Opiskelin yli 35 v sitten matematiikkaa ja filosofiaa, molempia cumun verran. Silti, tai sen vuoksi, olen edelleen jokseenkin täysjärkinen. Synnyissä syvissä oli erilaisia näkemyksiä kysymyksestä "Onko matematiikalla tutkimuskohdetta?".
Mitähän nykyään väitetään, vai onko kysymys hyödyttömänä kuopattu?
Mitähän nykyään väitetään, vai onko kysymys hyödyttömänä kuopattu?
Vastaukset 20
Vanhimmat
Ei tekuja ole enää olemassakaan, saati sitten keskustekua. Ne ovat nykyään ammattikorkeakouluja.
... ymmärrä kysymystä, sillä matematiikkahan on (itsestäänselvästi!) elintärkeää kaikkien tieteiden tutkimuskohteissa, mukaan lukien matematiikan itsensä kehittämisessä. Jälkimmäistä ei sovi aliarvioida, sillä se on epäsuorasti kehittämässä kaikkea ajattelua ja tiedettä.
Tuossa on esimerkki puhtaan matemaattisen teorian suorasta soveltamisesta esim. DNA-jonojen tutkimiseen:
http://research.janelia.org/myers/Papers/string.graph.pdf
... hieman syvempää filosofista keskustelua, jota sivuat sivulauseella "... mukaan lukien matematiikan itsensä kehittämisessä". Siis oikeastaan matematiikan itseriittoisuus tieteenä. Filosofiassa keskustelua on käyty mm. idealismi vs. materialismi -ympyröissä.
[Soveltaminen ei ole minulle vaikeaa: teen sitä itsekin,lähinnä operaatioanalyyttisiä malleja ja sovellan tilastollisia monimuuttujamenetelmiä työssäni].
... vähän syvempää yhteyttä kaikkeen tietoon ja oppimiseen kuin pelkkää soveltamista.
Sitä paitsi uusia sovelluksia ei tule, jos matikkaa ei kehitä ihan itsessään.
Eikä sovelluksia edes tarvitse löytää, ja silti ollaan tehty jotain arvokasta, löytämällä uutta tietoa avoimiin kysymyksiin. Se kehittänee ihmiskunnan ajattelukykyä.
Olisko sun ajatuksissa sellainen, kuin että "kemia tutkii sitä, miten aineet muuttuvat toisiksi aineiksi" tai "fysiikka tutkii, miten voimat vaikuttavat aineeseen" tms. Siis sellaista lyhyttä ytimekästä määritelmää matematiikasta tieteenä, missä se kohdekin sanottaisiin?
Ja sitten keskustelua erilaisista määritelmistä jne?
Joo, ei mitään hajuakaan.
Miten olisi: Matematiikka on kieli, jonka avulla voidaan formaalisti muodostaa erilaisia malleja kuvaamaan relaatioita asioiden välillä yhteisesti sovittujen perusolettamusten vallitessa.
Tai sitten ei. :-)
1 1=2, mutta voi se olla muutakin.
Minua ainakin matikassa kiehtoo sen rajattomuus ja määriteltämättömyys. Se on kuin mystinen liima, joka pitää loogisen ajattelun koossa, mutta josta ei koskaan tiedetä kaikkea.
... melkoista "eksistentialismia" :-). Onneksi puhut vain siitä, mikä Sinua matematiikassa kiehtoo. Rautasulaton duunarille voi olla kaunein ja mitä mystisin näky, kun ruosteiseta romuraudasta syntyy terästä, tietämättä miksi, ja mikä on koko prosessin tarkoitus.
Selvennän ilmaanheitettyä kysymystäni, kun palaan maailmoilta kotikirjojen ääreen, muutaman näkemyksen sitten peliin heittäen.
Pieni diletanttiloogikon kysymys kuitenkin: pitääkö matematiikka loogista ajattelua koossa vai päinvastoin? Vai lieneekö henkilökohtaista?
sovitaan.
Eritoten minua pelottaa tuo esille noussut ajatus matematiikasta matematiikan takia.
