Törmäsinpä netissä tällaiseen tehtävään, joka jäi vähän vaivaamaan:
http://www.peda.net/veraja/porvoo/linnankoski/oppiaineiden_kurssit/matikka/probleema
Ajattelin sitä jotenkin tähän tapaan:
Perheessä on oltava vähintään 2 lasta.
Jos perheessä on sekä tyttöjä että poikia on tuolloin tytöllä enemmän veljiä kuin pojilla (niinkuin tehtävässä jo mainitaan).
Jos perheessä on pelkkiä tyttöjä, ei veljiä ole joten tämä tapaus on -0.
Jos taas on pelkkiä poikia on silloin aina pojalla enemmän veljiä kuin tytöllä, koska tyttöjä ei ole.
Näin tutkittaisiin kahta tapausta (jos ymmärsin oikein): "sekaperhe" ja pelkkiä poikia sisältävä perhe.
Tehtävässä ilmeisesti pitää olettaa, että todennäköisyys pojalle ja tytölle on 1/2? Eikö tässä tarvitakin sitä todennäköisyyttä vai onko jokin oikotie?
Mutta sitten aivoni menevätkin solmuun. Miten perhekokoa tulisi käsitellä ja siihen sopeuttaa todennäköisyyttä tyttöjen ja poikien määrille.
Olen yrittänyt niin, että olkoon perheessä n lasta. Silloi tod. näk. sille, että perheessä on vain poikia on 1/2^n, jolloin siinä perheessä on n poikaa, joilla on enemmän veljiä.
Ja sitten lasketaan binomikaavalla miten on sekaperheissä tyttöjen laita. Täytyneekö (?) sanoa, että tyttöjä on k kpl.
Voidaanko tässä jotenkin näyttää, että jokaisella perhekoolla n tapahtuu tietyllä tavalla? Vai lasketaanko kaikilla lastenmäärillä saadut määrät yhteen jotenkin. Mutta eihän tässä voida olettaa, että kaikki perhekoot (äärettömään asti) ovat mahdollisia saati yhtä todennäköisiä???
Minusta näyttäisi, että tyttöjä, joilla on enemmän veljiä, on keskimäärin enemmän. Vaikka se, että perheissä, joissa on vain poikia, on aina pojalla enemmän veljiä, kun taas tyttötapauksessa ei tytöllä ole veljiä, tasaakin suhdetta.
Jossain vaiheessa mietin jotain kautta, että ne menee tasan. (Eli tyttöjä/poikia, joilla enemmän veljiä on saman verran) Mutta en nyt edes muista mikä ajatus johti tuohon päätelmään... ;)
http://www.peda.net/veraja/porvoo/linnankoski/oppiaineiden_kurssit/matikka/probleema
Ajattelin sitä jotenkin tähän tapaan:
Perheessä on oltava vähintään 2 lasta.
Jos perheessä on sekä tyttöjä että poikia on tuolloin tytöllä enemmän veljiä kuin pojilla (niinkuin tehtävässä jo mainitaan).
Jos perheessä on pelkkiä tyttöjä, ei veljiä ole joten tämä tapaus on -0.
Jos taas on pelkkiä poikia on silloin aina pojalla enemmän veljiä kuin tytöllä, koska tyttöjä ei ole.
Näin tutkittaisiin kahta tapausta (jos ymmärsin oikein): "sekaperhe" ja pelkkiä poikia sisältävä perhe.
Tehtävässä ilmeisesti pitää olettaa, että todennäköisyys pojalle ja tytölle on 1/2? Eikö tässä tarvitakin sitä todennäköisyyttä vai onko jokin oikotie?
Mutta sitten aivoni menevätkin solmuun. Miten perhekokoa tulisi käsitellä ja siihen sopeuttaa todennäköisyyttä tyttöjen ja poikien määrille.
Olen yrittänyt niin, että olkoon perheessä n lasta. Silloi tod. näk. sille, että perheessä on vain poikia on 1/2^n, jolloin siinä perheessä on n poikaa, joilla on enemmän veljiä.
Ja sitten lasketaan binomikaavalla miten on sekaperheissä tyttöjen laita. Täytyneekö (?) sanoa, että tyttöjä on k kpl.
Voidaanko tässä jotenkin näyttää, että jokaisella perhekoolla n tapahtuu tietyllä tavalla? Vai lasketaanko kaikilla lastenmäärillä saadut määrät yhteen jotenkin. Mutta eihän tässä voida olettaa, että kaikki perhekoot (äärettömään asti) ovat mahdollisia saati yhtä todennäköisiä???
Minusta näyttäisi, että tyttöjä, joilla on enemmän veljiä, on keskimäärin enemmän. Vaikka se, että perheissä, joissa on vain poikia, on aina pojalla enemmän veljiä, kun taas tyttötapauksessa ei tytöllä ole veljiä, tasaakin suhdetta.
