Luin eräästä todistuksesta sellaista, että kun meillä on polynomi x^n a_(n-1)x^(n-1) ... a_1x 1. Se voidaan kirjoittaa muodossa (x-r_1)*...*(x-r_n), missä r_i on polynomin juuri.
Sitten siitä saatiin, että vakiotermi:
1=(-1)^n*r_1*...*r_n
ja lineaarinen termi:
a_1=Summa(i=1, n)[(-1)^(n-1)*r_1*...*r_n/r_i]
Josta saadaan a_1/1=-Summa(i=1, n)[1/r_i]
Esim. x^3 3x^2 3x 1 = (x 1)^3 eli sen juuret ovat -1, -1 ja -1. (-1)^3(-1)*(-1)*(-1)=1
Tätä ja tietoa funktion sin x sarjakehitelmästä käytettiin sitten harmonisen sarjan arvon todistamiseksi pi^2/6
Mutta sitä kysyisin, että mitenkäs, jos tuolla polynomilla ei olekaan n:ää reaalijuurta. Entä, jos ne ovat imaginäärisiä?
Sitten siitä saatiin, että vakiotermi:
1=(-1)^n*r_1*...*r_n
ja lineaarinen termi:
a_1=Summa(i=1, n)[(-1)^(n-1)*r_1*...*r_n/r_i]
Josta saadaan a_1/1=-Summa(i=1, n)[1/r_i]
Esim. x^3 3x^2 3x 1 = (x 1)^3 eli sen juuret ovat -1, -1 ja -1. (-1)^3(-1)*(-1)*(-1)=1
Tätä ja tietoa funktion sin x sarjakehitelmästä käytettiin sitten harmonisen sarjan arvon todistamiseksi pi^2/6
Mutta sitä kysyisin, että mitenkäs, jos tuolla polynomilla ei olekaan n:ää reaalijuurta. Entä, jos ne ovat imaginäärisiä?
Vastaukset 2
Vanhimmat
voi käydä. Sillä voi olla kompleksinen liittolukupari juurina eli noitten juurien pitää kyllä olla pohjimmiltaan kompeksisia. Se ei kuitenkaan häirinne tuota teoriaosuutta tuossa.
Ei mitään. ;)