Siis aloitin nyt logiikan opiskelun aivan alkutasolta ja nyt yksi juttu tuossa implikaatiossa ei mene millään jakeluun.
Nimittäin se, että jos p on epätosi ja q on tosi, niin miksi p=>q on tosi. Siis toisin sanoen miten epätodesta voi seurata tosi, ja mitä se ylipäätään tarkoittaa.
Miten hitossa tätä ymmärtäisi?
Nimittäin se, että jos p on epätosi ja q on tosi, niin miksi p=>q on tosi. Siis toisin sanoen miten epätodesta voi seurata tosi, ja mitä se ylipäätään tarkoittaa.
Miten hitossa tätä ymmärtäisi?
Vastaukset 19
Vanhimmat
Epätodesta tosiaan seuraa tosi. Tämä johtuu siitä, että jos jokin väite ei ole totta, niin tätä voidaan käyttää uuden väitteen todistamiseen. Tästä taas seuraa pähkähullu väite ja niin edelleen. Esimerkki. Oletetaan, että 1=0. Tällöin jokaisella reaaliluvulla x pätee x=1x=0x=0. Väärästä väitteestä seurasi loogisilla askelilla, että kaikki reaaliluvut ovat nollia. Päättelyssä ei ole virhettä, kun oletetaan, että lukija osaa itse todistaa, että 0x=0 kaikilla x. Siten epätodesta voi seurata mitä tahansa.
"Esimerkki. Oletetaan, että 1=0. Tällöin jokaisella reaaliluvulla x pätee x=1x=0x=0. Väärästä väitteestä seurasi loogisilla askelilla, että kaikki reaaliluvut ovat nollia."
Mutta eikös tuo juuri tarkoita, että epätodesta seuraa epätosi. Siis ymmärrän kyllä epäsuoran todistuksen periaatteen, että kun todistetaan vastaoletus epätodeksi, voidaan todistaa jokin väite todeksi. Mutta miksi sanotaan, että epätodesta seuraa tosi.
"Siten epätodesta voi seurata mitä tahansa." ai siis niinkuin totta tai epätotta...
Sori, en vaan tajua vieläkään... ;)
A. 1 = 0 (tämä on tietenkin epätosi)
B. 0 = 1 (seuraa A:sta)
C. 1 0 = 0 1 (lasketaan A ja B puolittain yhteen)
D. 1 = 1 (mikä on totta)
Noin. Lähdimme epätodesta ja päädyimme toteen käyttämällä pelkästään luvallisia menetelmiä. Epätodesta voi seurata mitä vaan, myös totta.
Jos siitä voi seurata mitä vaan, niin miksi sitten niihin taulukoihin aina laitetaan, että siitä seuraa tosi?
Ok, nyt luulen ymmärtäväni, mikä tuossa sinua ihmetyttää.
Tuolla totuusarvolla ei tarkoiteta sitä, että epätodesta seuraa tosi, vaan sitä, että on totta, että epätodesta voi seurata tosi.
Seuraavissa T = tosi, E = epätosi.
T -> T tämä on tosi, koska todesta seuraa aina tosi. Ei ole mahdollista saada epätotta seurausta todesta lähtökohdasta logiikan sääntöjä noudattamalla.
T -> E tämä on epätosi, koska oikeaa logiikkaa käyttämällä ei voi päätyä epätoteen tulokseen todesta lähtökohdasta.
E -> E ja E -> T nämä ovat molemmat tosia, koska epätodesta voi seurata mitä vaan.
Tuon lausekkeen A -> B totuusarvon voi siis ajatella kuvaavan sitä, onko A -> B suoritettu loogisesti oikein. Tapausta T -> E ei voi loogisesti oikeita menetelmiä käyttämällä saada aikaiseksi, joten se on epätosi ja muut vaihtoehdot tosia.
Toivottavasti tämä selvensi.
Kiitos, kun jaksoit selittää juurta jaksaen.
Epätodesta ei koskaan seuraa totta.
Yksinkertainen esim:
A. 1 = 0 (tämä on tietenkin epätosi)
B. 0 = 1 (seuraa A:sta)
C. 1 0 = 0 1 (lasketaan A ja B puolittain yhteen)
D. 1 = 1 (mikä on totta, koska se ei seuraa todesta, vaan matematiikan määrittelyistä.)
1=1 ei ole määritelty epätodella, vaan matematiikalla.
1=1 on tosi ilman epätottakin; mitään epätotuutta ei tarvita olevaksi jotta 1=1. Mikään epätosi ei voi olla olemassa. Olemassaolossa on vain faktoja, eikä faktoja voida kumota.
Jos epätodesta seuraisi totta, niin silloin epätosi pitäisi olla faktuaalista, eli meillä pitäisi olla maailma, missä 1=0.
Ilmiselvästi huomaa, että filosofit eivät pysty reaaliseen ajattelun.
