Tässä pari lukiomatematiikan tehtävää, joita en onnistu ratkaisemaan (ei ole mitään kotitehtäviä..)
1. Suorakulmion kaksi kärkeä on suoralla y=3 ja toiset kaksi kärkeä käyrällä y = e^(x^2). Määritä suorakulmion lävistäjän pituuden pienin arvo.
Vastaus: sqrt(4*ln(2) 1) (=1.94)
2. x-akselin suuntainen suora L leikkaa käyrän y = (e^(2*x))/(2*e^x-2), pisteissä A ja B. Määritä suoran L etäisyys x-akselista, kun janan pituus on ln3.
Vastaus: 2 2/3
3. Määritellään tasossa napakoordinaatit (r,d) kaavoilla x=r*cos(d), y=sin(d). Olkoon annettuna jana a[0] ja kulma alpha, 0
1. Suorakulmion kaksi kärkeä on suoralla y=3 ja toiset kaksi kärkeä käyrällä y = e^(x^2). Määritä suorakulmion lävistäjän pituuden pienin arvo.
Vastaus: sqrt(4*ln(2) 1) (=1.94)
2. x-akselin suuntainen suora L leikkaa käyrän y = (e^(2*x))/(2*e^x-2), pisteissä A ja B. Määritä suoran L etäisyys x-akselista, kun janan pituus on ln3.
Vastaus: 2 2/3
3. Määritellään tasossa napakoordinaatit (r,d) kaavoilla x=r*cos(d), y=sin(d). Olkoon annettuna jana a[0] ja kulma alpha, 0
Vastaukset 5
Vanhimmat
Muodostat suorakulmion pituutta kuvaavan funktion d(x)=sqrt(4x^2 (e^(x^2)-3)^2), missä x on kohta, jossa suorakulmion kärki on suoralla y=3. Vastaavasti toinen kärki kohdassa -x (Onhan f(x)=e^(x^2) parillinen funktio, ja siten symmetrinen y-akselin suhteen.)
Seuraavaksi määrität d(x):n derivaatta funktion d'(x), ja tutkit sen nollakohtia, jotta voit myöhemmin määrittää pienimmän arvon.
Nollakohtien tutkiminen johtaa seuraavaan tilanteeseen.
d'(x)=0 => x=0 v e^(2x^2)-3e^(x^2) 2=0.
Ongelmana on määrittää jälkimmäisen yhtälön nollakohdat, ja aluksi arvelinkin että tehtävässä tulisi käyttää numeerisia menetelmiä.
Voidaan kuitenkin tehdä sijoitus t=e^(x^2), mistä seuraa yhtälö
t^2-3t 2=0 => t=1 v t=2
Siis
t=e^(x^2)=1 => x=0 tai
t=e^(x^2)=2 => x=sqrt(ln 2) tai x=-sqrt(ln 2)
Nollakohtien löytymisen jälkeen voidaan vedota funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen ja tietenkin jatkuvan funktion ääriarvolauseeseen, jonka jälkeen suoritetaan merkkikaaviotarkastelu jne...
Kiitoksia. Oli minulla näköjään tuohon tehtävään ihan oikea idea, mutta olin sieventänyt väärin ja tarkastellut väärää funktiota...
Olisiko noihin muihin apuja tarjolla...?
Olkoon suoran L etäisyys x-akselista a.
Siis tutkitaan käyrän y=(e^2x)/(2e^x-2) ja suoran y=a leikkauspisteitä. Olkoon x_0, x_1 leikkauspisteitä. Tällöin |x_0-x_1|=ln 3.
y=(e^2x)/(2e^x-2)=a e^2x-2ae^x 2a=0, josta sijoituksella t=e^x saadaan yhtälö
t^2-2at 2a=0 t_0=1 sqrt(a^2-2a) tai
t_1=1-sqrt(a^2-2a)
t_0=1 sqrt(a^2-2a)=e^x x_0=ln(1 sqrt(a^2-2a))
t_1=1-sqrt(a^2-2a)=e^x x_1=ln(1 sqrt(a^2-2a))
Selkeästi x_0>x_1
|x_0-x_1|=x_0-x_1=ln(1 sqrt(a^2-2a))-ln(1 sqrt(a^2-2a))
=ln((1 c)/(1-c))=ln 3, missä c=sqrt(a^2-2a)
Edelleen vertailemalla logaritmoitavia
(1 c)/(1-c)=3 c=1/2=sqrt(a^2-2a)
a=1/2(2 sqrt(5)) tai a=1/2(2-sqrt(5)).
Tietenkin on otettava vielä huomioon määrittelyehdot a^2-2a>=0 ja 1-sqrt(a^2-2a)>0, joiden avulla valitaan lopullinen vastaus.
Ilmeisesti olen laskenut jotain pieleen kun en saa a=2 2/3, joten yrittäkää joku korjata tämä lasku.
t=a sqrt(a^2-2a) tai t= a-sqrt(a^2-2a)
loppu menee helposti niin kuin teit ,tai oikeastaan helpommin.
Tuosta kun piirtää kuvan ja sitä pähkäilee ,niin
toteaa ,että tuon murtoviivan jäsenten pituudet
muodostavat geometrisen sarjan ,jonka ensimmäinen
termi on r*sin(alpha) ja suhdeluku on cos(alpha)
Sarjan summa on (netistä löytyy)
r*sin(alpha)*(1-cos^n(alpha))/(1-cos(alpha))
tuossa kun n kasvaa niin summa on
r*sin(alpha)/(1-cos(alpha))
Tuo on kovasti erinäköinen kuin vastauksesi,mutta käsittääkseni yhtä suuri.