Selittäisikö joku, miten voidaan laskea:
Paraabelin y = 6x-x^2 ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Mikä on muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus?
Osaan kyllä integroida x- ja y-akselien suhteen, mikäli pyörähdysakseli on ns. paraabelin (tms.) symmetria-akseli. Tiedän, millainen pyörähdyskappale ongelmassani muodostuu, mutten osaa integroida, että saisi tilavuuden...
Iso kiitos jollekin viisaalle laskijalle!
Paraabelin y = 6x-x^2 ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Mikä on muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus?
Osaan kyllä integroida x- ja y-akselien suhteen, mikäli pyörähdysakseli on ns. paraabelin (tms.) symmetria-akseli. Tiedän, millainen pyörähdyskappale ongelmassani muodostuu, mutten osaa integroida, että saisi tilavuuden...
Iso kiitos jollekin viisaalle laskijalle!
Vastaukset 5
Vanhimmat
Eikö kukaan tosiaan osaa auttaa?
Leikkaa kappaletta x-akselin suuntaisilla suorilla, jolloin leikkauspinnaksi tulee annulus (mikä lie suomeksi). Laske sen pinta-ala ja integroi nämä yhteen (0:sta 9:ään).
Elä hermostu, jos tuo ei ihan heti sujunut! Katsotaan ihan rauhassa.
Jos piirrät paraabelin (väliltä x=0, x=6), ja kuvittelet tämän pyörähtävän y-akselin ympäri, hoksaat kyllä että symmetria-akseli on juurikin y-akseli.
Tämänkaltaisissa tehtävissä sinun on helpointa ajatella, että tilavuus saadaan aina esittämällä (kolmiulotteisen) kuvion poikkipinta-ala y:n funktiona ja integroimalla y-akselin suhteen.
Kuvittele, että parabelisi pyörähtää y-akselin ympäri. Syntyvä kuvio muistuttaa tiikerikakkua, eikö vain? Jos leikkaat siitä siivuja, huomaat siivujen näyttävän kahdelta samankeskeiseltä ympyrältä (keskipiste y-akseli). Tarvitset "renkaiden" väliin jäävän alueen pinta-alan y:n funktiona. Se on tietenkin ulomman renkaan pinta-ala miinus sisemmän renkaan pinta-ala. Tämän lausekkeen sitten integroit y-akselin suhteen.
Tarvitset siis paraabelin sisä- ja ulkoreunojen pyörähdysjälkien pinta-alat y-koordinaatin funktiona. Ensin sinun on esitettävä paraabelin reunojen x-koordinaatit y:n funktiona paraabelin yhtälöstä y=6x-x^2. Ensin kirjoitat x^2-6x y=0 ja siitä 2. asteen yhtälön kaavalla kaksi ratkaisua x1=3 ... ja x2=3-...
Seuraavaksi kirjoitat funktion pinta-alalle A(y) = pi*x1^2-pi*x2^2, johon sijoitat x1 ja x2 toisen asteen yhtälöstä. Lopuksi integroit A:n lausekkeen y:n suhteen välillä y=[0,9].
Jos jäät jumiin, kirjoita uudestaan ja katsotaan yhdessä.
Muitakin tapoja tehtävän ratkaisuun on, mutta tämä vaikutti äkkiseltään helpoiten muihin tehtäviin sovellettavalta.
Esittämälläsi tavalla luulen ymmärtäneeni, mitä tehtävässä haettiin. Loppujen lopuksi integroiminen oli yksinkertaista, kun tajusin ohjeidesi mukaan määrittää funktiona tuon renkaiden välisen alan. Vastauksena sain 216pi, mikä ainakin vastausluettelon mukaan on oikein.
Alun perin lähdin ajattelemaan aivan liian monimutkaisesti.
Onnistuipa hyvinkin. 216*pi tai likimäärin 678.58 on oikea vastaus.