Vastatkaa tähän järkevästi

1/0 ei yksinkertaisesti ole määritelty.

Voimme sanoa, että 1/n --> ääretön, kun n--->0.

Huomaa, että on ero siinä lähestyykö n nollaa ylhäältä vai alhaaltapäin: Jos n lähestyy nollaa negatiivisilla arvoilla 1/n---> miinus ääretön.

Siispä emme voi yksiselitteisesti todeta, että 1/0 on ääretön, (ellei ääretöntä määritellä niin), mutta tietysti ajattelemme asiaa niin.

nkorppi kirjoitti:

1/0 ei yksinkertaisesti ole määritelty.

Voimme sanoa, että 1/n --> ääretön, kun n--->0.

Huomaa, että on ero siinä lähestyykö n nollaa ylhäältä vai alhaaltapäin: Jos n lähestyy nollaa negatiivisilla arvoilla 1/n---> miinus ääretön.

Siispä emme voi yksiselitteisesti todeta, että 1/0 on ääretön, (ellei ääretöntä määritellä niin), mutta tietysti ajattelemme asiaa niin.

Lue lisää

Tietenkään 1/0 ei ole määritelty, koska kuntarakenne menisi rikki: jos olisi 1/0=x,
niin x*0 = 0 ja toisaalta x*0 = 1, mistä seuraisi 1=0.

>Huomaa, että on ero siinä lähestyykö n nollaa ...

>Siispä emme voi yksiselitteisesti todeta, että 1/>0 on ääretön, (ellei ääretöntä määritellä niin),

En ihan ymmärtänyt mitä hait kahdella viimeisellä kappaleella, mutta todellakin jonon suppeneminen on määritelmäkysymys vrt. kompleksilukujonon suppenemista kompaktisoidussa kompleksilukujen joukossa

Cbar = C U {inf}

ja reaalilukujonon suppenemista laajennetulla lukusuoralla

Rbar = R U {-inf,inf},

kun reaaliluvut R tulkitaan kompleksiluvuiksi luonnollisella tavalla. Esimerkiksi jono
-1,1,-2,2,-3,3,... suppenee joukossa Cbar, mutta ei joukossa Rbar.

Joku kirjoitti:

Tietenkään 1/0 ei ole määritelty, koska kuntarakenne menisi rikki: jos olisi 1/0=x,
niin x*0 = 0 ja toisaalta x*0 = 1, mistä seuraisi 1=0.

>Huomaa, että on ero siinä lähestyykö n nollaa ...

>Siispä emme voi yksiselitteisesti todeta, että 1/>0 on ääretön, (ellei ääretöntä määritellä niin),

En ihan ymmärtänyt mitä hait kahdella viimeisellä kappaleella, mutta todellakin jonon suppeneminen on määritelmäkysymys vrt. kompleksilukujonon suppenemista kompaktisoidussa kompleksilukujen joukossa

Cbar = C U {inf}

ja reaalilukujonon suppenemista laajennetulla lukusuoralla

Rbar = R U {-inf,inf},

kun reaaliluvut R tulkitaan kompleksiluvuiksi luonnollisella tavalla. Esimerkiksi jono
-1,1,-2,2,-3,3,... suppenee joukossa Cbar, mutta ei joukossa Rbar.

Lue lisää

"Tietenkään 1/0 ei ole määritelty, koska kuntarakenne menisi rikki: jos olisi 1/0=x,
niin x*0 = 0 ja toisaalta x*0 = 1, mistä seuraisi 1=0."

Jos joku kysyisi, näin itsekin asian selittäisin. Mutta kun nyt ilmeisesti ainakin jotkut ovat aika syvällisesti asiasta kiinnostuneita, niin mennään sitten pohjamutia myöten. Eli ei, 1/0 ei ole määrittelemätön antamastasi syystä.

Missään ei nimittäin vaadita, että nollallajakamisen tulisi käyttäytyä kuin muut osamäärät. Siis jos nollalla jakaminen määriteltäisiin yhtälöllä 1/0 = x, ei silti tarvitse päteä 0x = 1. Jakolasku määritellään (ymmärtääkseni) yleensä käänteisluvulla kertomisena, jolloin tapaus 1/0 on jo automaattisesti ulkona kuvioista.

Joku kirjoitti:

Tietenkään 1/0 ei ole määritelty, koska kuntarakenne menisi rikki: jos olisi 1/0=x,
niin x*0 = 0 ja toisaalta x*0 = 1, mistä seuraisi 1=0.

>Huomaa, että on ero siinä lähestyykö n nollaa ...

>Siispä emme voi yksiselitteisesti todeta, että 1/>0 on ääretön, (ellei ääretöntä määritellä niin),

En ihan ymmärtänyt mitä hait kahdella viimeisellä kappaleella, mutta todellakin jonon suppeneminen on määritelmäkysymys vrt. kompleksilukujonon suppenemista kompaktisoidussa kompleksilukujen joukossa

Cbar = C U {inf}

ja reaalilukujonon suppenemista laajennetulla lukusuoralla

Rbar = R U {-inf,inf},

kun reaaliluvut R tulkitaan kompleksiluvuiksi luonnollisella tavalla. Esimerkiksi jono
-1,1,-2,2,-3,3,... suppenee joukossa Cbar, mutta ei joukossa Rbar.

