Eli harjoituslaskuna seuraavanlainen lasku:
Rautalangasta rakennetaan kehikko suorakulmaisen särmiön muotoiselle laatikolle siten, että pohjasärmät ovat kaksinkertaiset. Pohja on neliön muotoinen, ja lankaa on käytössä 108 cm. Laske laatikon suurin tilavuus.
Kun en tiedä mitään mittoja, vain vastauksen ja siinäkin pitänee ottaa huomioon tuo pohjasärmien kaksinkertaisuus, eikö??? Niin enhän mä saa tästä taas mitään järkevää yhtälöä aikaiseksi.... pää ei riitä ja aika alkaa loppua..... miten mä selviän tästä matematiikasta???? Osaako kukaan neuvoa kuinka tämmöisistä voi selvitä???
Rautalangasta rakennetaan kehikko suorakulmaisen särmiön muotoiselle laatikolle siten, että pohjasärmät ovat kaksinkertaiset. Pohja on neliön muotoinen, ja lankaa on käytössä 108 cm. Laske laatikon suurin tilavuus.
Kun en tiedä mitään mittoja, vain vastauksen ja siinäkin pitänee ottaa huomioon tuo pohjasärmien kaksinkertaisuus, eikö??? Niin enhän mä saa tästä taas mitään järkevää yhtälöä aikaiseksi.... pää ei riitä ja aika alkaa loppua..... miten mä selviän tästä matematiikasta???? Osaako kukaan neuvoa kuinka tämmöisistä voi selvitä???
Vastaukset 10
Vanhimmat
että jos särmiösi pohjaneliön sivu on 5 cm, niin siihen menee kaksinkertaisena 40 cm. 20 cm menee yksinkertaiseen yläneliöön eli 60 cm on käytetty ja jäljelle jää 48 cm, josta teet särmiön pystysärmät eli 12 cm kappale. Muillakin mitoilla sen tietysti voi rakentaa!
En ole mikään matemaatikko, mutta ajattelemalla näin. Liekö kelvollinen vastaus?
... touhua tuo vastauksen arvaaminen summittain. Kysymyksessä ei pyydetty satunnaista rakennustapaa, vaan maksimitilavuus. Sitä ei saada, jos laitat pohjasivun mitaksi 5 cm.
1) Voit muodostaa annetuilla tiedoilla yhtälöparin. Pohja oli neliö, joten pohjan sivut ovat yhtä pitkät. Merkitset siis vaikka pohjan sivun pituutta x:llä ja korkeutta y:llä.
2) Sitten mietit kuinka monta x:n ja kuinka monta y:n mittaista pätkää laatikkoon tarvitaan. ax bx (missä a ja b ovat noiden pätkien määrät) on siis langan pituus (joka oli annettu).
3) Sitten mietit miten särmiön tilavuus riippuu x:stä ja y:stä.
4) Ratkaiset kohdan 2 yhtälöstä joko x:n tai y:n ja sijoitat sen yhtälöön 3.
5) Etsit yhtälölle 4 suurimman tilavuusarvon derivoimalla sen ja etsimällä derivaatan nollakohdan.
Matematiikasta selviytyy rauhoittumalla, laittamalla paperilla matemaattisesti se, mitä kysymyksessä annetaan -- lopuksi tehdään tarvittava päättely vastauksen saamiseksi.
Haluat maksimoida arvon yx^2, kun 12x 4y = 108.
Saat y = (108-12x)/4 = 27-3x
Eli haluat maksimoida f(x) = yx^2 = (27-3x)x^2 = 27x^2-3x^3.
Etsiäksemme maksimin, tarvitsemme derivaatan nollaksi, eli f'(x) = 54x-9x^2 = x(6-x) = 0
Toka derivaatta on f''(x)=54-18x, joka saa arvon -54, kun x=6. Koska -54 on negatiivinen, x=6 antaa maksimitilavuuden.
Itse tilavuus on f(6) = 324 cm^2.
Sori tuli yksikkövirhe: sen piti olla cm^3, ei cm^2. :)
miten ihmeessä nkorppi voit osata noin hienosti.... kateeksi käy. kiitos avustasi, nyt alan harjoitella ja miettiä mistä ihmeestä noita lukuja remmoit.
... että opiskelen matikkaa, mutta kyllä jokaisen matikkaa lukiossa lukeneen pitäisi tällainen tehtävä osata.
Tässä ajatusprosessi:
1) Tehtävässä on kaksi 'perus-tuntematonta', eli kantasivun pituus, ja pystysuoran sivun pituus.
Siksi käytämme kahta muuttujaa, x ja y, näitä varten.
Tiedämme, että tilavuus on yx^2, eli 'pohjan pinta-ala kertaa korkeus'.
2) Ainoa meille annettu luku on 108, joten meidän pitää liittää tämä luku jotenkin x ja y-muuttujiin.
Tiedämme, että 12x 4y = 108, ihan vain laskemalla sivuja.
3) Haluamme päästä eroon y-muuttujasta, joten ratkomme edellisen y:n suhteen, ja sijoitamme sen tilavuuden kaavaan x^2y.
4) Maksimointi tapahtuu aina asettamalla derivaatta nollaan. (Ja tokasta derivaatasta voi varmistua, että kyseessä on varmasti nollakohta.)
Piti sanoa 'tokasta derivaatasta voi varmistua, että kyseessä on varmasti maksimi'. :)
Mikäköhän tässä mun pohdiskelussa mättää.
Eli laatikon pohjassa on 4 särmää ja kannessa toiset 4. Eli yhteensä 8 kpl. ja pystysärmiä on 4 kpl.
Sekä tehtävässä sanotaan että pohja- ja kansisärmät ovat kaksikertaa pitempiä kuin pystysärmät.
Jos kansi- ja pohjasärmiä merkitään x:llä ja pystysärmiä y:llä, niin saan langanpituuden funktioksi
8*x*2 4*y=108 => 16x 4y=108
... alkuperäisessä kysymyksessä lukee, mutta kysyjä ei missään vaiheessa sanonut mitään sellaista, että 'pohja- ja kansisärmät ovat kaksikertaa pitempiä kuin pystysärmät'.
Sen sijaan hän sanoi, että pohjasärmät olivat kaksinkertaiset. Ei mitään 'kansi-särmistä'. Jos kannet ovat nekin kaksinkertaiset, silloin meillä on toki 16x 4y=108 -- mutta sillä ei ole mitään merkitystä ratkaisutavan kannalta.