Olkoon X= toorus, josta yksi meridionaalinen ympyrä on kutistettu pisteeksi, (eli 'nipistetty toorus').
Onko H_1(X) = Z vai 0 ?
Järki sanoo, että se olisi Z, mutta Mayer-Vietoris-homomorfismi-jono antaa mun laskujen mukaan 0.
Eli kun leikkaamme X:n kahdeksi kartioksi, jono on tuosta kohtaa 0-> H_1(X)-> Z^2 -> Z^2 -> ..., joten H_1(X) -> Z^2 on injektiivinen, ja niinpä H_1(X) = ker(Z^2 -> Z^2).
Mutta käsittääkseni Z^2->Z^2 on seuraavanlainen: (a,b) |--> (a b,a-b) , mikä olisi injektiivinen? (a generoi pistettä, ja b generoi ympyrää valittuun suuntaan kartioiden intersektiossa.)
Onko H_1(X) = Z vai 0 ?
Järki sanoo, että se olisi Z, mutta Mayer-Vietoris-homomorfismi-jono antaa mun laskujen mukaan 0.
Eli kun leikkaamme X:n kahdeksi kartioksi, jono on tuosta kohtaa 0-> H_1(X)-> Z^2 -> Z^2 -> ..., joten H_1(X) -> Z^2 on injektiivinen, ja niinpä H_1(X) = ker(Z^2 -> Z^2).
Mutta käsittääkseni Z^2->Z^2 on seuraavanlainen: (a,b) |--> (a b,a-b) , mikä olisi injektiivinen? (a generoi pistettä, ja b generoi ympyrää valittuun suuntaan kartioiden intersektiossa.)
Vastaukset 3
Vanhimmat
Helpompaa on käyttää Mayer-Vietoris-jonoa 'reduced' homologiaryhmille, jolloin saamme
0 -> H_1(X) -> Z -> 0
Tällöin on heti selvää, että H_1(X)=Z. :)
Ongelman voi ratkaista myös Van Kampenin lauseella ja CW-hajotelmalla.
Onko H_1(X) = Z vai 0 ?
Z.
Helpoin tapa nähdä, että se ei voi olla 0 on havaita (S on ympyränkehä), että on olemassa kuvaukset S -> X ja X -> S niin, että yhdistetty kuvaus S -> X -> S on ympyränkehän identtinen kuvaus, joten myös homologiaan indusoitu kuvaus H_1(S) -> H_1(X) -> H_1(S) on isomorfismi. Siis H_1(X) ei voi olla nolla.
Mutta käsittääkseni Z^2->Z^2 on seuraavanlainen: (a,b) |--> (a b,a-b) , mikä olisi injektiivinen?
Ei, vaan kuvaus on joko (a,b) |--> (a b,a b) tai (a,b) |--> (a b, -a-b) riippuen sinun mayer-vietorisjonosi määritelmän yksityiskohdista. (mayer-vietorisjonoa määriteltäessä miinuksen voi laittaa kahteen eri paikkaan.)
Sinun ehdotelmasi kuvaukseksi Z^2 -> Z^2 olisi surjektiivinen, mikä ei voi pitää paikkaansa, koska tällöin kuvaus H_0(K_1) H_0(K_2) -> H_0(X) olisi nollakuvaus, mitä se ei koskaan ole. (K_1 ja K_2 ovat ne kartiot)