Olkoon meillä neliö, jonka sivun pituus on 16cm.
Sen jokaisesta sivun keskipisteestä piirretään puoliympyrä, r=8cm eli puolet neliön sivusta. Näin saadaan eräänlainen "kukkakuvio". Lisäksi Neliön keskipisteeseen piirretään vielä 8cm-säteinen ympyrä. (Eli se siis sivuaa neliötä jokaisesta sivun keskipisteestä.)
Nyt pitäisi selvittää minkä alan suuruiset osat tämä keskusympyrä jakaa jokaisesta "terälehdestä", jos ymmärrätte mitä tarkoitan. Samalla pitää selvittää sen alueen koko, joka on neliön sisällä, mutta ei "kukan" tai keskusympyrän sisällä. (Yhteensä kahdeksan samanlaista pientä aluetta.)
Sen jokaisesta sivun keskipisteestä piirretään puoliympyrä, r=8cm eli puolet neliön sivusta. Näin saadaan eräänlainen "kukkakuvio". Lisäksi Neliön keskipisteeseen piirretään vielä 8cm-säteinen ympyrä. (Eli se siis sivuaa neliötä jokaisesta sivun keskipisteestä.)
Nyt pitäisi selvittää minkä alan suuruiset osat tämä keskusympyrä jakaa jokaisesta "terälehdestä", jos ymmärrätte mitä tarkoitan. Samalla pitää selvittää sen alueen koko, joka on neliön sisällä, mutta ei "kukan" tai keskusympyrän sisällä. (Yhteensä kahdeksan samanlaista pientä aluetta.)
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tavallista nokkelampi tapa antaa ala-asteen matikan läksyt muiden tehtäväksi: 9 pistettä! ;)
... vaan minun oma keksimäni tehtävä, jonka laitoin tänne pikkupähkinäksi. Ei ole mielestäni ala-aste tasoa, ehkä yläaste.
metsästämään planimetriä (oliskohan Akateemisessa ?) ja piirrät kuvion ja mittaat.
Kuviosi on symmetrinen neliön kesikipisteen suhteen. Riittää siis, että tutkit yhtä neljännestä neliöstäsi.
Asetat siis neliösi keskipisteen koordinaatteihin (0,0), jolloin, jos sivun pituus on 16, oikea yläkulma tulee koordinaatteihin (8,8).
Sitten määrittelet kaikkien tuon neliön oikean yläkulman sisälä kulkevien käyrien arvot x:n funktioina. Esim. oikeasta reunasta, pisteestä (8,0) piirretty 8 säteinen ympyrä kulkee tuon neliön neljänneksen sisällä näin:
y = 8 * sqrt(8 - x), x välillä 0,8
Kun sinulla on kaikki käyrät tuossa muodossa, etsit niiden leikkauskohdat x-akselilla asettamalla aina kaksi käyrää samoiksi ja ratkaisemalla x:n.
Nuo leikkauskohdat (tai tarkemmin niiden paikat x-akselilla) ovat rajat, joiden välillä sitten integroit nuo käyrät x:n suhteen. Vähentämällä ylemmän käyrän integraalista alemman käyrän integraalin, saat niiden välillä olevan pinta-alan.
Ja koska kuvio tosiaan oli symmetrinen, lopputuloksen saat kertomalla näin saadut yhden neljänneksen pinta-alat neljällä.
"Esim. oikeasta reunasta, pisteestä (8,0) piirretty 8 säteinen ympyrä kulkee tuon neliön neljänneksen sisällä näin:
y = 8 * sqrt(8 - x), x välillä 0,8"
Äh. Ei mitään tuon suuntaistakaan. Mitäköhän minä tuossa ajattelin.
(8,0) keskipisteinen 8 säteinen ympyrä:
(x-8)^2 y^2 = 8^2
y^2 = 8^2 - (x-8)^2
y^2 = 8^2 - (x^2 2*(-8)*x 8^2)
y^2 = 8^2 - x^2 16x - 8^2
y^2 = -x^2 16x
Oikein olisi siis kai (jos laskin oikein):
y = sqrt(-x^2 16x), x välillä 0,8
Ei tuo vieläkään taida olla oikein. En minä osaa näitä perjantaisin laskea.
Pitää miettiä uudestaan joskus paremmalla ajalla.
Periaatteen kuitenkin pitäisi toimia. Kun vain osaisi laskea noiden ympyröiden kaavat oikein, puhumattakaan siitä integroinnista.
Jos laitetaan neliön vasen alakulma origoksi, niin vasemman alakulman oikeanpuoleisen alueen yläreunakäyrän yhtälö on
y = 8-sqrt(8^2-x^2)
Kun tätä integroidaan 0:sta 4:ään ja tulos kerrotaan kahdella, niin saadaan se pinta-ala:
2*int(8-sqrt(8^2-x^2),x,0,4)
= -32/3*pi 64-16*3^(1/2)
Joka on likimäärin 2.77686544060684.