Lue lisää

Tiedän kyllä itse yksityiskohdat, mutta halusin antaa kaduntallaajalle sen ajatuksen, että 1/0 olisi raja-arvojen perusteella yhtä lailla infty kuin -infty, (jotka ovat intuitiivisesti äärettömän kaukana toisistaan), joten se tuskin on määritelty kummaksikaan.

Sen sijaan esim. Möbius transformaatioista puhuttaessa on hyvä määritellä laajennettu kompleksitaso, eli 'ääretön' määritellään ylimääräisenä pisteenä.

Alkuperäiskysyjä ei ehkä tiedä mikä on kunta, topologia, closure, eikä ehkä edes tiedä mikä on kompleksiluku. Silti hän voi nähdä miksi singulariteetista syntyy ongelma.

ash kirjoitti:

"Tietenkään 1/0 ei ole määritelty, koska kuntarakenne menisi rikki: jos olisi 1/0=x,
niin x*0 = 0 ja toisaalta x*0 = 1, mistä seuraisi 1=0."

Jos joku kysyisi, näin itsekin asian selittäisin. Mutta kun nyt ilmeisesti ainakin jotkut ovat aika syvällisesti asiasta kiinnostuneita, niin mennään sitten pohjamutia myöten. Eli ei, 1/0 ei ole määrittelemätön antamastasi syystä.

Missään ei nimittäin vaadita, että nollallajakamisen tulisi käyttäytyä kuin muut osamäärät. Siis jos nollalla jakaminen määriteltäisiin yhtälöllä 1/0 = x, ei silti tarvitse päteä 0x = 1. Jakolasku määritellään (ymmärtääkseni) yleensä käänteisluvulla kertomisena, jolloin tapaus 1/0 on jo automaattisesti ulkona kuvioista.

Lue lisää

Nimenomaan reaalilukujen a ja b!=0 osamäärä a/b ajatellaan alkiona a*b^-1, missä b^-1 on b:n käänteisalkio. Jos 1/0 eli 1*0^-1 eli 0^-1 kuuluisi reaalilukujen kuntaan, niin
(0^-1)*0 = 1*1 = 1 kunta-aksioomien nojalla.
Toisaalta reaalilukukunnassa on aina voimassa a*0 = 0, joten (0^-1)*0 = 0. Siispä olisi
0 = (1/0)*0 = 1.

Siispä nollalla jakaminen edellyttää nollan käänteisalkion olemassaoloa, mikä äskeisen mukaan johtaa ristiriitaan.

>Jakolasku määritellään (ymmärtääkseni) yleensä >käänteisluvulla kertomisena, jolloin tapaus 1/0 >on jo automaattisesti ulkona kuvioista.

Tässä tapauksessa nimenomaan pohdittiin miksi tapaus 1/0 on ulkona. Jos 1/0 on ulkona ei ole ongelmaakaan.

Joku kirjoitti:

Nimenomaan reaalilukujen a ja b!=0 osamäärä a/b ajatellaan alkiona a*b^-1, missä b^-1 on b:n käänteisalkio. Jos 1/0 eli 1*0^-1 eli 0^-1 kuuluisi reaalilukujen kuntaan, niin
(0^-1)*0 = 1*1 = 1 kunta-aksioomien nojalla.
Toisaalta reaalilukukunnassa on aina voimassa a*0 = 0, joten (0^-1)*0 = 0. Siispä olisi
0 = (1/0)*0 = 1.

Siispä nollalla jakaminen edellyttää nollan käänteisalkion olemassaoloa, mikä äskeisen mukaan johtaa ristiriitaan.

>Jakolasku määritellään (ymmärtääkseni) yleensä >käänteisluvulla kertomisena, jolloin tapaus 1/0 >on jo automaattisesti ulkona kuvioista.

Tässä tapauksessa nimenomaan pohdittiin miksi tapaus 1/0 on ulkona. Jos 1/0 on ulkona ei ole ongelmaakaan.

Lue lisää

Nimimerkille Joku: Ristiriita, jonka johdat, todella osoittaa, ettei nollalla ole käänteislukua. Tällä ei kuitenkaan ole tekemistä nollallajakaisen kanssa. Olet kuitenkin määritellyt jakolaskun käänteisluvulla kertomiseksi, joten 1/0 ei ilmeisesti ole määritelmän mielessä jakolasku. Erityisesti 1/0 ei ole nolla käänteinen (koska sellaista ei ole).

Toisin: Yhtälöt a/b = x ja a = bx ovat yhtäpitäviä, jos ja _vain_jos_ b != 0. Siksi et voi todeta, että 1/0 = x implikoisi yhtälön 1 = 0x.

