En ymmärrtä ollenkaan asiaa, mikä tuli mieleeni, mutta kysäisen, että onko suoralla σ = 1 / 2 mahdollista olla sellaista pistettä, joka ei sovi Riemannin hypoteesiin?
σ = 1 / 2 ratkaisu?? :)
elikkä
14694
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Esim. funktio saa arvon -1.46035, kun s = -1/2 .
Hypoteesi on, että kaikki juuret ovat suoralla Re(s)=1/2, mutta tämä ei suinkaan tarkoita, ettäkö koko suora koostuisi juurista.
Niin... Kuten ehkä saatoit arvatakin, mutta mietin, että voisiko suora itsessään olla ainoa mahdollinen vastaus hypoteesiin.
Kuitenkin nollakohtia on olemassa äärettömästi, joten laskemalla nollakohtia on mahdotonta saada tuloksia.
Jos nollakohtia on äärettömästi ja ne ovat tietyllä suoralla... niin eikös tämä haiskahda Zenonin paradoksille? Suora voidaan jakaa äärettömään määrään osia ja jokainen osa/piste suoralta äärettömään määrään osia.
Voitaisiin puhua Riemannin paradoksista. Hänhän kuitenkin teki hypoteesiin intuitiivisesti.
Onhan olemassa mm. bijektio avoimelta väliltä (0,1) koko suoralle R. Sanomme, että näillä joukoilla on sama kardinaliteetti. Ne ovat siinä mielessä 'yhtä suuria', vaikka toinen on toisen epätriviaali osajoukko.
Sen sijaan pistettä ei voi jakaa osiin -- nämä eivät ole mitään mitallisia atomeja, vaan matemaattisia pisteitä.
'Paradoksi', niin kuin usein muulloinkin, on tässä vain sitä , että intuitio saattaa aluksi pettää.
Zenonin paradoksi on se, että "rajalliseen etäisyyteen mahtuu äärettömän monta pistettä, eli 'ääretön etäisyys' ". Mutta tämä 'paradoksi' selitetään raja-arvojen käsitteellä -- ääretön summa voi olla itseisarvoltaan äärellinen.
"Zenonin paradoksi on se, että "rajalliseen etäisyyteen mahtuu äärettömän monta pistettä, eli 'ääretön etäisyys' ". Mutta tämä 'paradoksi' selitetään raja-arvojen käsitteellä -- ääretön summa voi olla itseisarvoltaan äärellinen."
Mutta eikö tämä kuulu matematiikan sääntöihin, että tarkkaa vastausta on mahdotonta saada tuolla tavoin, kun räplätään äärettömyyksien kanssa?
Tarkoitan, että kyllähän tuolle vastaus löytyy tottakai, mutta se vastaus on, että mikä on nollakohtien "takana" oleva muuttuja ja muuttuja voisi hyvin olla identtinen suoran määritteen kanssa.
Matemaattisessa mielessä Wittgensteinin mieletön kysymys/laskutoimitus on sellainen, mistä tulee vastaukseksi epätarkka/loputon.
Kun laskutoimituksessa lasketaan äärettömiä yhteen on kyse kaiketi päinvastaisesta tilanteesta, eli tällöin on niin, että Riemannin hypoteesin ääretön summa on vastaus jolekin, mitä ei voida kielellä/merkein käsitellä joukko-opillisten paradoksien vuoksi.
Näiden asioiden valossa pitäisin hyvin todennäköisenä, että hypoteesissa on koitettu jakaa suoraa äärelliseen määrään pisteitä, vaikka pisteitä on äärettömästi.
Kannattaa pitää erillään kaksi asiaa:
a) Et tiedä riittävästi jostakin asiasta ymmärtääksesi sitä täsmällisesti.
b) Asia aiheuttaa väistämättä ylitsepääsemättömiä ristiriitoja.
Jos olisit lukenut taustalla olevaa matematiikkaa, huomaisit, ettei mitään paradoksia tai ristiriitaa ei ole. Ei ainakaan Riemannin hypoteesiin liittyen.
