Itseopiskelen Greenbergin kirjaa Euclidean and Non-Euclidean Geometries. Osaattekohan auttaa seuraavassa.
On osoitettava, että jos jossain euklidisen geometrian mallissa on vain äärellinen määrä pisteitä, on jokaisella mallin suoralla yhtä monta pistettä. Todistuksessa saa käyttää vain suorallaolemisen (incidence) kolmea aksioomaa ja euklidista yhdensuuntaisuusominaisuutta.
Tehtävä on varmaan ihan iisibiisi, mutta minulla ei sytytä. Toistaiseksi olen saanut aikaan vain joitain onnettomia räpellyksiä, jotka eivät kestä päivänvaloa.
Kiitos!
On osoitettava, että jos jossain euklidisen geometrian mallissa on vain äärellinen määrä pisteitä, on jokaisella mallin suoralla yhtä monta pistettä. Todistuksessa saa käyttää vain suorallaolemisen (incidence) kolmea aksioomaa ja euklidista yhdensuuntaisuusominaisuutta.
Tehtävä on varmaan ihan iisibiisi, mutta minulla ei sytytä. Toistaiseksi olen saanut aikaan vain joitain onnettomia räpellyksiä, jotka eivät kestä päivänvaloa.
Kiitos!
Vastaukset 6
Vanhimmat
Jos pisteitä on vain äärellinen määrä, voiko olla suoria? Miten suorat määritellään ko. malleissa?
... 'perinteisessä merkityksessä', mutta pitää muistaa, että nyt puhumme täysin aksiomaattisista malleista, joissa suora on yksinkertaisesti pisteiden joukko, joka täyttää tietyt aksioomat.
Tehtävähän ei ota edes kantaa siihen, onko ylipäätään olemassa euklidisia geometrioita, joissa on äärellinen määrä pisteitä... :) En tiedä vastausta, eikä sillä ei ole tässä väliä.
Se mitä kysyttiin oli, että Jos sellainen geometria olisi (eli aksioomat täyttyisivät), niin silloin jokaisella suoralla olisi sama määrä pisteitä...
En ole täysin varma todistuksestani, sillä en ole koskaan lukenut aihetta yksityiskohtaisesti, mutta tässä yritelmä:
Valitse jokin suora L', jolla on maksimimäärä k>1 pisteitä.
Ota mikä tahansa suora L != L'. Haluamme osoittaa, että suoralla L on k pistettä. Meillä on kaksi vaihtoehtoa:
a) L ja L' ovat yhdensuuntaisia. Valitse jokin piste P suoralla L' , ja Q suoralla L. On olemassa suora PQ. Yhdensuuntaisuusominaisuuden takia on olemassa PQ:n kanssa yhdensuuntainen suora jokaisen L' pisteen läpi. Nämä ovat selvästikin eri suoria, ja leikkaavat suoran L eri pisteissä. (Tarkenna yksityiskohdat, jos haluat.) Siispä L sisältää vähintään k pistettä.
b) L ja L' eivät ole yhdensuuntaisia. Tällöin niillä on yhteinen piste P (johdettavissa incidence-aksioomista). Olkoon Q toinen piste suoralla L. Voimme piirtää suoran L*, joka sisältää pisteen Q ja on yhdensuuntainen suoran L' kanssa. Kohdasta a) tiedämme, että L* sisältää k pistettä. Valitse piste S != P suoralla L'. Ainoastaan yksi pisteen S ja suoran L* välisistä k:sta suorasta voi olla yhdensuuntainen L kanssa. Siispä k-1 näistä suorista leikkaa L:n erillisissä pisteissä, joista mikään ei ole P. (Tarkenna yksityiskohdat, jos haluat.) Yhdessä P:n kanssa, saamme näin k eri pistettä suoralle L.
QED
No niin, sieltähän se apu tulikin! Kiitos!
En ollut tajunnut, että esim. a-kohdassa PQ:n kanssa yhdensuuntaiset suorat leikkaavat suoran L todellakin erillisissä pisteissä. Niinhän se tietenkin on.
Mitä tulee siihen, onko tällaista euklidisen geometrian mallia olemassa, niin onhan sellainen. Yksinkertaisin on seuraava: Sovitaan, että tetraedrin kärjet ovat "pisteitä" ja särmät "suoria". "Piste" on "suoralla", jos kärki on särmällä. Tämä tulkinta toteuttaa insidenssigeometrian aksioomat ja sillä on euklidinen yhdensuuntaisuusominaisuus. Se on siis malli.
...meidän pitäisi tarkistaa aksioomista, että pisteet todellakin ovat erillisiä. ;)
Esim. a-kohdassa todistus olisi tämäntyyppinen: Oleta, että kaksi yhdensuuntaisista suorista leikkaavat L-suoran samassa pisteessä. Mutta yhdensuuntaisuusperiaate sanoo, että tuon pisteen kautta kulkee ainutlaatuinen tuonsuuntainen suora. Siispä yksi suora leikkaa alkuperäisen suoran k:ssa eri pisteessä. Mutta incidence-aksioomista seuraa, että epäyhdensuuntaiset suorat leikkaavat ainutlaatuisessa pisteessä. (Suorat ovat todellakin epäyhdensuuntaisia alkuperäisen kanssa, sillä ainoa sen suuntainen suora on jo annettu, yhdensuuntaisuusperiaatteen kanssa.)
Eli tuollaisia asioita päässäsi pitäisi liikkua, mutta kaikkea ei yleensä kirjoiteta... :)