(Kirjoitan tätä uskomattoman huonolla kahvilanäppiksellä. Jos teksti on kankeaa ja epäselvää, niin eiköhän se johdu siitä ;-)

ash kirjoitti:

Nimimerkille Joku: Ristiriita, jonka johdat, todella osoittaa, ettei nollalla ole käänteislukua. Tällä ei kuitenkaan ole tekemistä nollallajakaisen kanssa. Olet kuitenkin määritellyt jakolaskun käänteisluvulla kertomiseksi, joten 1/0 ei ilmeisesti ole määritelmän mielessä jakolasku. Erityisesti 1/0 ei ole nolla käänteinen (koska sellaista ei ole).

Toisin: Yhtälöt a/b = x ja a = bx ovat yhtäpitäviä, jos ja _vain_jos_ b != 0. Siksi et voi todeta, että 1/0 = x implikoisi yhtälön 1 = 0x.

(Kirjoitan tätä uskomattoman huonolla kahvilanäppiksellä. Jos teksti on kankeaa ja epäselvää, niin eiköhän se johdu siitä ;-)

Lue lisää

Tuo "Toisin:"-kohdan oletukseen sisältyy se, että nollalla ei voi jakaa ja ei siis mitenkään todista nollalla jakamisen mahdottomuutta.

Jakolasku voidaan reaaliluvuille määritellä näin, koska se on käänteisoperaatio
kertolaskulle:

x = a/b joss on tarkalleen yksi sellainen x \in R, jolle b*x = a tarkalleen yhdelle x. Jos b=0 ja a!=0, niin ratkaisua ei selvästi ole. Jos b=0 ja a=0, niin ratkaisua ei määritelmään mukaan ole, koska 0*x = 0 kaikilla reaaliluvuilla x.

Toisaalta jos nollalla olisi käänteisluku, niin
0*x = 1 on yhtäpitävä sen kanssa, että x = (0^-1)*1 (mikä johtaa ristiriitaan).
Nollalla jakamisen ongelma ei siis ole riippumaton nollan käänteisalkion olemassaolosta.

nkorppi kirjoitti:

Tiedän kyllä itse yksityiskohdat, mutta halusin antaa kaduntallaajalle sen ajatuksen, että 1/0 olisi raja-arvojen perusteella yhtä lailla infty kuin -infty, (jotka ovat intuitiivisesti äärettömän kaukana toisistaan), joten se tuskin on määritelty kummaksikaan.

Sen sijaan esim. Möbius transformaatioista puhuttaessa on hyvä määritellä laajennettu kompleksitaso, eli 'ääretön' määritellään ylimääräisenä pisteenä.

Alkuperäiskysyjä ei ehkä tiedä mikä on kunta, topologia, closure, eikä ehkä edes tiedä mikä on kompleksiluku. Silti hän voi nähdä miksi singulariteetista syntyy ongelma.

Lue lisää

> Tiedän kyllä ...

Totta turiset. Veikkaan, että alkuperäiskysyjä ei
kaikesta huolimatta jäisi miettimään "äärettömän" ongelmaa.

Joku kirjoitti:

Tuo "Toisin:"-kohdan oletukseen sisältyy se, että nollalla ei voi jakaa ja ei siis mitenkään todista nollalla jakamisen mahdottomuutta.

Jakolasku voidaan reaaliluvuille määritellä näin, koska se on käänteisoperaatio
kertolaskulle:

x = a/b joss on tarkalleen yksi sellainen x \in R, jolle b*x = a tarkalleen yhdelle x. Jos b=0 ja a!=0, niin ratkaisua ei selvästi ole. Jos b=0 ja a=0, niin ratkaisua ei määritelmään mukaan ole, koska 0*x = 0 kaikilla reaaliluvuilla x.

Toisaalta jos nollalla olisi käänteisluku, niin
0*x = 1 on yhtäpitävä sen kanssa, että x = (0^-1)*1 (mikä johtaa ristiriitaan).
Nollalla jakamisen ongelma ei siis ole riippumaton nollan käänteisalkion olemassaolosta.

Lue lisää

Uhh. Ei olisi pitänyt kirjoittaa kahvilaviestiä lainkaan. En itsekään saisi selvää, mitä siinä tarkoitin, ellen olisi sitä kirjoittanut. Pahoittelen, ja pyrin nyt olemaan selkeämpi.

Olemme kaiketi yhtä mieltä siitä, että jakolasku määritellään seuraavasti:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. [1]

Nyt kun on puhuttu nollalla jakamisesta olet kuitenkin poikennut yo. määritelmästä ja ajatellut sen olevan näin:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja, on ab^{-1}. [2]

Tällainen jakolaskun määritelmä toki implikoisi nollan käänteisluvun olemassaolon ristiriidan. Jakolaskun määritelmä ei kuitenkaan ole [2] vaan tuo ylläoleva [1].

Ei se, että alamme puhua nollalla jakamisesta, tarkoita, että määritelmä muuttuu juuri tuolla tavoin. Kuten olet itse osoittanut, on määritelmä [2] mieletön. Jos halutaan puhua nollalla jakamisesta, on (nähdäkseni) ainoa järkevä jakolaskun määritelmä

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. Lisäksi määritellään a/0 = x. [3]

jossa x on jokin kiinteä reaaliluku. Siis nollallajako on käsiteltävä erikoistapauksena.

