkuaskel: n=0 => 9^1-1 = 8, OK.
2. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee, kun n=k, eli
9^(k 1)-1 = 8*m
jollain kokonaisuluvulla m (erisuuri kuin 0). Huomataan, että 9^(k 1) = 8*m 1.
3. Induktio askel: Osoitettava, että väite pätee myös, kun n=k 1, eli 9^(k 2)-1 on jaollinen kahdeksalla:
9^(k 2)-1
=9*9^(k 1)-1
=9*(8*m 1) -1 (
Tämä lienee helpoin tapa:
3^(2n 2)-1=
(3^(n 1))^2-1^2=
(3^(n 1)-1)(3^(n 1) 1)
Tässä on kerrottuna kaksi parillista lukua, joiden erotus on 2. Joka toinen parillinen luku on neljällä jaollinen.
=> tulo on 8:lla jaollinen.