Varsinkaan ei ole mitään 'sääntöä', joka estäisi käsittelemästä äärettömyyksiä täsmällisesti. Päinvastoin, melkein kaikki matemaatikan työ käsittelee 100% täsmällisesti äärettömiä joukkoja.
Joskus käsittelyssä tosin voi joutua käyttämään ns. 'Axiom of Choice', mutta sen käyttökään ei johda ongelmiin juuri missään, vaikka puristit voivat olla eri mieltä. ;)
Voit olla luottavaisin mielin: äärettömyys ei synnytä MITÄÄN epätarkkuutta tai joukko-opillista paradoksia. (Joitakin intuition pettämisesimerkkejä kutsutaan klassisesti 'paradokseiksi', mutta ne eivät synnytä mitään todellisia ongelmia.)
Ainoa todellinen paradoksi mitä tulee nyt mieleen on Russel's paradox, mutta sekin on kierrettävissä sopivalla aksioomalla, ilman mainittavia menetyksiä.
Esim. ääretön summa on TÄYSIN TÄSMÄLLINEN matemaattinen asia, johon ei liity mitään epäilyttävää. Esim. 0.3333333.... = 1/3, eikä tästä ole mitään epäselvyyttä.
Puhe tyyliin 'suoran määritelmä voisi olla identtinen muuttujan kanssa' on roskaa. ;)
se, että asiat kääntyvät aika ajoin ylösalaisin, joskus kääntyvät jopa kahdesti, jolloin puhutaan kaksoisparadoksista.
Kun on riittävästi edetty, palataan taaksepäin. Suoraa ei ole.
epäileväinen. Kyllä nuo äärettömyyteen liittyvät jutut on vähän väkisin väännetyn oloisia - ainakin verrattuna äärellisiin juttuihin. Äärettömän summankin täytyy supeta itseisesti jotta siinä olisi mitään järkeä. Esim. sum[1-1] = sum[0] = 0, merkitsin sum tarkoittamaan vaikka summaa indeksin juostessa vaikka ykkösestä äärettömyyksiin. Toisaalta termejä järjestelemällä (otetaan 1 eteen ja muut termit vastaavasti 1 taaksepäin) sum[1-1] = 1 sum[-1 1] = 1 0 = 1. Ja joukko-opissahan juuri liian mahtavat joukot aiheuttavat Russellin kaltaisia ongelmia josta joudutaan aksiomaattisuuteen ja juuri tuohon valinta-aksioomaan ja koko palapeli on tietääkseni vielä kasaamatta kun tuota valinta-aksioomaa yritetään runnoa muttei sovi. Mutta kieltämättä paljon on noita äärettömyysjutskia onnistuttu runnomaan täsmälliseen muotoon, mutta onko se kuitenkaan oikeasti täsmällistä kun kokonaisuus on vielä auki.
Tiedän, että en tiedä asiaa. Oikeastaan en tiedä siitä juuri mitään.
Silti mieleeni tuli joitain asioita, jotka ovat lähinnä filosofisia. Mieleeni on kieltämättä tullut se, että matemaatikkoja on saattanut hämätä matematiikan hienoudet... ja että ratkaisu voisi ollakin yksinkertaisempi, kuin se on todellisuudessa on, kun mennään hieman matalemmasta kohtaa aitaa.
"Voit olla luottavaisin mielin: äärettömyys ei synnytä MITÄÄN epätarkkuutta tai joukko-opillista paradoksia. (Joitakin intuition pettämisesimerkkejä kutsutaan klassisesti 'paradokseiksi', mutta ne eivät synnytä mitään todellisia ongelmia.)"
Tiedän ettei äärettömyys synnytäkään epätarkkuutta, mutta kielen väärinkäyttö, tai paremminkin ymmärtämättömyys kielen käytön taustalla olevaa tarkoitusta kohtaan synnyttää. Oikeastaan se jopa luo uutta.
"Esim. ääretön summa on TÄYSIN TÄSMÄLLINEN matemaattinen asia, johon ei liity mitään epäilyttävää. Esim. 0.3333333.... = 1/3, eikä tästä ole mitään epäselvyyttä."