Eikä tästäkään nollallajaon määritelmästä mitään hyötyä ole. Se ei kuitenkaan sentään väitä, että nollalla olisi käänteisluku, minkä tiedämme jo pelkkien kunta-aksioomien perusteella.

ash kirjoitti:

Uhh. Ei olisi pitänyt kirjoittaa kahvilaviestiä lainkaan. En itsekään saisi selvää, mitä siinä tarkoitin, ellen olisi sitä kirjoittanut. Pahoittelen, ja pyrin nyt olemaan selkeämpi.

Olemme kaiketi yhtä mieltä siitä, että jakolasku määritellään seuraavasti:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. [1]

Nyt kun on puhuttu nollalla jakamisesta olet kuitenkin poikennut yo. määritelmästä ja ajatellut sen olevan näin:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja, on ab^{-1}. [2]

Tällainen jakolaskun määritelmä toki implikoisi nollan käänteisluvun olemassaolon ristiriidan. Jakolaskun määritelmä ei kuitenkaan ole [2] vaan tuo ylläoleva [1].

Ei se, että alamme puhua nollalla jakamisesta, tarkoita, että määritelmä muuttuu juuri tuolla tavoin. Kuten olet itse osoittanut, on määritelmä [2] mieletön. Jos halutaan puhua nollalla jakamisesta, on (nähdäkseni) ainoa järkevä jakolaskun määritelmä

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. Lisäksi määritellään a/0 = x. [3]

jossa x on jokin kiinteä reaaliluku. Siis nollallajako on käsiteltävä erikoistapauksena.

Eikä tästäkään nollallajaon määritelmästä mitään hyötyä ole. Se ei kuitenkaan sentään väitä, että nollalla olisi käänteisluku, minkä tiedämme jo pelkkien kunta-aksioomien perusteella.

Lue lisää

"Se ei kuitenkaan sentään väitä, että nollalla olisi käänteisluku, minkä tiedämme jo pelkkien kunta-aksioomien perusteella."

Pitäisi olla: ... minkä tiedämme _epätodeksi_ jo pelkkien...

ash kirjoitti:

Uhh. Ei olisi pitänyt kirjoittaa kahvilaviestiä lainkaan. En itsekään saisi selvää, mitä siinä tarkoitin, ellen olisi sitä kirjoittanut. Pahoittelen, ja pyrin nyt olemaan selkeämpi.

Olemme kaiketi yhtä mieltä siitä, että jakolasku määritellään seuraavasti:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. [1]

Nyt kun on puhuttu nollalla jakamisesta olet kuitenkin poikennut yo. määritelmästä ja ajatellut sen olevan näin:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja, on ab^{-1}. [2]

Tällainen jakolaskun määritelmä toki implikoisi nollan käänteisluvun olemassaolon ristiriidan. Jakolaskun määritelmä ei kuitenkaan ole [2] vaan tuo ylläoleva [1].

Ei se, että alamme puhua nollalla jakamisesta, tarkoita, että määritelmä muuttuu juuri tuolla tavoin. Kuten olet itse osoittanut, on määritelmä [2] mieletön. Jos halutaan puhua nollalla jakamisesta, on (nähdäkseni) ainoa järkevä jakolaskun määritelmä

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. Lisäksi määritellään a/0 = x. [3]

jossa x on jokin kiinteä reaaliluku. Siis nollallajako on käsiteltävä erikoistapauksena.

Eikä tästäkään nollallajaon määritelmästä mitään hyötyä ole. Se ei kuitenkaan sentään väitä, että nollalla olisi käänteisluku, minkä tiedämme jo pelkkien kunta-aksioomien perusteella.

Lue lisää

>a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi >nollasta eroava, on ab^{-1}. [1]

Minulle jää tästä sellainen kuva, että jakolasku a/b olisi jo määritelty erillisenä operaationa, jolle saadaan sitten ehkä jonkin lauseen kautta esitys ab^{-1}. Näinhän se ei ole, paitsi yläasteella, missä aluksi on jakolasku määritelty ja siitä johdetaan jollain opettajan taikasauvalla käänteisalkiot ym., mikä tuntuu joistakin oppilaistakin oudolta.

Kaikki lähtee liikkeelle ryhmän käsitteestä. On joukko alkioita, joille on määritelty kahden alkion välinen operaatio * (=binäärioperaatio), jolle pätevät seuraavat ehdot joukossa G:

(1) Operaatio * on suljettu, eli a*b ∈ G kaikilla a,b ∈ G.
(2) a*(b*c)=(a*b)*c kaikilla a,b,c ∈ G.
(3) On olemassa ykkösalkio e ∈ G, jolle ∀ a ∈ G pätee e*a = a*e = a.
(4) Käänteisalkion olemassaolo, eli kaikilla a ∈ G on olemassa käänteisalkio a^{-1} siten, että
a*a^{-1} = a^{-1}*a = e.

