Ensinnäkin, mikä oikein on polaarinen käyrä?
Toiseksi, miten todistan, että tietty polaarinen käyrä on (x,y) keskinen ja r-säteinen?
Toiseksi, miten todistan, että tietty polaarinen käyrä on (x,y) keskinen ja r-säteinen?
Polaarinen käyrä?
PolaricBear
3634
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Tarkoitan siis, että miten todistan, että tietty polaarinen käyrä on (x,y) keskinen ja r-säteinen YMPYRÄ?
Jos halutaan (x0,y0)-keskinen R-säteinen ympyrä niin KARTEESISESSA kordinaatistossa sen yhätlö on
(x-x0)^2 (y-y0)^2=R^2
Sinulla on polaarisessa muodossa oleva käyrän yhtälö eli muotoa f(r,t)=0, missä r on pituus ja t on kulma.
Sijoita r=SQRT(x^2 y^2) ja t=arctan(y/x) r ja t paikalle ja pyri sieventämään lauseke, jos saat sen muotoa kuten yllä olet valmis. Tämä on yleinen tapa. Asiaa helpottaa tietysti jos f on sopivanlainen.
Lähdetään liikkeelle polaarisen käyrän määritelmästä.
Polaarikäyrät ovat tasokäyriä R^2:ssa jotka on ilmaistu napakoordinaattien (r,θ) avulla. Tässä r on säde (= vakio) ja θ = vaihekulma joka muuttuu. Esimerkkeinä polaarisista käyristä mainittakoon nyt lemniskaatta (r^2 = cos(2θ)) ja kardioidi (r = 1 cos(θ)).
Ja vihjeeksi tuohon ympyräkysymykseen: myös ympyrä voidaan ilmaista polaarikäyränä. Tällöin sen esitykseksi tulee:
x = a c cos(θ)
y = b c sin(θ)
missä c > 0, ja θ kuuluu välille [0, 2∏). Kun nämä ehdot liitetään ympyrän karteesiseen esitykseen
(x - a)^2 (y - b)^2 = r^2
saamme c = r.
siis lopullinen esitys on:
x = a r cos(θ)
y = b r sin(θ)
Tässä a ja b ovat vakioita - jotka tottakai voidaan valita mielivaltaisesti, vaikkapa nollaksi jolloin niistä päästään kokonaan eroon.