Minusta tuollainen ajatuskulku johtaa helposti syvään kuiluun joka imaisee ihmisen mielenkiinnon ja ajatukset asioihin joilla on hyvin vähän, jos yhtään, tekemistä todellisuuden ja todellisten ongelmien kanssa.
Minusta se on juuri se kosketuspinta todellisuuden ja matematiikan välillä joka on se hedelmällinen alue, keidas aksioomien keskellä.
Aivan kuin matematiikka olisi autiomaa, kaikkialle ulottuva mutta sinällään tyhjä, vailla merkitystä.
... suhteellisen järkevät, matikkaa ei tarvitse pitää koossa loogisella ajattelulla. Eli sanoisin, että kaikki matemaattiset ajatukset ovat jo 'olemassa' ja ne vain täytyy löytää.
Se on kuin pimeä luola, täynnä älyä, josta arkeologit sokkona poimivat älyn kultahippuja.
Mutta se on siinä mielessä henkilökohtaista, että itse uskon juuri sentyyppiseen, että kaikki tapahtumat, menneet ja tulevat, ovat jo 'olemassa'. Matikan totuudet eivät ole uskon asia, mutta yhä löytämättömien totuuksien olemassaolo voi olla.
Kuka määrittelee mikä on todellista?
Nykypäivänä esim. tietokonepeliteollisuus on suurempi kuin elokuvateollisuus. Monet viettävätkin suuren osan ajastaan tietokoneella. Eikö se ole oikeaa elämää?
Matematiikkaa tuntevalle se maailma on ihan yhtä konkreettinen ja luonnollinen kuin esim. pelin virtuaalimaailma on peliharrastajalle.
Vaikka tietystä asiasta ei olisi Suoraa hyötyä arkipäivän ongelmiin, siitä voi olla ratkaisevaa epäsuoraa hyötyä ihmisten ajattelukyvyn kehittymiseen.
Ei ole historian valossa mitenkään mahdotonta, että esim. täysin abtrakti matikka johtaa uusiin ajatustapoihin, joilla ratkaistaan energiaongelmat tai ilmastonmuutos. Vaikka näin ei tapahtuisikaan, ajattelukyky on saattanut kehittyä niin paljon, että löydetään muita keinoja. Ja vaikka Näinkään ei olisi, mitään suurta rahallista tuhlausta tai vaarallista kuilua ei ole.
Lähes poikkeuksetta kyseessä on EI-harrastaja, joka kuvailee muiden harrastuksen tai työn hyödyttömyyttä. Syy ei ole harrastuksen hyödyttömyydessä, vaan ei-harrastajan ennakkoluuloista ja epätietoisuudesta.
Matematiikka ei ole missään mielessä tyhjä. Voin antaa sinulle esimerkkejä neljänlaisista tuloksista matikassa:
1) Niistä jotka ovat suoria sovelluksia maailmaan
2) Niistä, jotka ovat abstrakteja, mutta niillä on silti lähes suoria sovelluksia maailmaan.
3) Niistä, jotka ovat abstrakteja, eikä niillä ole mitään suoria sovelluksia maailmaan, mutta olivat erittäin ratkaisevia 1) ja 2)-kohdan tulosten kehittämisessä.
4) Niistä, joilla ei ole (vielä) mitään epäsuoria tai suoria sovelluksia 'maailmaan', mutta luovat uusia ajattelutapoja. Ne ovat oma 'maailmansa', joka ei välttämättä ole 'tosimaailmaa' yhtään huonompi.
Yhteistä kaikille näille on se, että niillä on yhteyksiä toisiinsa. Aivan SAIRAASTI yhteyksiä -- matikan eri muodot ovat melkein kuin neuroverkko, niin paljon kytköksiä eri alueiden välillä, että koko Matematiikan kuva muistuttaa ihmisaivoja.
Jos ihmisaivoista poistetaan näennäisesti 'tyhjä' ja 'hyödytön' alue, voi olla että aivot eivät enää toimikaan ihan yhtä hyvin. Matematiikka on täsmälleen samanlainen asia.
... huomauttaa, että matematiikkaa tehdään juuri siksi, että sillä ON paljonkin tekemistä tosielämän kanssa, vaikka siltä ei aina pinnallisesti näyttäisi.
