Ruutupaperille on piirretty viisi ympyrää, joiden säde on 1. Ympyröiden keskipisteet ovat kohdissa (1,1) (1,3) (1,5) (3,1) ja (3,3)
o
oo
oo
Jaa nämä viisi ympyrää suoralla niin, että suoran molemmille puolille jää ympyröistä täsmälleen 2,5 ympyrän pinta-alaa vastaava alue (alue voi muodostua useammasta kuin kolmesta osasta). Lisäksi suora pitää piirtää siten, että sille voidaan antaa vähintään kaksi kokonaisluvuista koostuvaa koordinaattia eli esimerkiksi (2,1) ja (1,3). EI (1.135, 2.315) jne.
PS. Ratkaisuja on useita, kuka löytää ne kaikki ensimmäisenä?
o
oo
oo
Jaa nämä viisi ympyrää suoralla niin, että suoran molemmille puolille jää ympyröistä täsmälleen 2,5 ympyrän pinta-alaa vastaava alue (alue voi muodostua useammasta kuin kolmesta osasta). Lisäksi suora pitää piirtää siten, että sille voidaan antaa vähintään kaksi kokonaisluvuista koostuvaa koordinaattia eli esimerkiksi (2,1) ja (1,3). EI (1.135, 2.315) jne.
PS. Ratkaisuja on useita, kuka löytää ne kaikki ensimmäisenä?
Vastaukset 15
Vanhimmat
... repäissyt kysymyksen? Se vaikuttaa hankalalta, eikä mielestäni ole mitään selvyyttä, että ratkaisujen määrä olisi välttämättä äärellinen.
Lemma: Minkä tahansa kokonaislukupisteen läpi kulkee jokin 'tasajakosuora', eli suora, joka jakaa ympyröiden muodostaman alueen kahtia.
Todistus. Piirrä pisteen läpi mikä tahansa suora ja anna sille orientaatio. Ellei suora ole tasajakosuora, voimme olettaa, että vasemmalla puolella on vähemmän kuin puolet alueesta (jos ei, orientoi toisin päin). Nyt jos rotatoimme suoraa pisteen ympärillä, täyden kierroksen jälkeen vasemmalla puolella on yli puolet. Koska vasemmalla puolella olevan alueen määrä on muuttunut jatkuvasti, meidän on pitänyt ohittaa jossakin välissä se kohta, missä jako on mennyt tasan. QED
Nyt riittää, että löydämme ne kokonaislukupisteet, joilla on sellainen tasajakosuora, että sen kulmakerroin on rationaaliluku.
Minulla ei ole hajuakaan miten näitä voisi etsiä.
Sen sijaan huomaa, että rationaaliluvut ovat tiheitä reaaliluvuissa, joten minkä tahansa kokonaislukupisteen läpi saamme rationaalikulmakertoimella varustetun suoran, joka on mielivaltaisen lähellä tasajakosuoraa.
Tarkoitin tietysti: 'puolen kierroksen jälkeen'.
Kysymys oli joskus aikoja sitten Tieteen Kuvalehdessä, enkä muista sanatarkasti miten kysymys oli laadittu. Jotta ratkaisujen määrä säilyisi kohtuullisen äärellisissä mitoissa, laitetaan suorien asettelulle vielä pieni lisävaatimus:
Suoran pitää jakaa ympyrät siten, että muodostuvat pinta-alat ovat symmetrisiä suoran molemmilla puolilla (sama määrä kokonaisia, puolikkaita ja yhteneviä segmenttejä).