Kun nämä ehdot saadaan voimaan, voidaan laskutoimitusta a*b^{-1} alkaa merkitsemään a/b.

ash kirjoitti:

Uhh. Ei olisi pitänyt kirjoittaa kahvilaviestiä lainkaan. En itsekään saisi selvää, mitä siinä tarkoitin, ellen olisi sitä kirjoittanut. Pahoittelen, ja pyrin nyt olemaan selkeämpi.

Olemme kaiketi yhtä mieltä siitä, että jakolasku määritellään seuraavasti:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. [1]

Nyt kun on puhuttu nollalla jakamisesta olet kuitenkin poikennut yo. määritelmästä ja ajatellut sen olevan näin:

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja, on ab^{-1}. [2]

Tällainen jakolaskun määritelmä toki implikoisi nollan käänteisluvun olemassaolon ristiriidan. Jakolaskun määritelmä ei kuitenkaan ole [2] vaan tuo ylläoleva [1].

Ei se, että alamme puhua nollalla jakamisesta, tarkoita, että määritelmä muuttuu juuri tuolla tavoin. Kuten olet itse osoittanut, on määritelmä [2] mieletön. Jos halutaan puhua nollalla jakamisesta, on (nähdäkseni) ainoa järkevä jakolaskun määritelmä

a/b, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja b lisäksi nollasta eroava, on ab^{-1}. Lisäksi määritellään a/0 = x. [3]

jossa x on jokin kiinteä reaaliluku. Siis nollallajako on käsiteltävä erikoistapauksena.

Eikä tästäkään nollallajaon määritelmästä mitään hyötyä ole. Se ei kuitenkaan sentään väitä, että nollalla olisi käänteisluku, minkä tiedämme jo pelkkien kunta-aksioomien perusteella.

Lue lisää

Nollalla ei voi jakaa, koska reaaliluvuilla määritellyllä funktiolla

x |--> 0*x

ei ole käänteisfunktiota toisin kuin funktiolla

x |--> a*x, missä a!= 0 on kiinteä reaaliluku.

Tämä fakta näkyy jakolaskun määritelmässä:

x = a/b on reaaliluku jos ja vain jos
on tarkalleen yksi ratkaisu x yhtälölle
b*x = a, missä a ja b ovat kiinteitä reaalilukuja.

Erityisesti a/0 ei ole reaaliluku, koska yhtälöllä 0*x = a ei ole yksikäsitteistä ratkaisua.

Joku kirjoitti:

Nollalla ei voi jakaa, koska reaaliluvuilla määritellyllä funktiolla

x |--> 0*x

ei ole käänteisfunktiota toisin kuin funktiolla

x |--> a*x, missä a!= 0 on kiinteä reaaliluku.

Tämä fakta näkyy jakolaskun määritelmässä:

x = a/b on reaaliluku jos ja vain jos
on tarkalleen yksi ratkaisu x yhtälölle
b*x = a, missä a ja b ovat kiinteitä reaalilukuja.

Erityisesti a/0 ei ole reaaliluku, koska yhtälöllä 0*x = a ei ole yksikäsitteistä ratkaisua.

Lue lisää

Jukepukelle: Juuri sitä tarkoitin, mitä kirjoitit.

Nimimerkille Joku: Jos olet vielä kiinnostunut aiheesta, ymmärrät näkökantani, kun kokeilet seuraavaa.

Jakolaskun määritelmäsi

"x = a/b on reaaliluku jos ja vain jos
on tarkalleen yksi ratkaisu x yhtälölle
b*x = a, missä a ja b ovat kiinteitä reaalilukuja."

on hieno. Määritelmän valossa nollalla ei voi jakaa juuri siitä syystä, jonka esitit. Olet kuitenkin aiemmin todennut (eri sanoin, tosin), että jos a/0 on reaaliluku, niin nollalla on käänteisluku.

Oleellisesti olet siis sanonut, että jos jakolasku määriteltäisiin siten, että nollalla voi jakaa, johdutaan ristiriitaan. Nyt kysymykseni sinulle on: kuinka siis muutat antamaasi määritelmää siten, että nollalla voi jakaa? Tämän jälkeen ole hyvä ja osoita, että näin muutettu määritelmä johtaa mainitsemaasi ristiriitaan.

ash kirjoitti:

Jukepukelle: Juuri sitä tarkoitin, mitä kirjoitit.

Nimimerkille Joku: Jos olet vielä kiinnostunut aiheesta, ymmärrät näkökantani, kun kokeilet seuraavaa.

Jakolaskun määritelmäsi

"x = a/b on reaaliluku jos ja vain jos
on tarkalleen yksi ratkaisu x yhtälölle
b*x = a, missä a ja b ovat kiinteitä reaalilukuja."

on hieno. Määritelmän valossa nollalla ei voi jakaa juuri siitä syystä, jonka esitit. Olet kuitenkin aiemmin todennut (eri sanoin, tosin), että jos a/0 on reaaliluku, niin nollalla on käänteisluku.

