Onko missään ollut tapana merkitä yhtälöitä verkkona tai hierarkiana?
Useinhan yhtälö on tapa kuvata syy-suhteita ja etenkin sellaisissa tapauksissa syy-suhde verkon/syy-seuraus ketjun yhteys vastaavaan yhtälöönsä olisi selkeä.
Matematiikan pelko olisi paljon harvinaisempaa jos koulussa yhtälöt esitettäisiin verkkoina nykyisen tavan ohella. Tämän foorumin lukijat kai ihmettelevät, että ihan selkeähän se tavallinen notaatio on, mutta fakta on, että ison osan mielestä yhtälöt ovat ns. hepreaa ja munkkilatinaa.
Yksi lisäpuoli, olisikohan yhtälön ratkaisu helpompaa verkko-esityksestä?
Useinhan yhtälö on tapa kuvata syy-suhteita ja etenkin sellaisissa tapauksissa syy-suhde verkon/syy-seuraus ketjun yhteys vastaavaan yhtälöönsä olisi selkeä.
Matematiikan pelko olisi paljon harvinaisempaa jos koulussa yhtälöt esitettäisiin verkkoina nykyisen tavan ohella. Tämän foorumin lukijat kai ihmettelevät, että ihan selkeähän se tavallinen notaatio on, mutta fakta on, että ison osan mielestä yhtälöt ovat ns. hepreaa ja munkkilatinaa.
Yksi lisäpuoli, olisikohan yhtälön ratkaisu helpompaa verkko-esityksestä?
Vastaukset 12
Vanhimmat
... yhtälön ratkaisua graafina -- luulisin, että useimpien yhtälöiden ratkaisu on helpointa ihan välivaiheittain. Kun mennään vähänkin syvempiin kysymyksiin, graafi (eli verkko) on monimutkaisempi objekti kuin useimmat yhtälöt. Pikemminkin verkkoja tutkitaan yhtälöin... :)
Toki tiettyjä yhtälöitä, etenkin vaikeita differentiaaliyhtälöitä, voi tutkia visuaalisesti, piirtämällä kuvaaja. Jos sinulla on perinteinen yhtälö f(x)=g(x), missä x-vektorilla on enintään kolme ulottuvuutta, voit piirtää kuvaajan f(x)-g(x) ja etsiä nollakohtia. Yhtälöryhmiä voi ratkaista etsimällä kuvaajien leikkauskohtia.
Olen toisaalta samaa mieltä, että graafeja (eli verkkoja) saisi piirrellä kouluissa paljon enemmän. Tiettyjä matemaattisia lausekkeita voi yhdistää graafeihin tai vaikkapa solmuihin (etsi 'knot theory'). Visuaalinen matikka on yksinkertaisissa tapauksissa monille helpompaa ymmärtää.
Esimerkkitehtävä: Kuinka monta tuntia tarvitaan kurssien 1,2,3,4,5,6,7 kokeisiin oppilaiden A,B,C,D kesken, siten että kenenkään kokeet eivät mene päällekkäin? (Oletetaan, että kunkin oppilaan kurssilista on saatavilla ja luokkahuoneita on riittävästi).
Paras tapa ratkaista ongelma on piirtää verkko, jossa kurssit ovat pisteitä, ja yhdistämällä ne kurssit joita ei voi pitää yhtäaikaa (eli ovat molemmat jonkun oppilaan kurssilistassa). Nyt tehtävä on vain värittää graafi mahdollisimman pienellä värimäärällä (yhdistetyissä pisteissä tulee olla eri väri). Väritysongelmiin on paljon niksejä ja teoriaa graafiteoriassa.
Yksi tapa ratkaista ongelma on laskea graafin kromaattinen polynomi P(x). P(x) kertoo kuinka monella eri tavalla voimme värittää graafin tasan x:llä värillä.
Siinä on yksi esimerkki, miten polynomi voi liittyä graafiin. Toki tuossa tapauksessa polynomi auttaa graafin tutkimiseen, eikä päinvastoin.
On vaikea piirtää kolme muuttujaa sisältävää lauseketta kolmeen ulottuvuuteen, sillä tarvitaan ylimääräinen ulottuvuus arvojoukolle...