Sori nkorppi, vastauksesi on varmaankin periaatteellisella tasolla aivan oikein, mutta kysymys oli väärin aseteltu. Hattara pää ja huono muisti vaivaa kysymyksen laatijaa :-)
Jos rajoitetaan tuoksi alueeksi, mistä näitä suorien kokonaislukupisteitä pitää löytyä suorakulmio , jonka kaksi kulmaa ovat (0.5,0.5) ja (3.5,5.5)
Silloin löytyy ainakin seitsemän suoraa, jotka kulkevat seuraavien pisteiden kautta:
(1,1) ja (3,5)
(1,2) ja (3,3)
(1,3) ja (3,2)
(1,4) ja (3,1)
(1,5) ja (2,2)
(1,1) ja (3,4)
(1,1) ja (2,4)
Siinähän olikin näköjään säde 1, eikä halkaisija.
Silloin on ainakin viisi suoraa
suorakulmion (0,0)--(4,6) alueella:
(1,1) ja (3,5)
(1,3) ja (3,2)
(3,3) ja (1,2)
(3,1) ja (1,4)
(1,5) ja (2,2)
(enempää en tätä pohdi)
Itsekkään en tiedä kuin nuo 5 suoraa, enkä usko että muita ratkaisuja enää olisi. Palkintona mainetta ja kunniaa!!! :)
Kaikki ratkaisut voidaan löytää siten, että valitaan jonkin ympyrän keskipiste ja katsotaan miten siitä pisteestä voidaan piirtää suora joka osuisi toisten ympyröiden muodostamaa "symmetriapisteeseen".
Esimerkiksi piste (1,3) on yhden ympyrän keskipiste. Sen ala- ja yläpuolella on ympyrät, jotka melkein väkisin jäävät (1,3) kautta piirrettävien suorien eri puolille. Tämän jälkeen pitää tarkastella mistä löytyy symmetriapiste pisteissä (3,1) ja (3,3) oleville ympyröille, ja sehän löytyy ympyröiden sivuamiskohdasta (3,2).
Mielenkiintonen yksityiskohta suorille on myös se, että 5 suorasta 4 kulkee kahden ympyrän sivuamiskohdan kautta. Vain suora (1,5)-(2,2) ei tee näin, mutta sen suoran symmetriapiste muodostuukin lopuista 4 ympyrästä. Piste (2,1) on ainoa kahden ympyrän sivuamiskohta, jonka kautta ei tule piirrettyä suoraa.
Pitäisi todistaa, että ratkaisut ovat ainoat mahdolliset. Siinähän se varsinainen haaste onkin. Yksittäisillä ratkaisuilla on vain pieni arvo.
Olen lähes varma, että ratkaisuja on Paljon enemmän. En myöskään ymmärrä miksi kaikki ratkaisut menisivät jonkun ympyrän keskeltä??
"Pitäisi todistaa, että ratkaisut ovat ainoat mahdolliset."
Tämän todistaminen matemaattisesti on ainakin minulle liian vaikeaa, mutta todistus voidaan tehdä toisinkin. Antiikin aikojen geometriaa kunnioittaen, tehtävä voidaan osoittaa ratkaistuksi kuvaa tarkastelemalla. Toivottavasti osaan selittää tämän riittävän ymmärrettävästi :)
Kuviota tarkastelemalla voidaan havaita, että kuviossa on pisteitä, joiden kautta osa kuviosta on symmetrinen. Nämä "symmetriapisteet" ovat ympyröiden keskipisteet, ympyröiden sivuamiskohdat ja neljän ympyrän keskellä oleva piste.
* Ympyröiden keskipisteet ovat vain kyseisten ympyröiden symmetriapisteitä, poikkeuksena piste (1,3) joka on symmetriapiste myös ympyröiden (1,1) (1,3) ja (1,5) muodostamalle joukolle.
* Ympyröiden sivuamiskohdat ovat vierekkäisten ympyröiden symmetriapisteitä.
* Neljän ympyrän keskelle jäävä piste on symmetriapiste ympärillä oleville ympyröille.
