Palasin muistoissani lukion pitkän matematiikan analyysin kurssille ja aloin ratkaista fysiikan sovelluksissa putoamisliikkeen nopeutta, niin että ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön. Differentiaaliyhtälö tuli kuitenkin muotoon jonkalaista ei kurssilla ole opetettu ja kysynkin miten se ratkaistaan?
Eli tutkimme putoavan kappaleen nopeutta ajan funktiona. Olkoon kappalen massa m ja ilmanvastuksen verrannollisuuskerroin on r^2. Kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on
F=mg-r^2*v. Dynamiikan peruslain mukaan mdv/dt=F, joten saamme differentiaaliyhtälön:
mdv/dt=mg-rv^2 eli v' rv^2/m=g
Tätä en osaa ratkaista, sillä se ei ole homogeeninen eli termit eivät ole samaa astetta ja vain niitä ratkaistiin tässä analyysin kirjassa. Miten siis tulee menetellä termin v^2 kanssa?
Eli tutkimme putoavan kappaleen nopeutta ajan funktiona. Olkoon kappalen massa m ja ilmanvastuksen verrannollisuuskerroin on r^2. Kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on
F=mg-r^2*v. Dynamiikan peruslain mukaan mdv/dt=F, joten saamme differentiaaliyhtälön:
mdv/dt=mg-rv^2 eli v' rv^2/m=g
Tätä en osaa ratkaista, sillä se ei ole homogeeninen eli termit eivät ole samaa astetta ja vain niitä ratkaistiin tässä analyysin kirjassa. Miten siis tulee menetellä termin v^2 kanssa?
Vastaukset 12
Vanhimmat
Tuo yhtälösi on luvalla sanoen sekava, koska sillä on joka kohdassa eri muoto. Mutta oletan, että haluat tarkastella putoamisliikettä neliöllisen ilmanvastuslain vallitessa. Tällöin yhtälö saa merkinnöilläsi muodon
m*v'= m*g - r*v^2.
Tämä ratkeaa helposti, kun se ensin laitetaan muotoon
m*dv/(m*g - r*v^2) = dt,
integroidaan puolittain v:n ja t:n suhteen. Tulokseksi saadaan
m/(m*g*r)^(1/2)*arctanh(r*v/(m*g*r)^(1/2)) = t C,
missä C on mielivaltainen alkuehdoista määräytyvä integroimisvakio.
Jos C määritetään ehdosta v(0)=0, niin ratkaisuksi saadaan
v = tanh((m*g*r)^(1/2)*t/m)*(m*g*r)^(1/2)/r.
Viimeisimmälle lausekkeelle voidaan vielä raja-arvotarkastelulla määrittää ns. putoamisen rajanopeus, jota nopeus pitkän putoamisen aikana lähestyy. Rajanopeudeksi saadaan
vr = (m*g/r)^(1/2).
Mapleen syötetään tuo yhtälö:
dy:=m*diff(v(t),t)-m*g r*(v(t))^2;
Ja sitten käsketään ratkaisemaan v(t)alkuehdolla v(0)=0:
dsolve({dy,v(0)=0},v(t));
Ja ruutuun tulostuu:
v(t) = tanh(t*sqrt(mgr)/m)/r
siis tulostuu:
tanh[t*sqrt(mgr)/m]*sqrt(mgr)/r
Tuossa näyttää pikkukakkonen vaeltavan r:n ja v:n välillä melko omituisesti.
Aluksi vinkki tässä kiireen keskellä. Tässä siis homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun vinkki
y' 2xy^2 = 0 -> y^(-2) dy = -2x dx -> -(1/y) = -x^2 C -> C = 1
-> y = 1/(x^2 1)
Sitten käytä yritettä, jossa on vakiofunktio. Varmaan siellä analyysin kirjassasi se on tai löytyy myös netistä hakemalla differentiaaliyhtälöt.
Mietin sitä itsekin ja jos osaan tai kerkiän niin vastaan.
Tämähän on villi juttu, kun jokainen näyttää ratkovan omaa yhtälöään. Tietysti näin päästään asiasta helpommin yksimielisyyteen. Tosin varsinainen tehtävä taitaa sitten jäädä ratkaisematta.
nyt tämän kanssa. Mutta tässä se tulee. On nimittäin osattu ratkaista se.
mdv/dt=mg-rv^2=>
dv/((sqr(r/mg)*v)^2 -1)=g*dt
=> v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1 e^-2sgr(rg/m)*t)
Toivottavasti osaatte tulkita tämän merkinnät. Tämän rajanopeus on v=sqr((mg)/r) ja kun r->0, v lähestyy gt:ä, joka on vapaan putoamisen nopeus.
Kopionnissa tuli yksi merkkivirhe.
v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1 e^-2sgr(rg/m)*t) pitäisi olla
v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1-e^-2sgr(rg/m)*t)
Ja niille jotka laskevat tuon integraalin, vinkiksi että tuon integroiminen ei onnistu suoraan vaan on käytettävä sijoitusmenetelmää yhtälön vasempaan puoleen. Käytä sijoitusta u=sqr(r/mg)*t ja muistettava muuttujan vaihto du=sqr(r/mg)*dt. Siitä vaan kokeilemaan kaikki pääsykokeisiin menijät.
Siis nyt en ollenkaan ymmärrä, miksi muuttujia pitää mennä vaihtelemaan, kun kyseessä on pelkästään integroitava vakio kertaa muuttuja. Tunnetustihan esimerkiksi int(e^(k*x) dx) = e^(k*x)/k.
Sinähän olet huumorimiehiä. "Näytä tavara, äläkä kehu sitä", sano siskotyttö. Huomaat kai että integraali on muotoa dx/(x^2 -1). Esitä tämän integraali, niin uskon. Se ei integroidu suljetussa muodossa.
>>>Tunnetustihan esimerkiksi int(e^(k*x) dx) = e^(k*x)/k.>>>> Miten tämä liittyy tähän integraaliin????
Nyt ymmärrän ihmettelysi.
dv/((sqr(r/mg)*v)^2 -1)=g*dt. Tämän diffyhtälön integraaliratkaisu on siis tuo v, joka on nopeuden ajasta riippuva funktio.
=> v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1 e^-2sgr(rg/m)*t)
=> v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1 e^-2sgr(rg/m)*t) Se sama virhe taas koipioitaessa alkuperäisestä ratkaisustani.
Kohta loppuu muste kynästä. Mutta jotta koska kun kuin.... niin vielä korjaus
=> v=sqr(mg/r)*(1 e^-2sgr(rg/m)*t)/ (1-e^-2sgr(rg/m)*t)
Pitää lähtee pikasiman tekkoon!