Oleellisesti olet siis sanonut, että jos jakolasku määriteltäisiin siten, että nollalla voi jakaa, johdutaan ristiriitaan. Nyt kysymykseni sinulle on: kuinka siis muutat antamaasi määritelmää siten, että nollalla voi jakaa? Tämän jälkeen ole hyvä ja osoita, että näin muutettu määritelmä johtaa mainitsemaasi ristiriitaan.

Lue lisää

>Nyt kysymykseni sinulle on: kuinka siis muutat >antamaasi määritelmää siten, että nollalla voi >jakaa?

Miksi pitäisi muuttaa, koska nollalla ei voi jakaa?

Totta kai antamasi määritelmä on validi, koska se toimii tarkalleen silloin, kun tuo kirjoittamani määritelmä on tosi. Ero on siinä, että antamani määritelmä osoittaa miksi a/0
ei ole mielekäs.

>Tämän jälkeen ole hyvä ja osoita, että näin >muutettu määritelmä johtaa mainitsemaasi >ristiriitaan.

Miksi?

Joku kirjoitti:

>Nyt kysymykseni sinulle on: kuinka siis muutat >antamaasi määritelmää siten, että nollalla voi >jakaa?

Miksi pitäisi muuttaa, koska nollalla ei voi jakaa?

Totta kai antamasi määritelmä on validi, koska se toimii tarkalleen silloin, kun tuo kirjoittamani määritelmä on tosi. Ero on siinä, että antamani määritelmä osoittaa miksi a/0
ei ole mielekäs.

>Tämän jälkeen ole hyvä ja osoita, että näin >muutettu määritelmä johtaa mainitsemaasi >ristiriitaan.

Miksi?

Lue lisää

"Miksi pitäisi muuttaa, koska nollalla ei voi jakaa?"

Olet kirjoittanut, että nollalla ei voi jakaa, koska jos voisi, tästä seuraisi nollan käänteisalkion olemassaolon ristiriita. Minä vastustin tätä päättelyä: olin sitä mieltä, että vaikka nollalla voisi jakaa, ei automaattisesti implikoitaisi nollan käänteisluvun olevan olemassa.

Edellisessä viestissäni pyysin sinua esittämään päättelyketjusi täydellisempänä. Todennäköisesti päättelysi alkaisi "Oletetaanpa, että 1/0 on kuitenkin reaaliluku." Jotta tällainen oletus on mielekäs (ja liittyy siihen, mistä on puhe), tulee merkintä 1/0 voida tulkita jollakin tapaa jakolaskuna --- nythän puhumme nimenomaan jakamisesta nollalla. Nykyisellä määritelmällä tällaista jakolaskua 1/0 ei ole olemassa, joten täytyy keksiä uusi määritelmä. Sitten voidaan jatkaa päättelyä ja katsoa, onko seurauksena nollan käänteisalkion olemassaolo.

Tämän takia pyysin muuttamaan määritelmää.

ash kirjoitti:

"Miksi pitäisi muuttaa, koska nollalla ei voi jakaa?"

Olet kirjoittanut, että nollalla ei voi jakaa, koska jos voisi, tästä seuraisi nollan käänteisalkion olemassaolon ristiriita. Minä vastustin tätä päättelyä: olin sitä mieltä, että vaikka nollalla voisi jakaa, ei automaattisesti implikoitaisi nollan käänteisluvun olevan olemassa.

Edellisessä viestissäni pyysin sinua esittämään päättelyketjusi täydellisempänä. Todennäköisesti päättelysi alkaisi "Oletetaanpa, että 1/0 on kuitenkin reaaliluku." Jotta tällainen oletus on mielekäs (ja liittyy siihen, mistä on puhe), tulee merkintä 1/0 voida tulkita jollakin tapaa jakolaskuna --- nythän puhumme nimenomaan jakamisesta nollalla. Nykyisellä määritelmällä tällaista jakolaskua 1/0 ei ole olemassa, joten täytyy keksiä uusi määritelmä. Sitten voidaan jatkaa päättelyä ja katsoa, onko seurauksena nollan käänteisalkion olemassaolo.

Tämän takia pyysin muuttamaan määritelmää.

Lue lisää

"olin sitä mieltä, että vaikka nollalla voisi jakaa, ei automaattisesti implikoitaisi nollan käänteisluvun olevan olemassa."

Väitteeni (implikaatio) on siis tämä "Jos nollalla voi jakaa, niin nollalla on käänteisalkio". Tämä väite on loogisesti ekvivalentti väitteen (implikaation)
"Jos nollalla ei ole käänteisalkiota, niin
nollalla ei voi jakaa" kanssa. On jo todettu, että nollalla ei ole käänteisalkiota, joten alkuperäinen väitteeni on totta.

Joku kirjoitti:

"olin sitä mieltä, että vaikka nollalla voisi jakaa, ei automaattisesti implikoitaisi nollan käänteisluvun olevan olemassa."