Jotta kuvion muodostama pinta-ala voitaisiin jakaa kahteen yhtäsuureen ja _symmetriseen_ osaan suoralla, pitää suoran kulkea sellaisten symmetriapisteiden kautta, että ne jakavat koko kuvion symmetrisiin osiin. Ts. pisteiden kautta piirrettävän suoran pitää muodostaa kuviolle "symmetria akseli". Tämä onnistuu ainoastaan silloin, kun kuvion ympyrät jaetaan kahteen alajoukkoon ja suora piirretään näiden näiden valittujen osien symmetriapisteiden kautta.
Esim.1
Jaetaan kuvio osiin: a) Ympyrät (1,1) (1,3) (1,5) b) Ympyrät (3,1) (3,3), eli kaikki mitä jäi jäljelle.
Osan a) symmetriapiste on kohdassa (1,3) ja osan b) (3,2).
Suora (1,3)-(3,2) jakaa kuvion symmetrisiin osiin, joten se täyttää asetetut vaatimukset.
Esim.2
Osat: a) Ympyrät (1,3) (1,5) b) Ympyrät (1,1) (3,1) (3,3).
Osan a) symmetriapiste on kohdassa (1,4) ja osan b) kohdassa (3,1). Symmetriapiste b) ei ole perinteinen symmetriapiste, vaan se on ennemminkin piste, jonka kautta kulkevan janan suhteen joukko-b on tasosymmetrinen.
Suora (1,4)-(3,1) ei leikkaa ympyröitä (1,1) ja (3,3), joten suora täyttää sille asetetut vaatimukset.
Vastaavasti voidaan osoittaa jokainen yksittäinen tapaus, jossa suora piirretään joidenkin kahden symmetriapisteen kautta. Osa suorista toteuttaa ehdon symmetria akselin muodostamisesta ja osa ei. Tämän symmetriavaatimuksen takia voidaan kuitenkin todeta, että kaikki ne suorat, jotka eivät kulje symmetriapisteiden kautta, eivät voi jakaa kuviota symmetrisiin alueisiin.
MOT
... että nämä symmetriarajoitukset tekevät ratkaisemisesta mahdollisen, mutta kovin pakkopullamaisen ja epähauskan.
En ole koskaan innostunut mm. klassisen geometrian diagrammi-todistuksista yms. , puhumattakaan todistuksista, joissa kaikki vaihtoehdot käydään vuoroperään läpi.
Osoitapa, että muita ratkaisuja on olemassa.
Kukaan matemaatikko ei voi julkaista todistusta, jossa lukee: Näyttää siltä, ettei muita vaihtoehtoja ole, joten ellei lukija anna vastaesimerkkiä, asia on selvä. :D
matemaatikkojen kyvyttömyydestä!
Jos heille kelpaa vain jokin viisasteleva akateeminen Latex-skeida, niin sitten ollaan älykkyydestä kaukana! Pönttö päähän ja linnunaivot sisään!
... vastaesimerkkien puutteeseen, silloinhan moni ikuisuuskysymys ratkeaisi matikassa kertaheitolla. Ongelma syntyy siinä vaiheessa, kun 20 vuoden päästä löytyykin vastaesimerkki.
Toki vastaesimerkkejä etsitään matemaatikkojen toimesta, hyvinkin paljon. Mutta niiden näennäinen puute ei ole hyvä argumentti teoreeman puolesta.
Mitähän tuohon sanoisi...
On olemassa monenlaista matematiikkaa ja matemaatikkoja. Toisille riittää pelkkä ratkaisun olemassaolo, toiset ovat myös kiinnostuneet itse ratkaisusta.
Tuota noin. Olisiko nyt niin, että koulussa matematiikan opetus aiheutti "näppylöitä" matematiikkaa kohtaan? Koulumatematiikka sinänsä ei vaadi muuta kuin maalaisjärjen käyttöä, mutta se "kieli", mihin matemaattiset ongelmat "käännetään" on joskus hankalaa ymmärtää.
Tämä meni kyllä ohi topicista, mutta eivät matemaatikot mitään turhaa porukkaa kuitenkaan ole. Miten he sitten ihmisinä käyttäytyvät.. :D