Nimenomaan. Tietyllä merkintätavalla sama asia on tarkka, kun se toisella tavalla on epätarkka.
Riippuu siitä, minkä asian pohjalle merkintätapa perustuu.
1/3 on tarkka, mutta 0.3333333... on epätarkka, silti ne kuvaavat samaa asiaa.
Samanlainen ongelma esiintyy mm. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessa; kun merkintätavat ovat keskenään näennäisessä ristiriidassa, toisella tavalla vastaus on aina epätarkka, kun se on toisella tavalla tarkka. Kahden subjektin ristiriita.
Tottakai Riemannin hypoteesin ääretön summa voidaan merkitä tarkasti... mutta, jos vastaus on vaikkapa yksi, jolloin yksi tarkoittaa yhtä suoraa, tilanne on hyvin mielenkiintoinen. :)
Tietyssä mielessä muuttuja on aina yksi, kun subjekti lähtee muuttujasta.
"Ainoa todellinen paradoksi mitä tulee nyt mieleen on Russel's paradox, mutta sekin on kierrettävissä sopivalla aksioomalla, ilman mainittavia menetyksiä."
Russellin paradoksi ei ole kuin näennäinen paradoksi, eikä se johdu väärästä intuitiosta. Itseasiassa Russellin paradoksi on kuvaus tosiasiasta, mitä ei kieli voi ilmaista loogisesti. Wittgenstein ratkaisi Russellin paradoksin tractuksessa teoreettisesti ja myöhemmin Gödel laittoi sen matemaattiseen muotoon.
Russellin paradoksin yksinkertainen ratkaisu on se, että "kaikki maailmankaikkeudessa on yhtä", eli paradoksi on oikeassa.
Gödeliä seuraten voitaisiin sanoa, että sellaiset "todistukset", jotka viittaavat johonkin toiseen, ovat aina lopulta välttämättä ristiriitaisia suhteessa toiseen. Psykologisessa mielessä ne paljastavat subjektiivisen fantasian olemassaolon. Subjektiivinen fantasia on mm. epätarkkuusperiaatteen takana, kun kaksi subjektia käsittelee samaa asiaa "ymmärtämättä" toisiaan, syntyy ristiriita niiden välille.
Russellin paradoksi on yleisparadoksi, mitä vastaava tilanne syntyy aina, kun on ymmärtämättömyydestä johtuvaa kielen väärinkäyttöä, eli kyseessä on yleinen matematiikan umpikujatilanne.
Toivottavasti ymmärsit, mistä puhuin.
Tarkastelen asiaa filosofian kannalta, mutta matematiikkaa en kielenä tunne kovin hyvin.
"Puhe tyyliin 'suoran määritelmä voisi olla identtinen muuttujan kanssa' on roskaa. ;)"
Oletko varma, siis, että onko tuo matemaattisesti täysin varma, vai onko olemassa mahdollisuus, että muuttuja on suora? :)
... mutta suosittelen lukemaan yliopiston alkeiskursseja matikassa, niin johan selkenee. Se, että on olemassa jokin paradoksi yhdessä erikoistapauksessa ei suinkaan kumoa matematiikkaa.
Kaikki jonot eivät suppene, mutta ne jotka suppenevat ovat täysin järkeviä, vaikka ne eivät suppenisi itseisesti.
Olet väärässä siinä, että sum[1-1] = 1 sum[-1 1] . Notaatio antoi sinun ymmärtää, että saat aivan vapaasti järjestellä termejä? Tosiasiassa sinun pitäisi ensin todistaa, että moinen järjestely on sallittua (lähtien raja-arvon määritelmästä). Tietenkään et voi todistaa sitä, koska se ei pidä paikkaansa! Äärettömät summat perustuvat täsmällisesti raja-arvoihin, eivät notaation raiskaamiseen tai arvuutteluun.
Mitään runnomista ei tarvita, kun ensin selvittää mistä määritelmä on lähtöisin.