Väitteeni (implikaatio) on siis tämä "Jos nollalla voi jakaa, niin nollalla on käänteisalkio". Tämä väite on loogisesti ekvivalentti väitteen (implikaation)
"Jos nollalla ei ole käänteisalkiota, niin
nollalla ei voi jakaa" kanssa. On jo todettu, että nollalla ei ole käänteisalkiota, joten alkuperäinen väitteeni on totta.

Lue lisää

"Väitteeni (implikaatio) on siis tämä "Jos nollalla voi jakaa, niin nollalla on käänteisalkio". Tämä väite on loogisesti ekvivalentti väitteen (implikaation)
"Jos nollalla ei ole käänteisalkiota, niin
nollalla ei voi jakaa" kanssa."

Kyllä, nämä todella ovat yhtäpitäviä väittämiä. Se, ovatko nämä _tosia_, riippuu kuitenkin siitä, mitä tarkoitat nollalla jakamisella. Et voi kirjoittaa "jos nollalla voi jakaa" kertomatta lukijalle, mitä tällä tarkoitat. Ei lukija voi tietää, mitä on nollalla jakaminen, kun jakolaskun määritelmässä on erikseen (suoraan tai implisiittisesti) kielletty nollalla jakaminen!

Vertaa nollannen potenssin tapaukseen: Koulukirjassa saatettaisiin määritellä potenssiinkorotus a^b siten, että muodostetaan tulo, jossa on b kpl tekijöitä a. Koululainen saattaisi tämän nähtyään kysyä, mitä on a^0. Vastata ei voi, sillä määritelmä ei tunne tällaista potenssia. Määritelmää on siis laajennettava.

Samalla tavalla mitään nollallajakoa ei ole olemassa, ennen kuin laajennetaan jakolaskun määritelmää.

ash kirjoitti:

"Väitteeni (implikaatio) on siis tämä "Jos nollalla voi jakaa, niin nollalla on käänteisalkio". Tämä väite on loogisesti ekvivalentti väitteen (implikaation)
"Jos nollalla ei ole käänteisalkiota, niin
nollalla ei voi jakaa" kanssa."

Kyllä, nämä todella ovat yhtäpitäviä väittämiä. Se, ovatko nämä _tosia_, riippuu kuitenkin siitä, mitä tarkoitat nollalla jakamisella. Et voi kirjoittaa "jos nollalla voi jakaa" kertomatta lukijalle, mitä tällä tarkoitat. Ei lukija voi tietää, mitä on nollalla jakaminen, kun jakolaskun määritelmässä on erikseen (suoraan tai implisiittisesti) kielletty nollalla jakaminen!

Vertaa nollannen potenssin tapaukseen: Koulukirjassa saatettaisiin määritellä potenssiinkorotus a^b siten, että muodostetaan tulo, jossa on b kpl tekijöitä a. Koululainen saattaisi tämän nähtyään kysyä, mitä on a^0. Vastata ei voi, sillä määritelmä ei tunne tällaista potenssia. Määritelmää on siis laajennettava.

Samalla tavalla mitään nollallajakoa ei ole olemassa, ennen kuin laajennetaan jakolaskun määritelmää.

Lue lisää

>Et voi kirjoittaa "jos nollalla voi jakaa" >kertomatta lukijalle, mitä tällä tarkoitat.

Enkö juuri antanut määritelmän vai etkö ymmärrä lukemaani?

>lukija voi tietää, mitä on nollalla jakaminen, >kun jakolaskun määritelmässä on erikseen >(suoraan tai implisiittisesti) kielletty >nollalla jakaminen!

Miksi järjettömyyksiä pitäisi määritellä? MIKSI?

Joku kirjoitti:

>Et voi kirjoittaa "jos nollalla voi jakaa" >kertomatta lukijalle, mitä tällä tarkoitat.

Enkö juuri antanut määritelmän vai etkö ymmärrä lukemaani?

>lukija voi tietää, mitä on nollalla jakaminen, >kun jakolaskun määritelmässä on erikseen >(suoraan tai implisiittisesti) kielletty >nollalla jakaminen!

Miksi järjettömyyksiä pitäisi määritellä? MIKSI?

Lue lisää

"Enkö juuri antanut määritelmän --"

Olet antanut vain sellaisia määritelmiä, joiden perusteella ei voida päätellä, mitä esimerkiksi 1/0 tarkoittaisi.

Olen aiemmin antanut esimerkin sopivasta määritelmästä, joka antaa mahdollisuuden jakaa nollalla. Tässä se sama hieman muunneltuna:

Olkoot a ja b reaalilukuja. Määritellään a/b luvuksi ab^-1, kun b != 0. Lisäksi määritellään a/0 = 1 kaikilla a.

Esimerkiksi tästä jakolaskun määritelmästä ei seuraa, että nollalla olisi käänteinen.

"Miksi järjettömyyksiä pitäisi määritellä?"