Ihminen oppii kokemuksesta. Se on huomannut, että vaikka matikka ei olisi konkreettista samalla tavalla kuin puutarhanhoito, sillä on pitkällä tähtäimellä aina ollut suurta hyötyä ihmiskunnan kehittymiseen.
Jos näin ei olisi, matikka olisi kuollut ja kuopattu jo monta kertaa -- miksi tehdä yhtä 'tyhjää' asiaa mieluummin kuin toista. Voisimmehan vaikka lyödä toistuvasti kattilan kantta?
Matikan tekemiseen on syitä:
1) Historian valossa se on tärkeää kaikenlaisen älyllisen kehityksen tueksi.
2) Se on kaunista taiteenlajina ja hauskaa viihteenä. Taiteen hyöty on kulttuurillinen -- se tekee ihmisiä iloisiksi ja rikastuttaa elämää. Yksinkertaisimmillaan matemaattinen orgasmi voi vaikka olla vaikean sudokun ratkaiseminen.
3) Se on hyödyllistä teollisuuden ja luonnonsuojelun ym. käytännön tieteen ongelmiin. Tarvitaan paljon optimointia, että käytetään rajallisia luonnonvaroja oikein. Tähän puolestaan tarvitaan huimasti abstraktia teoriaa.
Lopuksi haluan vielä puolustaa 'matikkaa matikan takia' .
En halua siis nojata tässä 'tosielämän hyötyihin', mutta sanon kuitenkin tämän: Kapitalisti uskoo, että itsekäs teko voi johtaa yleiseen hyötyyn. Vaikka en ole täysin samaa mieltä, uskon että vaikka matemaatikko tekeekin 'matikkaa matikan takia', siitä on SILTI paljon yleistä hyötyä, ellei jopa enemmän. (Jos yrittää tehdä jotakin liikaa, voi olla ettei luo merkittävää uutta, koska matkii vanhoja malleja. Jos puolestaan tekee jotain omaksi ilokseen, voi keksiä jotain ihan uutta ja mullistavaa.)
Okei, se yleisestä hyödystä.
Yksi vastaus on, että miksi ei saisi tehdä matikkaa sen itsensä takia? Mitä haittaa siitä on, jos joku haluaa sitä tehdä?
Onko kritisoija vihainen jonkin todellisen uhan takia, vai vihainen siksi, että joku muu ymmärtää jotakin mitä hän ei koskaan tule ymmärtämään? Jotkut ihmiset vaivaantuvat, jos eivät tiedä kaikkia mahdollisia asioita. Näiden asioiden pitäisi siis kadota pois ärsyttämästä heitä. Tämä ajattelu on vielä itsekkäämpää kuin itse matemaatikon, ja siitä voi muodostua todellinenkin uhka maailmalle.
Toinen on asennekysymys. Ihmiselle, joka on ennalta päättänyt, että matikka 'ei ole mitään', on selvää että sitä ei kannata tehdä itsensä takia. Mutta niille, jotka sitä tuntevat, se on 'varmasti jotakin', jolloin sitä kannattaa tehdä itsensä takia.
Jos minä olisin kiduksia käyttävä kala, ja sanoisin että 'keuhkoilla hengittäminen' ei ole mitään, lakkaisitko hengittämästä? Kalan maailma ei ole täysin sama kuin ihmisen. Matemaatikon maailma ei ole täysin sama kuin ei-matemaatikon.
Tarvitaan muutama perusoletus, joiden avulla voidaan osoittaa mitä ihmeellisimpien asioiden olevan (absoluuttisen) totta tai sitten epätotta.
Tämä jos mikä antaa todellisuudessa olevien todellisten ongelmien mallintamiseen vankan pohjan. Matemaattiset perusoletukset ovat yleensä "itsestäänselvyyksiä", mutta voi niitäkin toki kyseenalaistaa.
1 1=2 on totta monessa tapauksessa, mutta myös 1 1=0 ja 1 1=1 ovat yhtä lailla totta.
totta.
Jos kirjoitat 1 1=0, olet käyttänyt väärä merkkiä tai väärää merkitystä 1:lle j/tai 0:lle.
Matematiikassa vain on tapana käyttää tuota merkkiä, mutta silloin on erikseen mainittava, että kysymys ei ole tavanomaisesta yhteenlaskusta.
