Olisi tällainen tehtävä:
Osoita derivaatan määritelmän avulla, että funktio f(x)=/x-2/ ei ole derivoituva kohdassa x=2.
(Kauttaviivat ovat itseisarvon merkkejä.)
Kun itseisaervomerkit poistetaan, niin saadaan:
f(x)=-x 2
f(x)= x-2
Nuo "=" (on-merkit) täytyisi korvata "suurempi tai yhtä suuri kuin" ja "pienempi kuin" merkeillä, mutta mikä määrää kumpaan laitetaan "pienempi kuin" ja "suurempi tai yhtäsuuri"-merkki?
Osoita derivaatan määritelmän avulla, että funktio f(x)=/x-2/ ei ole derivoituva kohdassa x=2.
(Kauttaviivat ovat itseisarvon merkkejä.)
Kun itseisaervomerkit poistetaan, niin saadaan:
f(x)=-x 2
f(x)= x-2
Nuo "=" (on-merkit) täytyisi korvata "suurempi tai yhtä suuri kuin" ja "pienempi kuin" merkeillä, mutta mikä määrää kumpaan laitetaan "pienempi kuin" ja "suurempi tai yhtäsuuri"-merkki?
Vastaukset 6
Vanhimmat
funktiolla on derivaatta pisteessä x=2, mutta derivaatan arvo riippuu siitä, kummalta puolelta arvoa 2 lähestytään. Tavallisesti sanotaan, että funktiolla on toispuoleiset derivaatat.
Mihin tarkoitukseen nuo "suurempi kuin"-merkit tarvitaan? Haluatko esittää, että derivaatta on 1, kun x on suurempi kuin 2, ja -1, kun x on pienempi kuin kaksi?
"-- funktiolla on derivaatta pisteessä x=2, --"
Ei ole derivaattaa tuossa pisteessä. Toispuoliset derivaatat kyllä on mutta derivaattaa ei. Derivaatta on toki eri asia kuin toispuolinen derivaattaa.
Alkuperäinen kysyjä taas päässee eteenpäin, kun kertaa, miten itseisarvot poistettiinkaan. Siinä kohtaa nimittäin meni pieleen.
Funktiolla ei todellakaan ole derivaattaa tuossa kohdassa, mistään suunnasta -- mitän piirrät hatun kärkeen tangentin?
Derivaatan olemassaolemattomuuden todistus: Oikeanpuoleinen derivaatta olisi välttämättä 1, jos se olisi olemassa -- ja vasemmanpuoleinen olisi välttämättä -1, jos se olisi olemassa. Mutta 1 ei ole -1, joten derivaattaa ei voi olla olemassa (derivaatta on ainutlaatuinen).
Taisin unohtaa tuossa toispuoleisen derivaatan määritelmän. Pahoittelut siitä -- näitä tarvitaan harvoin.
Sovelluksissa oikean- ja vasemmanpuolisia derivaattoja tarvitaan mm. erilaisten käyrien jatkuvuustarkasteluissa.
En juurikaan harrasta sovelluksia, mikä selittää aika paljon... :)