Opiskelen itsekseni tässä tilastotieteen peruskurssia (ei välttämättä hyvä ratkaisu =)). Yhdessä tehtävässä joutuu kuitenkin derivoimaan summia sisältävää lausetta ja derivointia tulee vasta 2. matematiikan kurssilla, enkä oikeen hahmota lukio-oppien mukaan, kuinka homma tuollaisessa tapauksessa toimii, joten olisi kiva saada neuvoa siitä kuinka tuollaisia lausekkeita derivoidessa käsitellään. Tavallaan tämä ei vielä ole olennaista, mutta jää vain vaivaamaan, jos tuollaista ei saa nyt ratkottua...
Eli itse ongelman ydin:
Osoita, että Σ(x - a)^2 saa pienimmän arvonsa, kun a= artimeettinen keskiarvo.
Näin olen ensin menetellyt:
Σ(x^2 -2ax a^2) -> Σx^2 - 2Σax Σa^2 .
Nyt pitäisi ilmeisesti derivoida a:n suhteen, mutta en osaa sitä tuollaisesta lauseesta?
Eli itse ongelman ydin:
Osoita, että Σ(x - a)^2 saa pienimmän arvonsa, kun a= artimeettinen keskiarvo.
Näin olen ensin menetellyt:
Σ(x^2 -2ax a^2) -> Σx^2 - 2Σax Σa^2 .
Nyt pitäisi ilmeisesti derivoida a:n suhteen, mutta en osaa sitä tuollaisesta lauseesta?
Vastaukset 4
Vanhimmat
on lineaarinen operaatio eli summan termit voi derivoida erikseen ja näiden derivaattojen summa siis on tuon summan derivaatta. Ja kertovan vakion voi ottaa derivaatan ulkopuolelle.
Tuossa laskussa ei kyllä derivoida a:n suhteen vaan haetaan alkuperäisen neliösumman derivaatan (x:n suhteen) nollakohta, eikö niin ? Tällöinhän se saavuttaa ääriarvon, mutta onko se minimi ?
derivoidaan a:n suhteen. Toi x:hän on varmaan indeksoitu ja summataan pois eli funktio jää a:n funktioksi, juu. Ei hirveesti leikkaa nyt mut ei se mitään.
Eli x:ä on indeksoitu. Katsotaan saanko jotain aikaan neuvoillasi illan aikana.
Yhteenlaskun voi dervioida termeittäin.
Eli derivoit lausekkeen a:n suhteen
d/da(Σx^2 - 2Σax Σa^2)
=d/da(Σx^2) - d/da(2Σxa) d/da(Σa^2)
=0-2Σxd/da(a) Σd/da(a^2)
=0-2Σx 2Σa
=-2Σx 2an
(Summa on 1..n, siis Σa=na)
Nyt merkitset derivaatan 0, sillä ääriarvokohdissa derivaatta eli käyrän kulmakerroin on 0.
Siis
-2Σx 2an=0
2an=2Σx
an=Σx
a=Σx/n
Noin ikään.
Mistä tiedämme että kyseinen ääriarvokohta on juuri minimi, se selviää derivoimalla kahdesti
eli
d/da(-2Σx 2an)=2n>0, eli toinen derivaatta on kaikialla >0, jolloin minimi.