Ei pidä sotkea käsitteitä.
Se on yleisön jallittamista ja juuri tuollaisella falskilla puheella voi tehdä kirjakaupalla viisaannäköista filosofaa: falskaamalla käsitteellisiä merkityksiä voi taiten luovia läpi keskustelun puhumalla täyttä potaskaa.
Fermatin lause koskee vain kokonaislukuja ja niiden laskutoimituksia. Sitä olisi kuitenkin ollut vaikea todentaa tutkimatta matematiikkaa itseisarvoisesti.
Fermatin lausehan sanoo, että ei ole sellaista määrää identtisiä n-kuutioita että niistä tehdyn n-kuution voisi muuntaa kahdeksi n-kuutioksi, niin, että palikoitä ei jää yli, kun n>2.
2-kuutioilla eli neliöillä tämä taas onnistuu.
Sama pätee tietty lukuteorian ja funtioteorian l. kompleksianalyysin suhteisiin.
... ja sen todistus ovat osa suurempaa kokonaisuutta liittyen elliptisiin käyriin sekä algebralliseen geometriaan. Itse todistus kehitti algebraa merkittävästi.
Saavutus ei ollut suuri pelkästään teoreeman kliseisyyden ja historiallisen arvon takia:
Elliptiset käyrät ovat avainasemassa uusien salausmenetelmien kehittämisessä tulevaisuutta varten. Algebrallisella geometrialla on myös linkkejä fysiikkaan.
Tärkeämmin, matikan alueilla on niin paljon yllättäviä linkkejä toisiinsa, ettei ole loppujen lopuksi edes selviä rajoja eri aihealueiden välillä. Mutta tuossa olivat selvimmät yhteydet.
Väite siitä, että lause koskee vain kokonaislukuja on sinänsä tosi -- mutta väitteen taustalla oleva teoria ulottuu melkein mihin tahansa.
Toisaalta olen sitä mieltä, että hienompiakin teoreemia on olemassa pilvin pimein -- avoimia ongelmia tuntuu olevan rajattomasti -- mutta toki popularistinen ja trendikäs teoreema on aina hyväksi alan arvostukselle.
... ettei kyse ole niinkään 'väärästä' merkintätavasta, vaan Doctöör halusi huomauttaa, että suuri osa matikan teoriaa pätee muillekin kunnille kuin perinteisille kokonaisluvuille.
Esim. jos kunta on (ainutlaatuinen) kahden alkion kunta {0,1}, silloin 1 1=0 ei ole 'väärä' merkintä missään mielessä. Kunnan määritelmän osalta tämä yhteenlasku on aivan 'samaa, tavanomaista yhteenlaskua'.
Perinteiset kokonaisluvut eivät mitenkään hallitse matikkaa.
Sen sijaan, jos kaikki aksioomat pidetään entisellään, ja on varmasti kyse kokonaisluvuista, silloin toki 1 1=2, eikä asiasta ole mitään epäilystä.
Ei nuo esimerkkini mitään 'filosofiaa' olleet. Tarkoitin lähinnä sitä, ettei 1 1=2 ole mikään universaali totuus, mutta useimmiten se on totta.
Kuten nimimerkki nkorppi alla totesi, voi 1 1 olla 0. Lisäksi jos määritellään 0 = epätosi ja 1 = tosi, seuraa 'laskusta' tosi tai tosi tosi. Eli 1 1=1.
Siinä mielessä olet toki oikeassa, että esittämissäni tapauksissa tulisi erikseen mainita 'mistä on kyse'. Eivät nuo esimerkkini mitenkään harvinaisia olleet tietokone/matematiikka -maailmassa.
... olen eri mieltä jopa siitä, että '1 1=2 on useammin totta'. :)
On oikein sanoa, että 'ihmiset käyttävät kokonaislukuja useimmiten, mm. sormilla laskettaessa'.
Tämä on kuitenkin enemmän antropologinen totuus kuin väite matematiikasta. Matematiikassa itsessään on hyvin vähän muodollista jääviyttä kokonaislukujen puolesta -- vaikka maallikoille saattaa syntyä sellainen illuusio.