Olen yrittänyt tutustua noihin Clay-instituutin ratkaisemattomiin ongelmiin, ja mietinkin, että mikä näissä ongelmissa mahtaa olla niin vaikeaa? Ehkä eniten kiinnostaa Riemannin hypoteesi ja Birch & Swinnerton-Dyerin konjektuuri. Hodgen konjektuurista en ymmärrä koko kysymyksen asettelua. Lähinnä mietin, että mikä Riemannin hypoteesin todistamisessa on niin vaikeaa? Tarvittavia työkaluja ei vaan ole, vai mitenkä? Mikä näissä mättää?`Ei varmaan tarvitse selittää, etten ole matematiikan opiskelija.
Ratkaisemattomat ongelmat
ttttt
7817
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Jos tietäisimme 'miksi' ongelma on niin vaikea, olisimme jo puolivälissä sen ratkaisemisessa. :)
Toki on mahdollista kuvailla miksi ongelma on vaikea vanhoilla nikseillä yrittäessä, mutta tämä ei auta kovinkaan paljoa.
Joskus pitkäaikaiseen ja vaikeaan ongelmaan löytyykin helppo ja suoraviivainen ratkaisu. Yleensä emme ole ihan näin onnekkaita.
Vaikeus on siinä, että emme tiedä miten asiaa tulisi lähestyä. Vertaa Eternity II-palapeliin, johon on 2 miljoonan palkinto. Palapeli on helppo luoda, mutta lähes mahdoton ratkaista, sillä mahdollisia kombinaatioita on liikaa.
Esim. alkulukuja koskevat ongelmat ovat usein siksi vaikeita, että alkuluvuista tiedetään niin vähän, ja ne myöskin esiintyvät liian satunnaisesti. Riemann hypothesis liittyy alkulukuihin, eikä ole yllättävää, että sen yhteydessä saamme erittäin satunnaisen näköisiä funktioita.
Jotkut ongelmat antavat paljon vapauden asteita (neliväriteoreema, täydellisen solmu-invariantin löytäminen jne.) jolloin ratkaisun vaikeus perustuu tarttumapinnan puuttumiseen. Tällöin haasteena ja ratkaisumallina on löytää rajoituksia, joilla voimme kaventaa tarkistettavien tapausten määrää. Näistä neliväriteoreema on ratkaistu niin.
Jotkut ongelmat ovat vaikeita siksi, että ne voidaan osoittaa olevan yhtä vaikeita kuin jokin olemassaoleva, erittäin vaikea ongelma, esim NP-P ongelma. Tietyt ongelmat voidaan jopa osoittaa ratkaisemattomiksi nykyaksioomilla -- ei ole etukäteen siis edes selvää onko Riemann hypoteesilla todistusta.
... pähkinänkuoressa: Ongelmat ovat yleensä vaikeita juuri siksi, että emme tiedä 'miksi' ne ovat vaikeita.
Kuvittele olevasi sokea, ja sinut laitetaan kulkemaan satoja tuhansia risteyksiä sisältävään sokkeloon. Miten löydät perille? Matematiikan vaikeus on vähän samantyyppistä: Mahdollisia yritelmiä on rajattomasti, toisin kuin ratkaisuja.
En itsekään tiedä mikä siinä ongelmassa on tarkalleen niin vaikeaa, mutta matemaattisen koulutuksen saaneena voin verrata muihin ongelmiin. Ongelman vaikeuden selittäminen asiaan perehtymättömälle on vähän kuin yrittäisi selittää kuurolle miksi Beethovenin yhdeksässinfonia on erinomainen. Tehtävä on hankala, koska ratkaisu on niin vaikea (jos sitä on olemassakaan). Monien matemaattisten ongelmien ratkaisu yleensä vaatii ongelman jakaminen tiettyihin patologisiin erityistapauksiin. Joskus ongelma on se, että näitä tapauksia on aivan liikaa. Joskus ongelma on se, että tämä erikoistapauksiin jakaminen itsessään on hankalaa. Joskus vain jokin erikoistapaus on vain todella, todella patologinen ja siihen ei saada otetta. Joskus vastausta vain haetaan väärästä paikkaa.
... kannattaja voisi sanoa, että ratkaisematon ongelma on vaikea siksi, että se on ratkaisematon. :)
Ajatellaanpa vaikka viidennen asteen polynomiyhtälöä, jolle ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Intuitiivisesti ratkaisukaavan olemassa olo saattaa tuntua selvältä - pystytäänhän pienellä pyörittämisellä ratkaisemaan kaikki pienempiasteiset yhtälöt.
Toki ratkaisukaava pystytään kehittämään vaikka kuinka moniin erikoistapauksiin, mutta yleistä ratkaisukaavaa ei ole todellakaan olemassa. Tämä on todistettukin, mikä taas osoittaa "puhtaan" matematiikan hyödyllisyyden.
Se on taas sitten oma juttunsa, puuttuuko nykymatematiikasta työkalut yhtälön ratkaisemiseen.
Viidennen asteen yhtälön ratkaisemattomuushan on päivänselvää jo 16-vuotiaalle koulupojalle. Ainakin Abelille oli.
... todistus 5.asteen kaavattomuudesta on nykyteorian valossa erittäinkin helppo.
Mutta tuolta näkökannalta menee syy-ja seuraussuhteet vähän väärin -- nimittäin Galois-teorian kehittäminen ongelman ratkaisemiseksi oli nimenomaan se voima, joka vei algebraa eteenpäin -- ja mahdollistaa ratkaisun 'helppouden'. Joku voisi sanoa, että se oli nykyaikaisen algebran lähtösykäys.