Esim ' x_n ---> x ' on määritelty tarkoittamaan 'Jokaiselle e>0 on olemassa sellainen N, että kun n>N, niin |x_n - x| < e. '
Olkoon x_n äärettömän summan rajoitus n ekaan termiin. Tällöin äärettön summa suppenee jos ja vain jos x_n ---> x jollekin x.
Siinä määritelmä. Se on täysin selkeä, eikä siinä ole mitään epäselvää arvuuttelua.
Kannattaisi ensin lukea vähän matikkaa ja vasta sitten lähteä matemaattiseksi filosofiksi.
Esim. haluan tähdentää, että 0.3333... ei ole missään mielessä 'epätarkka' merkintä, vaan sillä on erittäin täsmällinen merkitys.
Voitaisiinko vähitellen lopettaa turha trollaus, ja mitään tarkoittamattomat virkkeet tyyliin 'Tietyssä mielessä muuttuja on aina yksi, kun subjekti lähtee muuttujasta.' ?
Ei tarkoitukseni ollut ollenkaan suututtaa, tai mitään. Enkä todellakaan ollut trollaamassa. Sun kannattaisi myös lukea psykolgiaa ja filosofiaa. Minä tiedän, että en ymmärrä matematiikkaa, mutta sinä ymmärrät. Minä ymmärrän filosofiaa koskien tätä aihetta, mutta sinä ilmeisesti et kommenteista päätellen.
Vaikka puhumme samasta asiasta ja vaikka tarkoittaisimme samoja asioita, emme ymmärrä toisiamme, tällöin huomaamme, kuinka omat "maailmamme" ovat itseensä viittaavia.
Kirjoittamani asiat oli kopioitu mm. Gödeliltä, etkä varmaankaan väitä häntä trolliksi.
"Voitaisiinko vähitellen lopettaa turha trollaus, ja mitään tarkoittamattomat virkkeet tyyliin 'Tietyssä mielessä muuttuja on aina yksi, kun subjekti lähtee muuttujasta.' ?"
Kaikki maailmassa koostuu äärettömästä määrästä muuttujia ja muuttujien muuttujia.
Subjekti lähtee aina jostain muuttujasta.
Paradoksit ovat seurausta siitä, kun kieltä on käytetty väärin, eli matematiikan sääntöjä on rikottu. Samoin äärettömät vastaukset.
"Esim. haluan tähdentää, että 0.3333... ei ole missään mielessä 'epätarkka' merkintä, vaan sillä on erittäin täsmällinen merkitys."
Kyllä. Tämä juuri onkin merkittävää. Vaikka luku on näennäisesti epätarkka, sillä on tarkka merkityssisältö.
Samalla tavalla mm. Russellin "paradoksilla" on tarkka merkityssisältö, vaikka ilmaus onkin itsensä kanssa ristiriitainen.
Matematiikka viittaa aina itseensä, joten viitattaessa ulkoiseen, ollaan oltu kykenemättömiä hyväksymään ilmauksen muotoa ja ymmärtämään sen merkitysisältöä.
Viitattaessa toiseen, kuitenkin ilmaus kehittyy näennäisesti äärettömästi, mutta sen merkityssisältö pysyy samana.
... ei varmaan olekaan, jota ei saisi näyttämään epäselvältä tai kieleltään ongelmalliselta, kun asiaa vääntää liian psykologisesti tai filosofisesti.
Hauskin kommentti on juuri tämä 'en ymmärrä matikkaa, mutta ymmärrän matikan filosofiaa'. Siinä on päivän mojovin paradoksi kerrassaan.
Matematiikkaa opiskeleva joutuu väistämättään kosketuksiin aiheen filosofian kanssa. Pelkkää filosofiaa opiskeleva luulee tietävänsä kaiken kaikesta, tietämättä siitä mitään. Asiat tulkitaan miten sattuu, kun ei ole otepintaa itse aiheeseen.
Filosofia ei ole omalta kieleltään minkään muun yläpuolella, vaan jopa toisin päin. Filosofia on hyödyllistä silloin kun se on melkeinpä erottamaton osa tutkittavaa aihetta. Matematiikan filosofia on mm. kategoriateoriaa tai joukko-oppia, eli oikeaa matematiikkaa.
