miten lasketaan jollekkin funktiolle suurin ja pienin arv0?
suurin ja pienin
ar vo ?
7338
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Riippuu millaisesta funktiosta on kysymys. Yleistä menetelmää ei ole joka pätisi kaikkiin funktioihin (ja ainahan pienintä ja suurinta arvoa ei edes ole)
Jos f:R->R ja f derivoituva, niin mahdolliset maksimi ja minimi löytyvät derivaatan nollakohdista.
Eli ratkaise f'(x)=0 ja tutki ratkaisuista ne jotka saavat suurimman ja pienimmän arvon.
Jos aluetta on rajoitettu ja suljettu, niin suurin tai pienin arvo voi löytyä myös reunalta
eli f:R->R tapauksessa välin päätepisteistä.
"Jos f:R->R ja f derivoituva, niin mahdolliset maksimi ja minimi löytyvät derivaatan nollakohdista. "
Eikös ääriarvot voi löytyä myös derivaatan epäjatkuvuuspisteissä?
Ehkäpä unohdit sellaisen triviaalin seikan, että derivoituva funktio on myös jatkuva.
Reaalianalyysin opinnoista on aikaa, mutta tuon derivoituvan funktion jatkuvuuden muistin. Tarkoitin tilannetta, jossa funktio on derivoituva, mutta derivaatta ei ole jatkuva. Muistaakseni eräs tällainen funktio on
f(x) = x^2 sin(1/x), kun x ei ole nolla,
f(x) = 0 kun x = 0.
Noniin, olisi pitänyt lukea paremmin. Sori.
Mutta joka tapauksessa, en usko että derivaatan epäjatkuvuus tuottaisi mitään ongelmia. Intuitiivisesti mitään ongelmia ei ainakaan pitäisi olla.
Ks. esim:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_theorem_(stationary_points)
Pikaisella pähkäilyllä asia menee seuraavasti. Korjatkaa ja täydentäkää, jos aihetta.
Yleensä tosiaan sanotaan, että ääriarvo voi olla (1) derivaatan nollakohdassa, (2) määrittelyvälin päätepisteessä tai (3) kohdassa jossa derivaattaa ei ole. Tuo kriteeri (1) on kuitenkin turhan tiukasti muotoiltu, arvatenkin siksi, ettei sovelluksissa usein tule vastaan kaikkialla määriteltyjä mutta jossain epäjatkuvia derivaattoja. Löyhempi kriteeri olisi: ääriarvo voi olla
(1') kohdassa, jossa derivaatta vaihtaa merkkinsä.
Tällaisessa kohdassa derivaatta tietenkin käy nollassa, jos se on jva. Jos se ei ole jva, se ei välttämättä käy nollassa, mutta itse funktion monotonisuus vaihtuu silti, jos vain derivaatan merkki muuttuu.
Ääriarvokohdissahan on tosiaan kyse funktion monotonisuusominaisuuden vaihtumisesta.
... on jatkuva ja määritelty vaikkapa välillä [0,1], tulee kirjata muistiin arvot f(0) ja f(1). Tämän jälkeen, jos funktio on derivoituva, laske f' ja etsi nollakohdat. Kirjaa f:n arvot näissä nollakohdissa myös paperille. Vertaa kirjoittamiasi arvoja keskenään.
Jos derivoituvuutta ei ole, yritä piirtää funktion kuvaaja derivoituvissa osissa ja mieti osia erikseen... tms.
Jos jatkuvuutta ei ole, mieti asiaa tilanteen mukaan eri tavalla.