1 Millä vakion a arvoilla f(x)=x^3 ax^2 3x 1 on kaikkialla aidosti kasvava?
En keski muuta kuin, että ton derivoi ja sitten päättelemällä arpoo vakion a:n arvot
2 Millainen on P-A:taan mahdollisimman pieni suorakulmaisen särmiön muotoinen neliöpohjainen kannellinen tölkki, jonka vetoisuus on 0,25 litraa? V:6,3cm
x·x·y=0,25 --> y=-x^2 0,25, jonka sij. seuraavaan:
A=4xy 2x^2, jolloin saadaan A(x)=... , joka pitää derivoida A'(x)=... ja siitä nollakohdat. Entä millä välillä x voi vaihdella?
3.Neliöpohjainen, suorakulmaisen särmiön, muotoisen paketin kokonaispinta-ala on 48 cm^2. Paketin tilavuus halutaan mahdollisimman suureksi. Mahtuuko tänä paketti tällöin postiluukusta, jonka koko on 20cm x 3cm?
Ratkaisu samaan tyyliin, kun edellinen, mutta en keksi millä välillä x voi vaihdella V(x):ssä. Sain vastaukseksi 2,83 cm x 2,83cm x 2,83cm, jonka luulen olevan väärin, mikä on oikea vastaus
En keski muuta kuin, että ton derivoi ja sitten päättelemällä arpoo vakion a:n arvot
2 Millainen on P-A:taan mahdollisimman pieni suorakulmaisen särmiön muotoinen neliöpohjainen kannellinen tölkki, jonka vetoisuus on 0,25 litraa? V:6,3cm
x·x·y=0,25 --> y=-x^2 0,25, jonka sij. seuraavaan:
A=4xy 2x^2, jolloin saadaan A(x)=... , joka pitää derivoida A'(x)=... ja siitä nollakohdat. Entä millä välillä x voi vaihdella?
3.Neliöpohjainen, suorakulmaisen särmiön, muotoisen paketin kokonaispinta-ala on 48 cm^2. Paketin tilavuus halutaan mahdollisimman suureksi. Mahtuuko tänä paketti tällöin postiluukusta, jonka koko on 20cm x 3cm?
Ratkaisu samaan tyyliin, kun edellinen, mutta en keksi millä välillä x voi vaihdella V(x):ssä. Sain vastaukseksi 2,83 cm x 2,83cm x 2,83cm, jonka luulen olevan väärin, mikä on oikea vastaus
Vastaukset 10
Vanhimmat
http://www.oph.fi/etalukio/pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teht16.html#
huomisin juuri, että en osaa tota särmiö laskuakaan
a·b·c=8000
2ac 2ab 2ab=A
Ensin on osoitettava, että kyseisen särmiön pohja on neliö.
Voi lähteä siitä,että särmiön pohjan sivujen pituudet ovat x ja a*x, sekä korkeus y.
Tilavuus on nyt x*a*x*y=8000, josta y=8000/a*x^2
A=2*x*a*x 2*x*y 2*a*x*y
Alan lausekkeeseen sijoitetaan y, ja derivoidaan x:n suhteen,ja asetetaan derivaatta nollaksi, jolloin saadaan , että
x^3=4000(a 1)/a^2
Sijoitetaan tämä nyt A:n lausekkeeseen , ja derivoidaan nyt a:n suhteen,ja asetetetaan derivaatta taas nollaksi.Näin saadaan A:n minimikohta a:n suhteen.
Hiukan hankalan laskutoimituksen jälkeen saadaan, että a=1.
Se tarkoittaa sitä, että särmiön pohja on neliön muotoinen ja tuo tehtävä saadaan lasketuksi loppuun.
1 ?
2 sain sen
3 vastaukseni on 2,83^3 cm^3 (Onko oikein?)
4 entä tuo oph tehtävä siinähän 3 tuntematonta, jos särmiö olisi neliö pohjainen niin onnistuisi samalla tavalla kuin edelliset
1 onnistu http://math.tkk.fi/teaching/misc/MOVE/tehtavat/differentiaali_ratk.pdf
tehtävä 27
2 onnistu
3 2,83^3 cm^3 Onko oikein?
4 oph?
kolme tuntematonta ei sinänsä vaikeuta.
A=2xy 2xz 2yz
xyz=V , josta z=V/(xy)
A=2xy 2V/y 2V/x
asetetaan A:n derivaatta x:n suhteen nollaksi
tulee 2y-2V/x^2=0 , josta x=SQRT(V/y)
sijoitetaan tuo takaisin A:n lausekkeeseen , derivoidaan sitten y:n suhteen ja asetetaan nyt derivaatta y:n suhteen nollaksi.
Pienen derivointisulkeisen jälkeen lopputulos on
y^3=V=8000, eli y=20
x=Sqrt(8000/20)=20
z=8000/(20*20)=20
Tuo funktio on kasvava, jos sen derivaatta on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
Derivaatta on 3x^2 2ax 3, joka on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huipun x koordinaatti on -a/3, ja sitä vastaava y koordinaatti saadaan sijoittamalla tuo -a/3 derivaatan lausekkeeseen.
Tulee 3(-a/3)^2 2a(-a/3) 3, ja tämän on oltava x- akselilla tai sen yläpuolella, jotta tuo derivaatta olisi suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla.
-a^2/3 3 >= 0 eli a^2
Tuo funktio on aidosti kasvava jos sen derivaatta on suurempi kuin nolla, eli nuo yhtäsuuruudet on karsittava vastauksesta pois.
-3
Derivaatta voi olla yksittäisissä pisteissä (terassikohdissa) nolla. Esim. f(x)= x³ on aidosti kasvava ja sen derivaatta on nolla kohdassa x=0.
Eli ne yhtäsuuruudet voidaan ottaa mukaan tässä.
kakkosessa y=0.25/x^2, ja jatko niinkuin teitkin
Vieläkö nykykoululaisille diskriminantin käsite on tuttu ?
Silläkin sen derivaatan positiivisuuden saisi kätevästi perusteltua.
Eli aseta siinä laskussasi se derivaatan diskriminantti negatiiviseksi ja ratkaise se epäyhtälö.