Esim. tässä hyvä filosofinen teksti siitä, milloin kaksi asiaa ovat yhtäläiset: http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf . Tuo teksti on matematiikan essee.
Sitten on olemassa matemaatikoita/filosofeja kuten Gödel, joilla oli henkilökohtaisia uskomuksia/vakaumuksia matematiikasta. Ne eivät ole kaikki matematiikkaa tai filosofisia 'totuuksia'. Usko maailmankaikkeuden ykseyteen ei liity matikkaan kuin tunnepuolella.
Mielestäni on tärkeää, ettei filosofian tai psykologian itse tarkoitus ole puhua yksinkertaisista ja selvistä asioista 'hienoin sanoin', vaan oikeasti ottaa selvää asian taustoista.
kyllä surkea. Tarkoitin nyt lähinnä vain sitä, että jos meillä on sarja 1-1 1-1 1-1 ... niin miten tämä lasketaan ? Jos lasketaan (1-1) (1-1) (1-1) ... niin saadaan 0 0 0 ... jonka osasummien jono suppenee nollaan. Jos taas lasketaan 1 (-1 1) (-1 1) (-1 1) ... niin saadaan 1 0 0 0 ... jonka osasummien jono suppenee kohti ykköstä. No, alkuperäinen sarja ei matemaattisessa mielessä suppene kun sillä ei ole yksikäsitteistä summaa. Mutta intuitiivisesti sen summan voisi laskea kummalla tahansa ylläolevalla tavalla ja saadaan ihan järkevä arvo. Joten tiettyä pakottamista hommassa mielestäni on. Se, että matematiikka on selvinnyt asiasta rajaamalla tällaiset tapaukset käsittelyn ulkopuolelle tekee sisäpuolesta tältä osin tyydyttävän mutta kokonaisuus jää kyllä vähän auki.
... ei ole tässä tapauksessa matemaatiikassa, eikä edes notaatiossa, vaan sanassa 'intuitiivisesti'.
Nimittäin ääretön summa ei ole matemaattisena objektina aivan samanlainen kuin äärellinen summa.
Jos sinulla on kaksi Suppenevaa ääretöntä summaa, voit lisätä ne toisiinsa, ja saat tulokseksi juuri sen mitä olettaisit.
Sen sijaan sama ei päde, jos lisäilet toisiinsa Suppenemattomia summia.
On totta, että äärettömyyksiä ei voi käsitellä aivan samalla intuitiolla kuin äärellisiä, mutta sama pätee lähes kaikkeen yliopistomatikkaan. Emme esim. työskentele vain 3-ulotteisten reaaliavaruuksien kanssa, vaan mielivaltaisten topologisten avaruuksien kanssa. Osa näistä ei edes muista avaruutta millään perinteisellä intuitiolla. Tästä saamme palkkioksi todella yleisiä, ja moneen eri käyttötarkoitukseen soveltuvia teoreemia.
Yhtenemättömyys (esim. äärellisiin summiin) ei ole niinkään matematiikan 'vika', vaan sen ominaisuus. Yksi tärkeimmistä opetuksista on se, että intuitiosta pitää osata jossain määrin luopua, kun yleistetään teoriaa.
Ääretöntä summaa ei voi ajatella 'merkkien jonona', vaan tietyn jonon raja-arvona. Äärelliset summat ovat yksinkertainen ja mielenkiinnoton 'erikoistapaus', joita voi ajatella 'merkkien jonona' nimenomaan siksi, että sulkeiden ja laskujärjestyksen muutokset voidaan todistaa sallituiksi. Samat todistukset eivät päde äärettömiin summiin -- tässä luonnollinen selitys.
Asiaan ei liity yhtään mitään 'salailua, rajaamista, pakottamista' . Kokonaisuus ei tässä tapauksessa jää edes auki, kunhan kartutat vähän matikan tietoutta arvailujen ja 'intuition' sijaan.