Olkoon k kunta, K k:n algebrallinen sulkeuma ja f K:n automorfismi, joka pitää k:n paikallaan. Osoita, että jokainen f:n kiintokunnan äärellinen laajennus on syklinen.
Syklinen laajennus
algebrajumi
9286
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Aina vaan algebraa ja Galois-teoriaa. Ei mitään kovin viihdyttävää matikkaa todistuksiensa osalta...
En nyt äkkiseltään muista todistusta, mutta jos kiintokunta olisi äärellinen, asia olisi selvä.
Palaan asiaan myöhemmin, kunhan löydän vanhat Galois-muistiinpanoni.
... miettiä ongelmaa kovin tarkasti, mutta jos olet löytänyt vastauksen, olisin kiinnostunut kuulemaan sen perusideoista!
Yksi tapa lähestyä ongelmaa on se, että algebrallisessa sulkeumassa on automaattisesti kaikki 'primitive nth roots of unity' -- tästä puolestaan seuraa montakin asiaa, jotka kenties auttavat kohti haluamaamme tulosta.
Sain vinkkejä, ja sen perusteella kehittelin seuraavan todistuksen:
Koska K on algebrallisesti suljettu, se on minkä tahansa K:n alikunnan normaali laajennus. F on myös syklisen ryhmän kiintokunta. Siten Gal(K/F) on syklinen. Jos L on F:n mielivaltainen laajennus, tarkastellaan kuntia
F < L < K
Väite seuraa, sillä syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä.
Onkohan tuo todistus oikein?
... se näyttää hyvältä, paitsi tämä kohta:
"F on myös syklisen ryhmän kiintokunta. Siten Gal(K/F) on syklinen."
Miksi F on ryhmän kiintokunta? Mielestäni tiedämme ainoastaan, että F < M, missä M on tuo kiintokunta.
Ongelma tässä on tilanne F < L < M < K, sillä emme voi käyttää Fundamentaalista teoreemaa kuin M ja K välisiin kuntiin.
(Tämä on yhtäpitävä ongelma kuin se, että K ei pakosti ole separoituva, vaikka sisältääkin K:n separoituvan sulkeuman S. )
Vai tuliko tehtävä kenties lukea siten, että f todellakin kiinnittää ainoastaan F:n?
... kirjoittamassasi todistuksessa on kohta 'mielivaltainen laajennus' -- sen pitäisi olla 'mielivaltainen äärellinen laajennus', sillä muutenhan se ei pakosti sisälly K:hon.
Tarkoitin pikemminkin:
'K/F ei pakosti ole separoituva, vaikka sisältääkin F:n separoituvan sulkeuman S.'
Oletetaan, että F olisi kiintokunta (mikä on kyseenalainen väite!)
Jotta voisit tästä päätellä, että K/F on on Galois-laajennus, pitäisi olla äärellinen. Mutta ryhmän äärellisyys on sekin kyseenalaista.
Todistuksessa ei tarvita ääretöntä Galois'n teoriaa. Ainahan voidaan ottaa L/F:n äärellinen laajennus ja korvata K L:n normaalilla kehikolla, vai mikä lie onkaan hull suomeksi.
Todistuksessa luki
"Väite seuraa, sillä syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä. "
Tuo pitäisi olla muodossa
Väite seuraa, sillä syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.