Tämä on oma keksimäni tehtävä ja ajattelin laittaa sen tänne, jotta voisin olla varma, että olen ratkaissut sen oikein ;).
Tehtävä osoitteessa:
http://www.aijaa.com/img/00075/1023152.jpg
Tässä ratkaisuni:
http://www.aijaa.com/img/00014/1023161.jpg
Sitä jäin vain pohtimaan, että kun kartiota lasketaan ja vesi nousee, niin kartiosta joutuu veden alle enemmän kuin sitä on laskettu, koska vesi nousee. Että vaikuttaako se tuohon veden korkeuden laskemiseen?
Tehtävä osoitteessa:
http://www.aijaa.com/img/00075/1023152.jpg
Tässä ratkaisuni:
http://www.aijaa.com/img/00014/1023161.jpg
Sitä jäin vain pohtimaan, että kun kartiota lasketaan ja vesi nousee, niin kartiosta joutuu veden alle enemmän kuin sitä on laskettu, koska vesi nousee. Että vaikuttaako se tuohon veden korkeuden laskemiseen?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Minun mielestäni tuosta A:sta, tuossa lausekkeessa, pitäisi vähentää
sellainen ympyrän ala, jonka säde on kolmasosa s kartion pohjasta ylöspäin, (siis sillä kohdalla), oleva säde.
... vähentää A:sta mitään. Emme ole kiinnostuneita pinta-alasta 'jolla nousua tapahtuu', vaan olemme kiinnostuneita lopullisesta, (palikan ja veden muodostamasta), yhteistilavuudesta.
Se ei riipu mitenkään astian koosta. Eli kartio uppoaa valtamereen ja ämpäriin ihan identtisesti.
Vesi nousee astiassa sitten aivan kuin astiaan olisi lisätty vastaava tilavuus vettä.
Joo, sen kyllä tiesinkin. Mutta mitenkäs jos kartiota lasketaan esim. matka s alaspäin, niin silloinhan kartio joutuu veden alle enemmän kuin s-verran, koska vesi nousee ylöspäin.
Ongelmaa ei ole, kun s:ää pidetään veden alla olevana osana, mutta entä jos sitä pidetään kartiota laskettuna matkana?
... s viittaa nimenomaan siihen korkeuteen, joka on LOPUSSA veden alla.
Haluat siis ratkaisun, jossa kartiota upotetaan matka s ALKUPERÄISEEN korkeuteen nähden?
OK, mietin asiaa.
Jos haluat, että s on matka alkuperäisen rajan alla, saat vastauksen iteroimalla. Viittaamme kaavaasi x(s).
Leikkaat kartiosta sen osan pois, joka on s_0=s korkea.
Sen jälkeen leikkaat pois osan, joka on s_1=x(s)-x_0 korkea.
Sen jälkeen leikkaat pois osan, joka on s_2=x(s_1)-(x_0 s_1) korkea.
Sen jälkeen leikkaat pois osan, joka on
s_3=x(s_2)-(x_0 s_1 s_2) korkea.
Lopullinen korkeus veden alla on s_0 s_1 s_2 ...
Luultavasti löydät, että tämä summa suppenee johonkin S. Sen jälkeen lopullinen veden korkeus on x(S).
Luultavasti suppeneminen on sen verran nopeaa, että saat hyvän likiarvon jo muutaman iteraation jälkeen.
Tässä muodossa tehtävä on tosiaan selvästi vaikeampi.
Luultavasti tuosta saa muodostettua jonkinnäköisen differenssiyhtälön, jonka voi ratkaista samoin keinoin kuin differentiaaliyhtälönkin.
Tämä on kuitenkin yliopiston ekan vuoden soveltavaa materiaalia, ja itse olen puhtaan matikan ystävä, eli en ole kovin kiinnostunut näistä metodeista. :)
Uusi tilavuus = Vanha tilavuus Upotettu tilavuus.
Nyt jaat Uuden tilavuuden niillä dimensioilla, jotka pysyvät vakiona, niin saat uuden korkeuden.
Upotetun osan tilavuus on iso kartio miinus pikku-kartio.
Vastauksesi näyttäisi olevan oikein -- en tiedä tarvitsisiko sinun välttämättä sieventää sitä noin pitkälle...
Mielestäni x_0 h*PI*r^2/(3A)*(1-[(h-s)/h]^3) on nätimpi muoto kuin lopullinen vastauksesi.
Mielestäni A ei ole se pinta-ala, jossa vesi nousee siinä altaassa,sitähän vähentää jonkinverran pienempi ala kuin kartion pohjan ala.
... että olet sortunut jonkin sortin ajatusvirheeseen. Vertaamme alkuperäistä tilavuutta (koostuu vedestä) ja lopullista tilavuutta (koostuu vedestä JA palikan osasta). A on pinta-alana sama molemmille tilavuuksille, mutta veden pinta on noussut.