Myös reaalimaailmasta voi esittää epätosia väitteitä, joista _loogisesti_ seuraa jotain totta.
Tosi ei seuraa epätodesta, koska tosi on jo mielessä ennen kuin on esitetty mitään kuviteltua epätotta, josta se muka seuraisi.
Esim Sinä et taatusti tarvitse epätotta tietääksesi, että 1=1, joten koska 1=1 ei seuraa mistään epätodesta, niin poikkeus kumoaa sen säännön, jonka luulet olevan voimassa.
Jos nimittäin ihminen ei tiedä, että 1=1 on tosi, niin hän ei taatusti pysty saamaan sitä selville seuraamalla epätosia.
Ihmisen on jopa tiedettävä, että epätodeksi väitetty on todella epätotta, eikä epätoden epätotuusarvoa voi vetää mistään epätodesta, vaan ihminen vain tietää itsestään miten asiat ovat.
Jos nimittäin todella olisit sitä mieltä, että 1=1 seuraa epätodesta, niin mistä kummasta olet saanut selville, että 1=1 on tosi?
Mistä 1=1 totuus arvo on peräisin? Jos todella väität, että 1=1 totuusarvo tulee epätodesta, niin voidaan vain ihmetellä, että missä kohtaan epätosi muuntuu todeksi? mikä sen muutoksen saa aikaan? Tapahtuuko se juuri sinä silmänräpäyksessä, kun kirjoitat lausekkeen 1=1 toisen ykkösen, vai aavistatko jo kyseisen lausekkeen ekaa ykköstä kirjoittaessa, että nyt kirjoitat toden lausekkeen, joka seuraa epätodesta?
Mistä siis lauseen totuusarvo on peräisin?
Kannattaisiko olla rehellinen, ja tunnustaa, että totuusarvo seuraa ihmismielestä, eikä mistään lausekkeesta?
Totuus: Mikään lause ei todista mitään mistään muusta kuin itsestään. Edellä olevaa lausetta ei voi todistaa millään toisella lauseella. Edellä oleva lause on tota itsessään. Tämä lause ei todista mitään.
Taidamme puhua eri asioista.
En minä ole missään vaiheessa väittänyt, että 1=1 on totta koska se voi seurata jostain epätodesta. Epätodestahan voisi vallan mainiosti seurata myös jotain epätotta.
Tässä ketjussa oli kyse siitä, että epätodesta väittämästä (siis sellaisesta, jonka tiedämme epätodeksi, kuten tuo 1=0) voi seurata (tai olla seuraamatta) oikeaa logiikkaa käyttämällä johtopäätös, joka on totta (jonka siis tiedämme todeksi, kuten tuo 1=1).
Kyse ei siis ole ollenkaan siitä, millä perusteella tiedämme tai emme tiedä, että 1=0 on epätotta ja 1=1 on totta, vaan siitä, minkä totuusarvon omaavia lauseita voi loogisesti oikein johtaa minkäkin totuusarvon omaavista lauseista.
Todesta lauseesta, esim. tuo mainittu 1=1 ei voi loogisesti oikein johtaa epätotta, kuten 1=0. Kaikki muu on mahdollista.
Mistä ihmeestä tiedät, että 1=0 on epätosi? Mistä se totuus on seurausta? Eikö olekin niin, että koulussa ei opetettu Sullekaan epätotuuksia, vaan matemaattisia totuuksia, joten joku voi rustata epätotuuslausekkeita vain siksi, että hän tuntee totuuden.
Jos ihminen ei tunne totuutta, niin silloin hänen on täysin mahdotonta väittää, että 1=0 on epätosi.
Kaikki totuudet ovat triviaaleja
Sinäkin todistit, että me tiedämme (esim.), että 1=0 on epätosi, niin siksi juuri siitä ei voi seurata yhtään mitään, koska vaikka miten pyörittelisitte epätotuutta, niin te tiedätte, että 1=1 on tosi -ilman epätotuuttakin, joten siksi juuri epätodesta ei seuraa mitään, koska se, minkä väitetään olleen seuraus epätodesta, on jo ennalta tiedetty todeksi.
Filosofit ovat ainoastaan mielistyneet käsitteiden vääntelyn, mutta oikeasta elämästä he eivät mitään tiedä.
Filosofit esimerkiksi väittävät, että ovi ei välttämättä ole totta, mutta en ole koskaan nähnyt filosofien kävelevän seinien läpi... Mitä hyvää filosofit ovat koskaan tuoneet ihmiskuntaan? Onko se hyvä juttu, kun filosofit opettavat, että totuus on seurausta epätodesta --jonka jokainen tietää ilman mitään pyörittelyäkin epätodeksi?
Koska siis 1=1 -lauseke tulee esille 1=0 -lauseesta, niin mistä maailman on tullut lause 1=0 ? Täten huomataan, että epätodet lausekkeet ovat tulleet filosofien hihasta, koska heitä ei lainkaan kiinnosta pelkkä totuus, vaan he väittävät, että totuus ei yksin voi olemassa ilman epätotuutta.