Mutta enintään kaksi muuttujaa sisältävät voi piirtää. Jos muuttujia on enemmän kuin kaksi, voimme silti saada osittaista tietoa kuvaajilla.
Voisitko antaa esimerkin mitä tarkoitat verkkojen eli graafien käytöstä yhtälöiden yhteydessä?
Meinaatko, että graafin piste esittää lauseketta ja lausekkeiden samuus vierekkäisyysrelaatiota?
Itse sanoisin, että graafit ovat joissakin tilanteissa käyttökelpoisia visualisoimaan tiettyjä tilanteita, mutta voi käydä myös niin, että graafin pisteiden tai kaarien lukumäärä kasvaa liian suureksi, jotta graafi selkeyttäisi annettua ongelmaa.
Otetaan niin simppeli esimerkki, ettei siinä graafit käytännössä auta useimpia:
x=(a b)*c
a ja b solmuista menee linkki solmuun, josta menee linkki * solmuun c:n ohella. * solmusta menee linkki x:ään
solmu on siis tavalla tai toisella luku. ja * ovat lukuja antamalla (output) tuloksena luvun kun niille tulee syötteenä a,b,c ja operaation tulos.
ottaa syötteenä (input)a:n ja b:n ja output menee syötteeksi * operaatioon yhdessä c:n kanssa.
Jos yhtälö on vaikkapa x=(a-b)/c , niin syötteen input portteja on kahta tyyppiä (tai miten sen sanoisi? tämä on nyt improvisoitua kielenkäyttöä).
... on tuttu ohjelmoinnista. Algoritmin voi visualisoida haarautuvana puuna.
Algoritmien ongelma on se, että siinä missä tietokone on erittäin nopea käymään sitä läpi, ihminen ei ole. Vähänkään useampivaiheinen toimenpide vaatii liikaa aikaa ihmiseltä ollakseen käytännöllinen.
Ihminen toisaalta on hyvä kiertämään hitauden ongelman älykkäämmillä, kontekstipohjaisilla ratkaisumetodeilla.
En tiedä mitä hyötyä graafista voisi ihmiselle olla, mutta toki matikassa kannattaa aina piirtää kuva, jos se selkeyttää asiaa.
Esim. ongelma Markov Chainsista: Tyypillä on 2 euroa. Hän tarvitsee tasan 10 euroa. Hän pelaa toistuvasti uhkapeliä, jossa kolikkoa heitetään ja kruunan sattuessa panos kaksinkertaistetaan, muuten panos menetetään. Hän on päättänyt laittaa kaiken rahan peliin jos rahaa on enintään 5 euroa, ja puuttuvan osuuden, jos rahaa on enemmän. Laske todennäköisyys, että hän onnistuu saamaan 10 euroa.
Miten tuon voisi ratkaista?? Onhan mahdollista, että kolikkoa heitetään mielivaltaisen pitkä aika, ilman vararikkoa tai onnistumista...
Ratkaisu on kuitenkin helppo, kunhan piirrämme kuvan:
Piirrämme graafin, jossa mahdolliset rahasummat saavat solmun: 0, 2, 4, 6, 8 ja 10. Piirrämme nuolet niiden summien välille, joihin kustakin summasta voi päästä (aina todennäköisyydellä 0.5).
Olkoon p_i ,(i=0,2,...,10), P(voitamme aloittaen i:stä). Tällöin p_2 on haluamamme todennäköisyys.
Graafista huomaamme, että
p_2 = 1/2 * p_0 1/2 * p_4 = p_4/2
p_4 = 1/2 * p_8
p_8 = 1/2 1/2 * p_6
p_6 = 1/2 1/2 * p_2
Nyt sijoitamme lopusta alkaen p_6:sen p_8 yhtälöön jne... Lopulta meillä on lineaarinen yhtälö p_2 suhteen, josta saamme helposti p_2 arvon.
Monimutkaisemmissa tapauksissa kuvaaja auttaa meitä huomattavasti pitämään kirjaa tehtävän tiedoista. Sama pätee käytännössä kaikkiin diskreetteihin Markov ketjuihin, ja niihin liittyviin tehtäviin.
