todennäköisyys, riippumattomuus

Ensimmäinen tehtävä:

Kahta noppaa heittäessä mahdollisia tuloksia on 36, eikö niin?

Kuinka monessa näistä joko:
a) musta noppa on 5 ja valkoinen parillinen, tai
b) valkoinen noppa on 5 ja musta parillinen?


Toinen tehtävä:

Väite A on totta jos ensimmäisen heiton tulos on 1,2,4 tai 5. Väite A ei ole totta, jos ensimmäisen heiton tulos on 3 tai 6.

Jos väitteet A ja B tai A ja C olisivat riippumattomia, tarkoittaisi se sitä, että B:n tai C:n todennäköisyys ei riipu A:n totuudesta.

Voit siis laskea todennäköisyyden sille, että B on totta kun A on totta, ja sitten sille, että B on totta kun A ei ole totta, ja katsoa saatko saman vai eri todennäköisyyden. Ja sama sitten C:lle.

Kuten edellä vastannut totesi, on 36 mahdollista kombinaatiota. Laske kuinka moni näistä toteuttaa haluamasi ehdon. (Vaikka ruksiesi määrä 6x6-ruudukossa.) Jos niitä on k, todennäköisyys on k/36.

Toinen ratkaisutapa: Mustan nopan ja valkoisen nopan silmäluvut ovat toisistaan riippumattomia. Siispä:

P(musta on 5 JA valkoinen on parillinen) =
P(musta 5)*P(valkoinen parillinen) = 1/6 * 1/2

Riippumattomuus tarkoittaa siis sitä, että yhden tapahtuman lopputulos ei vaikuta mitenkään toisen lopputulokseen. Täsmälleen silloin JA-sana muuttuu kertomerkiksi, niin kuin edellä.

[Vastaavasti TAI-sana muuttuu plus-merkiksi, jos tapahtumat eivät mene 'päällekkäin', eli jos P(A JA B) = 0 .]

Nyt sinun pitää vielä kertoa edellä saatu todennäköisyys kahdella, koska haluat ottaa huomioon symmetrisen vaihtoehdon, missä musta ja valkoinen vaihtavat paikkaa. (Huomaa, että nämä symmetriset tapahtuvat eivät mene 'päällekkäin', ja voimme siksi laskea todennäköisyydet yhteen.)

P(A JA C) ei ole P(A)*P(C), ja tästä syystä A ja C eivät ole riippumattomia. Voit tarkistaa tämän laskemalla kummatkin.

Intuitiivisesti asia on myös selvä: Esim. Jos silmälukujen summa on 5, on selvää että 1. heiton tulos ei ole 6. Eli näyttää siltä, että C:n toteutuminen auttaa A:n toteutumista.

Intuitioon ei kuitenkaan kannata luottaa, vaan kannattaa laskea P(A)*P(C) ja P(A JA C).