Miten lasketaan pallopinnalla olevan tasakylkisen kolmion ala, jos tunnetaan sivujen pituudet ja pallon säde?
Miten lasketaan
ongelma?
7977
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Laske kosinilauseen avulla kolmion kulmat a, b ja c.
Olkoon E=a b c-pii ja pallon säde R. Nyt kolmion ala on pii R^2*E/180.
... pallopinnan kolmion pinta-alalle on
R^2 (A B C-PI), missä A,B,C ovat kolmion kulmat (radiaaneissa) pallon pinnalla, ja R on pallo säde.
Saadaksesi selville A,B ja C, voit käyttää vaikka mukailtua sinilausetta:
Olkoon a,b,c sivut (vastakkaisia A,B, ja C:lle). Olkoon V tetrahedrin tilavuus, jonka pallon keskipiste ja kolmion kulmat rajaavat.
Silloin sin A/sin a = sin B/sin b = sin C/sin c = 6V/(abc) .
Tai voit käyttää kosinilauseita sivujen pituuksille:
cos a= cos b *cos c sin b sin c cos A
(ja vastaavasti muille sivuille).
Tuon pinta-alakaavan todistus on mielettömän kaunis ja yksinkertainen. Kysy, jos et ole sitä nähnyt...
En ole alkuperäinen kysyjä, mutta haluisin kyllä nähdä sen todistuksen, kiitos... ;)
Olkoon kolmio ABC. Oletetaan, että pallon säde on 1. (Jos säde on R, todistus on samanlainen, mutta kannamme R-muuttujaa ympäriinsä.) Olkoon X haettu pinta-ala.
Jatka kaarta AB isoksi-ympyräksi Y_1 (eli ympyräksi, joka osuu A:n ja B:n vastakkaisiin pisteisiin A' ja B'). Samoin jatka BC ympyräksi Y_2, ja CA ympyräksi Y_3.
Huomaa, että vastakkaisten pisteparien (A,A'), (B,B') ja (C,C') kunkin läpi menee kaksi ympyristä Y_i.
Kun meillä on kaksi iso-ympyrää vastakkaisten pisteiden läpi, pallopinta jakautuu neljään osaan, joista vastakkaiset osat ovat yhtä suuria. (Kuvittele mielessä, tai tsekkaa myöhemmin todistuksessa annettu linkki!) Otetaan se pintapari, joka on pienempi pinta-alaltaan -- kutsumme sitä kaksoisluunaksi. Pintana se on vain kaksi yhtä suurta vastakkaista 'viipaletta' palloa.
Huomaa, että (yksöis)luunan pinta-ala on suoraan verrannollinen kahden iso-ympyrän välisen (pienemmän) kulman kanssa. (Meidän tapauksessamme se on aina yksi kolmion ABC kulmista.) Huomaa, että pallon pinta-ala on 4*PI. Eli jos kulma on alpha, kaksoisluunan pinta-ala on 2*alpha/(2*PI) * 4*PI = 4*alpha.
Huomaa myös, että symmetrian takia kolme iso-ympyräämme Y_i muodostavat vastakkaisen kolmion A'B'C' toiselle puolelle palloa.
Kolmiulotteinen käänneltävä malli löytyy täältä: http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/gos4.html .
Kuvassa musta kolmio on ABC, harmaa kolmio on A'B'C' ja kolme eri kaksoisluunaa on väritetty sinisellä, vihreällä ja punaisella.
Kolme kaksoisluunaa peittävät näin ollen koko pallon, ja niiden intersektio on edellä mainittu kolmiopari.
4(alpha beta gamma) on kolmen kaksoisluunan yhteenlaskettu pinta-ala, eli 4*PI 4*X, koska vastakkaiset kolmiot lasketaan kukin kaksi 'ylimääräistä' kertaa.
Siispä, jos kolmion kulmat ovat alpha, beta ja gamma, 4(alpha beta gamma)-4*PI = 4*X
Nyt jos jaamme kaiken 4:llä, saamme
X= alpha beta gamma - 4*PI.
QED
Viimeisessä rivissä tarkoitan tietenkin
X= alpha beta gamma - PI.
Unohdin jakaa tuon viimeisen termin 4:llä. ;)
kiitos kaikista vastauksista :)