Kysymys:
Voiko totuus olla olemassa ilman epätotuutta?
Jos ei voi, niin silloin tietysti epätotuus on totuudelle absoluuttinen välttämättömyys.
Lainaus:
"Todesta lauseesta, esim. tuo mainittu 1=1 ei voi loogisesti oikein johtaa epätotta, kuten 1=0. Kaikki muu on mahdollista."
Pyrin itse esittämään sen ajatuksen, että 1=0:sta ei voi seurata mitään, koska se, minkä väitetään olleen sen seurausta, on jo mielessä oleva päämäärä
Kun esim. Sinä esitit sen ketjun, missä 1=0 tuli 1=1, niin sinulla oli jo mielessä se, että tästä epätodesta tulee 1=1. Jos siis väitteesi pitäisi paikkansa, että epätodesta voi seurata mitä tahansa, niin miksi sitten lauseesta 1=0 seuraa aina lause 1=1? Miksi siitä ei seuraa vaikka sutta, tai 3=6? Ja miksi ihmeessä tekijä jo ennalta tietää, mitä epätodesta muka seuraa?
Kyse on ihan samasta, jos Helsinki-Lahden -rautatien tekijät olisivat väittäneet, että Helsingistä seurasi Lahti --kun sille välille vedettiin kiskot!
Lainaus:
"Todesta lauseesta, esim. tuo mainittu 1=1 ei voi loogisesti oikein johtaa epätotta, kuten 1=0. Kaikki muu on mahdollista."
Eli siis matematiikka todistaa, että luonnossa on palautumattomuus --ja että palautumattomat tulevat epätodesta:
koska 1=1:sta ei seuraa 1=0, mutta päin vastoin se käy!
Koska siis kaikki reaaliset ovat seurausta epätodesta, niin siksi matematiikka on todistanut, että Big Bang oli epätosi --eikä reaalisia voida palauttaa Big Bangiin, koska 1=1:sta ei voida palauttaa 1=0:llaan.
Itsekin olen sitä mieltä, ettei Big Bang ole totta, mutta en tarvinnut siihen matematiikkaa, enkä filosofiaa, vaan ihan tavallinen terve järki sanoo, että Big Bang on yhtä totta kuin 1=0
"Jos siis väitteesi pitäisi paikkansa, että epätodesta voi seurata mitä tahansa, niin miksi sitten lauseesta 1=0 seuraa aina lause 1=1?"
Kun sanoin mitä tahansa, tarkoitin mitä tahansa. Ei siis aina 1=1, vaan mitä tahansa, tuo 1=1 mukaanlukien. Epätosilla oletuksilla voimme todistaa aivan mitä haluamme. Todistuksen arvo tietenkin on nolla.
A. Elefantit ovat ainoita vihreitä eläimiä.
B. Ihmiset eivät ole vihreitä.
A -> B, eikö niin?
Selvästikin A on epätosi, mutta B tosi.
Määrittelemme symbolin '==>' siten, että:
[(p ==> q ) on epätosi] [p on tosi ja q on epätosi.]
Kyse on vain määritelmästä. Se, mitä intuitiivisesti ajattelet implikaatiosta on täysin yhdentekevää. :)
On oma asiasi, minkä 'merkityksen' annat implikaatiolle. Määritelmä ei sinänsä anna sille mitään 'merkitystä'.
Timothy Gowers pohtii asiaa täällä: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/implication.html
Gowersin sivulla on enemmänkin pohdintoja, jotka on hyvä lukea: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/mathsindex.html
Olet ihan oikeassa.
Ei-matemaatikkona minun on kuitenkin helpompi hahmottaa asioita, kun yritän mieltää mitä ne reaalimaailmassa voisivat tarkoittaa.
Ja koska logiikka ja implikaatio nyt ovat asioita mitä reaalimaailmankin päättelyihin voi soveltaa, on minun helpointa mieltää implikaation totuusarvo seurauksen loogisena mahdollisuutena/mahdottomuutena.
... yrittää miettiä, mitä asiat intuitiivisesti tarkoittavat. Kaikki matemaatikot tekevät niin.
Graafikin olisi matemaattisesti vain kahden joukon kokoelma, mutta (kontekstista riippuen) melkein aina miellämme sen pisteiden ja viivojen verkostoksi.
Samalla pitää kuitenkin muistaa, että jotkut asiat ovat mukana vain täydellisyyden vuoksi, eikä niillä pakosti ole intuitiivista selitystä.
Matemaatikko sanoisi, että implikaatio, jossa on epätosi vasen puoli 'ei ole kiinnostava' implikaatio. Se onkin määritelty vain siksi, että kaikki totuusarvo-kombinaatiot tulee ottaa huomioon.