Miten voi olla mahdollista, että jos matriisilla on kaksi yhtäsuurta ominaisarvoa, niin sillä voi silti olla näillä ominaisavoilla erisuure, lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit? Eikö siinä samalla lambdalla lasketa sama lasku, josta vastaus pitäisi olla sama?
Siis onko niin, että yhdellä ominaisarvolla voi tulla kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria? Ja miten näistä sitten valitaan?
Siis onko niin, että yhdellä ominaisarvolla voi tulla kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria? Ja miten näistä sitten valitaan?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Matriisilla on silloin yksi ominaisarvo. Huomaa, että yhtä ominaisarvoa voi vastata äärettömän monta ominaisvektoria, jotka saattavat olla (esim.) kaikki kahden lineaarisesti riippumattoman vektorin lineaarikombinaatiot.
Esimerkki:
L: ℜ² → ℜ² L(x,y)=(2x,2y)=2(x,y)
on lineaarikuvaus, jonka eräs ominaisarvo on 2 ja ominaisvektoreita ovat kaikki ℜ²:n vektorit.
Toinen esim:
L: ℜ² → ℜ² L(x,y)=(2x 3y,2y)
on taas lineaarikuvaus, jonka ainoa ominaisarvo on 2 ja vastaavia ominaisvektoreita ovat kaikki muotoa (r,0) olevat vektorit, missä r ∈ ℜ.
...elleivät kaikki matriisit ole välttämättä 2x2-sellaisia. :)
...tarkentaa, että mihin kohtaan vastasit? :)
Kysyjähän ei kertonut minkä kokoinen hänen matriisinsa on, joten kommenttisi 'Matriisilla on silloin yksi ominaisarvo' ei välttämättä pidä paikakansa... ;)
Näinhän se tietysti on :). Päättelin tuosta 'molemmat'-sanamuodosta, että kyse on 2x2-matriisesta.
Ominaisarvo generoi sitä vastaavan ominaisavaruuden, jonka nollavektorista poikkeavat vektorit ovat tätä ominaisarvoa vastaavia ominaisvektoreita. Näitä on siis aina ääretön määrä. Ominaisavaruuden dimensiolla ei vain ole mitään syytä olla saamaa kuin ominaisarvon kertalukua. Paitsi muistaakseni täsmälleen silloin kuin tutkittava matriisi on diagonalisoituva.
Ominaisarvoon L liittyy algebrallinen kertaluku alg(L), joka kertoo monikertainen juuri se on karakterisisessa yhtälössä. Sitten ominaisarvoon L liittyy geometrinen kertaluku geom(L), joka kertoo montako LINEAARISESTI RIIPPUMATONTA ominaisvektoria L:n liittyy. Aina on voimassa 1=
Parempia vastauksia kysymyksiisi järjestyksessä:
1) Olkoon A matriisi. Nyt c on ominaisarvo, jos on olemassa jokin ei-nolla vektori v, jolle pätee Av = cv. (Selvästikin kaikki muotoa dv olevat vektorit käyvät ominaisvektoreiksi, missä d on skalaari.)
Vektorit v_1, ..., v_k ovat lineaarisesti riippumattomia (LR) joss yhtälön
x_1*v_1 ... x_k*v_k = 0
ainoa ratkaisu on x_1 = ... = x_k = 0.
Jos ominaisarvo toistuu k kertaa, sinulla voi olla enintään k erilaista LR ominaisvektoria v_1,v_2,..., v_k.
Jos sinulla EI ole k erilaista LR ominaisvektoria, tällöin matriisi ei ole diagonalisoituva.
Kaikki riippuu ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden ulottuvuudesta. (Tuolla avaruudella tarkoitetaan ominaisarvoa vastaavien LR ominaisvektoreiden generoimaa avaruutta.) Sen ulottuvuus on luonnollisesti ominaisvektoreiden määrä.
Eli LR ominaisvektoreita voi olla mikä tahansa lukumäärä yhdestä k:hon.
(Matriisi on diagonalisoituva, jos sen voi muuttaa rivi- ja kolumnioperaatioilla muotoon, jossa päädiagonaalilla on ominaisarvot, ja muualla nollia. Tämä on mahdollista joss n x n-matriisilla on n eri LR ominaisvektoria. )
2) Ei. Laskut eivät ole samat. Jos Av = cv ja Aw = cw, ja v,w ovat LR, yhtälöt ovat selvästikin erilaiset.
3) Kyllä yhdellä ominaisarvolla voi tulla vaikka kaikki ominaisvektorit. Niistä ei valita, vaan sinun pitää selvittää kaikki LR ominaisarvot.
3-kohdassa tarkoitin tietysti: 'sinun pitää selvittää kaikki LR ominaisvektorit, kullekin ominaisarvolle'.
Mielestäni kukaan ei ole vielä vastannut alkuperäiseen kysymykseen samalla vaikeustasolla kuin se esitettiin, joten yritetään vielä:
Tarkastellaan tapausta n=2. Helppo esimerkki on yksikkömatriisi I, jolle lambda=1 on 2-kertainen ominaisarvo, mutta esim. kantavektorit i ja j ovat LRT ominaisvektoreita. Näitä ei tarvitse vetää hatusta (ei tässä eikä yleisestikään) vaan ne saadaan systemaattisella tavalla, kun muodostetaan yhtälöryhmän (A-lambda*I)v=0 yleinen ratkaisu ja kirjoitetaan se vektorimuodossa
v = s*v1 (vain 1 LRT om.vekt.)
tai v = s*v1 t*v2 (2 LRT om.vekt.).
Esim. yksikkömatriisille yhtälö on muotoa O*v = 0, missä O on nollamatriisi. Jos v = [x,y]^T, niin yleinen ratkaisu on x=s, y=t, eli vektorimuodossa
v = [s,t]^T = [s,0]^T [0,t]^T = s*[1,0]^T t*[0,1]^T,
josta LRT ominaisvektoreiksi voidaan poimia i = [1,0]^T ja j = [0,1]^T. Yllä siis s ja t ovat vapaita reaalisia parametreja.
Tämä menetelmä toimii kaikissa ulottuvuuksissa ja tuottaa aina maksimaalisen määrän LRT ominaisvektoreita.