Toistan itseäni: En voi tietää, mitä tarkoitat symbolilla 1/0, ellet sitä minulle kerro. Toistaiseksi et ole kertonut.

ash kirjoitti:

"Enkö juuri antanut määritelmän --"

Olet antanut vain sellaisia määritelmiä, joiden perusteella ei voida päätellä, mitä esimerkiksi 1/0 tarkoittaisi.

Olen aiemmin antanut esimerkin sopivasta määritelmästä, joka antaa mahdollisuuden jakaa nollalla. Tässä se sama hieman muunneltuna:

Olkoot a ja b reaalilukuja. Määritellään a/b luvuksi ab^-1, kun b != 0. Lisäksi määritellään a/0 = 1 kaikilla a.

Esimerkiksi tästä jakolaskun määritelmästä ei seuraa, että nollalla olisi käänteinen.

"Miksi järjettömyyksiä pitäisi määritellä?"

Toistan itseäni: En voi tietää, mitä tarkoitat symbolilla 1/0, ellet sitä minulle kerro. Toistaiseksi et ole kertonut.

Lue lisää

>Olet antanut vain sellaisia määritelmiä, joiden >perusteella ei voida päätellä, mitä esimerkiksi >1/0 tarkoittaisi.

Näin on, koska nollalla jaolla ei ole mainituista syistä järkevää määritelmää. Tuo antamasi jakolaskun "laajennososa" on täysin irrallinen kertolaskusta ja vailla merkitystä.

Joku kirjoitti:

>Olet antanut vain sellaisia määritelmiä, joiden >perusteella ei voida päätellä, mitä esimerkiksi >1/0 tarkoittaisi.

Näin on, koska nollalla jaolla ei ole mainituista syistä järkevää määritelmää. Tuo antamasi jakolaskun "laajennososa" on täysin irrallinen kertolaskusta ja vailla merkitystä.

Lue lisää

Käsitykseni mukaan nimim. ash hakee perustelua sille, miksi nollalla ei ole käänteisalkiota, kun taas nimim. Joku pitää tätä asiaa tavallaan tunnettuna.

Jos kuitenkin mennään syvemmälle tämän asian tarkastelussa, niin pitää miettiä, mitä ominaisuuksia jollekin systeemille halutaan. Ideaali tilannehan on, että systeemi toteuttaa kaikki kunta-aksioomat ja lisäksi nollalla jakaminen luonnistuu ilman ongelmia. Valitettavasti tällaista systeemiä ei ole olemassa (voidaan todistaa näin), joten ensimmäinen tehtävä on miettiä, mistä pitää luopua. Nollalla jakaminen on se mistä luovutaan.

Esim. mittateoriassa nollalla jakaminen on määritelty tarkoin ehdoin, mutta se lisätään mukaan "irrallisena".

Joku kirjoitti:

>Olet antanut vain sellaisia määritelmiä, joiden >perusteella ei voida päätellä, mitä esimerkiksi >1/0 tarkoittaisi.

Näin on, koska nollalla jaolla ei ole mainituista syistä järkevää määritelmää. Tuo antamasi jakolaskun "laajennososa" on täysin irrallinen kertolaskusta ja vailla merkitystä.

Lue lisää

Tämä keskustelu alkaa toistaa itseään. Kirjoitan jatkossa lisää vain, jos jotain oleellista uutta ilmenee.

Kuvittele, että olet aloittelemassa matematiikan opintojasi. Laskuharjoituksissa tulee vastaan tehtävä, jossa käsitellään tähtimäisiä joukkoja. Et kuitenkaan tiedä, mitä tähtimäiset joukot ovat. Mitä tällöin teet? Etsit käsiisi tähtimäisen joukon määritelmän.

Tilanne on nyt sama. On esitetty väite, että jos 1/0 on reaaliluku, niin tällöin nollalla on käänteisalkio. Emme kuitenkaan tiedä, mitä tämä väittämässä mainittu 1/0 oikein on. Jakolasku se ei ole, sillä jakolaskun määritelmässä on kielletty nimittäjää olemasta nolla. Meidän on etsittävä käsiimme reaaliluvun 1/0 määritelmä, ennen kuin voimme arvioida, millaisia ominaisuuksia sillä on.

Annoin yhdeksi määritelmäksi 1/0 = 1. Se on irrallinen kertolaskusta, kuten huomautat, mutta niin olisi mikä tahansa määritelmä. Tästä antamastani määritelmästä ei seuraa, että nollalla olisi käänteisluku.

Voit helposti keksiä määritelmän, josta mainitsemasi nollan käänteisen ristiriita seuraa. Joku määritelmä on kuitenkin oltava, ennen kuin voit käsitellä symbolia 1/0. Vakiintunutta määritelmää ei ole, sillä sellaisesta ei olisi hyötyä.

Nollalla ei voi jakaa, koska nollalla jakaminen ei ole määritelty laskutoimitus. Tämä on perimmillään ainoa oikea syy. Kaikki tyyppiä "mitä seuraisi, jos nollalla voisi jakaa" olevat päättelyt vaativat, että ensin määritellään, mitä nollallajaolla tarkoitetaan.

Näin on marjat.