Olkoon X= toorus, josta yksi meridionaalinen ympyrä on kutistettu pisteeksi, (eli 'nipistetty toorus').
Onko H_1(X) = Z vai 0 ?
Järki sanoo, että se olisi Z, mutta Mayer-Vietoris-homomorfismi-jono antaa mun laskujen mukaan 0.
Eli kun leikkaamme X:n kahdeksi kartioksi, jono on tuosta kohtaa 0-> H_1(X)-> Z^2 -> Z^2 -> ..., joten H_1(X) -> Z^2 on injektiivinen, ja niinpä H_1(X) = ker(Z^2 -> Z^2).
Mutta käsittääkseni Z^2->Z^2 on seuraavanlainen: (a,b) |--> (a b,a-b) , mikä olisi injektiivinen? (a generoi pistettä, ja b generoi ympyrää valittuun suuntaan kartioiden intersektiossa.)
Homologiaryhmä
nkorppi
3
400
Vastaukset
- nkorppi
Helpompaa on käyttää Mayer-Vietoris-jonoa 'reduced' homologiaryhmille, jolloin saamme
0 -> H_1(X) -> Z -> 0
Tällöin on heti selvää, että H_1(X)=Z. :)- mahtimatemaatikko
Ongelman voi ratkaista myös Van Kampenin lauseella ja CW-hajotelmalla.
- punnort
Onko H_1(X) = Z vai 0 ?
Z.
Helpoin tapa nähdä, että se ei voi olla 0 on havaita (S on ympyränkehä), että on olemassa kuvaukset S -> X ja X -> S niin, että yhdistetty kuvaus S -> X -> S on ympyränkehän identtinen kuvaus, joten myös homologiaan indusoitu kuvaus H_1(S) -> H_1(X) -> H_1(S) on isomorfismi. Siis H_1(X) ei voi olla nolla.
Mutta käsittääkseni Z^2->Z^2 on seuraavanlainen: (a,b) |--> (a b,a-b) , mikä olisi injektiivinen?
Ei, vaan kuvaus on joko (a,b) |--> (a b,a b) tai (a,b) |--> (a b, -a-b) riippuen sinun mayer-vietorisjonosi määritelmän yksityiskohdista. (mayer-vietorisjonoa määriteltäessä miinuksen voi laittaa kahteen eri paikkaan.)
Sinun ehdotelmasi kuvaukseksi Z^2 -> Z^2 olisi surjektiivinen, mikä ei voi pitää paikkaansa, koska tällöin kuvaus H_0(K_1) H_0(K_2) -> H_0(X) olisi nollakuvaus, mitä se ei koskaan ole. (K_1 ja K_2 ovat ne kartiot)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nyt tajusin mitä haet takaa
En epäile etteikö meillä olisi kivaa missä vaan. Se on iso hyppy henkisellä tasolla sinne syvempään päätyyn, kuten tiedä403067- 802831
- 1862444
Kukapa se Ämmän Kievarissa yöllä riehui?
En ole utelias, mutta haluaisin tietää, kuka riehui Ämmän Kievarissa viime yönä?362165- 191483
Naiselle mieheltä
Huomasin tuossa, että jääkaapissani on eräs sinun ostamasi tuote edelleen avaamattomana. Arvaatko mikä?231403Salilla oli toissapäivänä söpö tumma
Nuori nainen, joka katseli mua. Hymyili kun nähtiin kaupan ovella sen jälkeen411396- 101274
- 131269
- 221241