Esittämäsi puu liittyy läheisesti ohjelmointikieliin. Etsi netistä sanoilla jäsennyspuu tai parse tree lisää tietoa.
Esimerkiksi lause 2*3 1 voidaan esittää jäsennyspuuna, missä 2 & 3 ovat kertomerkin lapsia ja kertomerkki sekä 1 ovat plussan lapsia. Tällöin jokainen operaattori saa kaksi lukua parametrinaan ja tuottaa niistä yhden luvun, joka edelleen voidaan syöttää ylemmäs puuhun parametrina toiselle operaattorille. Tässä nimenomaisessa tapauksessa sanotaan, että kertolasku sitoo voimakkaammin kuin yhteenlasku, joka on tietty alakoulusta tuttu asia.
Niin, mutta käytetäänkö sellaista jäsennyspuuta myös silloin kun ei puhuta ohjelmoinnista? Onko mitään taulukkokirjaa tms. jossa fysiikan kaavoja on ilmoitettu (myös) sillä tavalla verkkoina? Tässä ohjelmointiopilla on annettavaa matematiikalle tai ainakin matematiikan esitykselle.
Tämä kysymys menee osittain psykologian puolelle, koska kysymys on esitystavoista ja jopa makuasioista.
Palstan matemaatikot älkööt tehkö sitä virhettä, että luulevat kaikkien näkevän yhtälöt yhtä selvästi.
... oppia näkemään yhtälöitä selvästi on harjoituksen ja esimerkkien kautta.
En usko, että on olemassa verkkoja yhtälöjen tilalla käyttäviä kirjoja, sillä se veisi valtavasti tilaa.
Toki olen kaikelle avoin, eli kertokaa jos jotakin löytyy. Kuten sanoin, kuvan piirtäminen on silti perustaktiikoita matikassa.
Yleensä visuaalista hahmottamiskykyä omaavat ihmiset oppivat hyvin hahmottamaan myös abstrakteja konsepteja -- ikään kuin piirtävät kuvan päässään, ilman että tarvitsee sitä paperille laittaa.
Sitten on myös paljon sellaisia ihmisiä, jotka luovuttavat liian helposti ja ovat päättäneet hyvin aikaisessa vaiheessa, että kaikki 'yhtälöt ja kaavat' ovat täyttä hepreaa, ja mahdottomia tajuta. Loppujen lopuksi yhtälöt ovat yksinkertaisempia asioita kuin ne verkot... vaikka verkkojakin esitellään kouluissa liian vähän.
... suunnitellaan (ennen ohjelmointia), joillekin on apua verkon piirtämisestä algoritmin eri vaiheille. (Toiset pystyvät tekemään tämän työn päässään).
Monivaiheinen tai paljon haarautuva matemaattinen todistus saattaa hahmottua paremmin, jos piirtää haarat verkkona. Tosin matematiikan opiskelijalla on yleensä niin paljon harjoitusta todistusten lukemisesta, että rakenteen pystyy jäsentämään päässä.
... suunnitellaan (ennen ohjelmointia), joillekin on apua verkon piirtämisestä algoritmin eri vaiheille. (Toiset pystyvät tekemään tämän työn päässään).
Monivaiheinen tai paljon haarautuva matemaattinen todistus voi olla rakenteeltaan 'kuin algoritmi' ja saattaa hahmottua paremmin, jos piirtää haarat verkkona. Tosin matematiikan opiskelijalla on yleensä niin paljon harjoitusta todistusten lukemisesta, että rakenteen pystyy jäsentämään päässä.
... matemaattinen todistus saattaa olla algoritmin tapainen, jolloin sen rakenne voisi olla helpommin jäsennettävissä verkon avulla.
Useimmat 'piirtävät verkon päässään' automaattisesti.
Pienellä luovuudella voi itse keksiä miten asia kannattaa piirtää, jotta se olisi itselle helppo hahmottaa. Mitään 'virallista tapaa' en tiedä.
... useamman kerran lähteneistä viesteistä. Foorumi oli tukossa.