Tehtävänä on osoittaa, että jos G on äärellinen ryhmä ja N sen normaali aliryhmä, niin jos N ja G/N ovat ratkeavia, niin G on.
Mallivastaus alkaa: Olkoon p:G->G/N kanoninen surjektio, eli p(x)=xN, ja P G:n aliryhmä. Tällöin p^(-1)(P) on G:n aliryhmä ja homomorfialauseesta saadaan ett p^(-1)(P)/N on isomorfinen P:n kanssa.
Siis, mitä tuossa tapahtuu? Jos P on G:n aliryhmä, niin mitä voi olla p^(-1)(P)? (p^(-1) on siis p:n käänteiskuvaus). Tipahdin kärryiltä tässä ihan täysin.
Todistuksen alussa on tarkoitus osoittaa, että G/N:n aliryhmiä voidaan merkitä G_i/N, missä G_i on G:n aliryhmä.
Mallivastaus alkaa: Olkoon p:G->G/N kanoninen surjektio, eli p(x)=xN, ja P G:n aliryhmä. Tällöin p^(-1)(P) on G:n aliryhmä ja homomorfialauseesta saadaan ett p^(-1)(P)/N on isomorfinen P:n kanssa.
Siis, mitä tuossa tapahtuu? Jos P on G:n aliryhmä, niin mitä voi olla p^(-1)(P)? (p^(-1) on siis p:n käänteiskuvaus). Tipahdin kärryiltä tässä ihan täysin.
Todistuksen alussa on tarkoitus osoittaa, että G/N:n aliryhmiä voidaan merkitä G_i/N, missä G_i on G:n aliryhmä.
Vastaukset 9
Vanhimmat
"Jos P on G:n aliryhmä, niin mitä voi olla p^(-1)(P)? "
Ei tuo ole sen kummempaa kuin alkukuva. Onko käsite tuttu? Alkukuva määritellään siten, että p^(-1)(P)={x\in G:p(x)\in P}
No nyt tulee jo oikeasti tyhmä olo.
Jos meillä on kuvaus f:A -> B ja A:n osajoukko A_i, sekä f:n käänteiskuvaus f^(-1), niin mitä on f^(-1)(A_i)? Käsittääkseni f:n käänteiskuvaus on joukolta B joukolle A ja A_i on A:n osajoukko eikä B:n.
"p^(-1)(P)={x\in G:p(x)\in P}"
Mutta miten voi olla p(x) in P jos P on lähtö- eikä kuvajoukon osajoukko?
Joo, ei mitään sittenkään, tajusin :) Ajattelinkin, että joku tässä nyt klikkaa ja jostain syystä ajattelin tuon tosiaan hassusti - edellisestä algebran kurssista on hetkonen vierähtänyt ja se näkyy.
Pitäisiköhän tuossa P:n olla G/N:n aliryhmä. Tällöinhän P:n alkukuva olisi G:n aliryhmä.
Tuossa tuo p^{-1} (P) ei tarkoita käänteisfunktiota (yleisessä tapauksessa p ei ole bijektio!), vaan tosissaan tuota P:n alkukuvaa. Alkukuva on siis niiden kaikkien lähtöjoukon alkioiden joukko, jonka kuvat sisältyvät annettuun joukkoon (tässä tapauksessa siis P:hen).
Olettaen nyt, että P on G/N aliryhmä, niin p^{-1}(P) on joukko {x on G:ssä | p(x) = xN on P:ssä}. Käänteiskuvausta (jota ei yleensä siis ole) ei oteta peliin mukaan missään vaiheessa! p^{-1}(P) on aliryhmä, koska homomorfismin alkukuva on aliryhmä (todistuu lähes triviaalisti esimerkiksi aliryhmäkriteerin avulla).
Riippuu tietenkin pohjatiedoista, mutta tässä on yksi helppo tapa todistaa tuo pyydetty tulos. Se pohjautuu siihen, että (G/N)^n = (G^n N)/N.
Siis jos G/N on ratkeava, niin on olemassa sellainen k, että (G/N)^k = (G^k N) / N = N eli G^k sisältyy N:ään. Ja koska N on ratkeava, niin on olemassa sellainen m, että N^m = 1 eli G^{k m} = 1 eli G on ratkeava.
"Tuossa tuo p^{-1} (P) ei tarkoita käänteisfunktiota (yleisessä tapauksessa p ei ole bijektio!), vaan tosissaan tuota P:n alkukuvaa."
Juu, näin ajattelinkin, mutta jos puhutaan alkukuvasta, niin miten voidaan "kuvaukseen" p^{-1} käyttää homomorfialausetta? Siis silloinhan p^{-1} pitäisi olla homomorfismi.
Tämä menee nyt yli kahtasataa.Ymmärrän, että puhe on alkukuvasta, mutta en voi käsittää miten tässä voidaan käyttää homomorfialausetta.
Voi elämä, taidan ottaa pakkia ja käydä vielä kerran edellisen kurssin matskut läpi. Tuo mainitsemasi tulos (G/N)^n = (G^n N)/N ei ole tuttu ja siten sallittujen listalla.
Sitä homomorfismien peruslausetta käytetään kuvaukseen f, joka on kuvauksen p rajoittuma joukkoon p^{-1}(P). Selvästi tällöin myös f on homomorfismi, sen ydin on edelleen N ja kuva on tietenkin P. Siis f^{-1}(P)/N on isomorfinen P:n kanssa homomorfismilauseen nojalla.
Nojuu, jos nyt kirjoittelisin tuon kertaalleen läpi oletuksella, että P on G/N:n osajoukko, niin eiköhän se sitten lähde aukeamaan.
Kiitos taas vastauksista! Tulen varmaankin taas kohta kyselemään :)
Mitä materiaalia oikein käyt lävitse. Onko jotain netissä olevaa prujua vai jotain tiettyä kirjaa?
(Ihan uteliaisuudesta)
Tuolta löysin prujut, jotka vaikuttavat olevan ok., mutta mielestäni hieman vähän selittävät.
http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/info/algebra_ii07k.html