Jossain vaiheessa mietin jotain kautta, että ne menee tasan. (Eli tyttöjä/poikia, joilla enemmän veljiä on saman verran) Mutta en nyt edes muista mikä ajatus johti tuohon päätelmään... ;)
Vastaukset 42
Vanhimmat
... syntyy kahdesta olettamuksesta, joista toinen liittyy ensimmäiseen:
1) Perheessä tulee olla tyttöjä. Ei pidä paikkaansa.
2) Mutta entä jos keskimääräisessä perheessä on tyttöjä? On totta, että 'siskoilla on enemmän veljiä kuin omilla veljillään'. Mutta EI ole totta että 'keskimäärin naisilla on enemmän veljiä kuin miehillä'
Miksi? No, siksi että perheen sisäiset määrät eivät mitenkään edusta koko yhteiskuntaa. Kyllä, tytöillä on enemmän veljiä kuin OMAN perheensä pojilla, mutta nuo pojat eivät olekaan mitään keskimääräisiä poikia, vaan nimenomaan sellaisia poikia, joilla on välttämättä oltava sisko. Sisko ei ole poikiin verrattuna 'keskiverto-nainen', eivätkä pojat ole siskoille 'keskiverto-miehiä'.
Se että otetaan monta epäreilua esimerkkiä, ja laitetaan nämä 'yhteen' ei tee siitä maagisesti reilua.
Naisilla on keskimäärin ihan yhtä monta veljeä kuin miehilläkin.
Tämän näkee, jos unohtaa hetkeksi henkilön sukupuolen -- peitä hänet liinalla tai mitä lie. ;)
Mikä tahansa onkaan veljien määrä, ja riippumatta veljenä olemisen todennäköisyydestä, selvästikään se ei riipu siitä, mikä sukupuoli liinan alta paljastuu!
Koska veljien määrä on täysin riippumaton sukupuolesta, kummallakin sukupuolella on keskimäärin yhtä paljon.
"Naisilla on keskimäärin ihan yhtä monta veljeä kuin miehilläkin.
Tämän näkee, jos unohtaa hetkeksi henkilön sukupuolen -- peitä hänet liinalla tai mitä lie. ;)
Mikä tahansa onkaan veljien määrä, ja riippumatta veljenä olemisen todennäköisyydestä, selvästikään se ei riipu siitä, mikä sukupuoli liinan alta paljastuu!
Koska veljien määrä on täysin riippumaton sukupuolesta, kummallakin sukupuolella on keskimäärin yhtä paljon."
Mitä ihmettä tämä tarkoittaa?
Käytännössä, tässä maailmassa, kai naisilla on keskimäärin enemmän veljiä kuin miehillä. Tämä ei kuitenkaan ole mikään looginen välttämättömyys: Voi olla olemassa perheitä, joissa ei ole tyttölapsia, mutta on hurjan paljon poikia. Tämä nostaa veljien keskimääräistä lukumäärää miesten osalta.
Hehe, elät edelleenkin tehtävän harhatodellisuudessa, etkä käsittänyt selitystä.
Kyllä, tytöillä on keskimäärin enemmän veljiä kuin OMILLA veljillään.
Mutta tytöillä on keskimäärin TÄSMÄLLEEN YHTÄ PALJON veljiä kuin pojilla.
Pointti on se, että fiksatun tytön OMAT veljet eivät ole satunnaisesti valittuja poikia, joten et voi tehdä johtopäätöksiä maailmasta!
Sinä et tiedä minun sukupuoltani? Eikö niin. Minun sisarusteni sukupuolet eivät mitenkään riipu omasta sukupuolestani, eikö vain?
Siispä minulla, eli tuntemattomalla ihmisellä, on keskimäärin ihan yhtä monta veljeä, riippumatta siitä olenko itse poika vai tyttö. Tästä VOI päätellä, että pojilla ja tytöillä on keskimäärin yhtä paljon veljiä.
Unohda se, että tytöillä on enemmän veljiä -- se on ihan itsestäänselvästi väärin, sillä eihän henkilön sukupuoli vaikuta mitenkään velimääräänsä! Tilanne velimäärien suhteen on siis täysin symmetrinen naisten ja miesten kesken.
Jos otetaan tarkasteluun kaikki sellaiset perheet, joissa on sekä poikia, että tyttöjä. Kai silloin tytöillä on keskimäärin yksi veli enemmän, kuin pojilla?
... tässä on se, että mistä 'pojista' puhutaan?
Ok, oletetaan että kaikissa perheissä on sekä tyttöjä, että poikia.
Jos puhutaan tytön omista veljistä, niin toki tytöllä on yksi veli enemmän kuin heillä. Ei keskimäärin, vaan TASAN yksi enemmän.
Mutta jos puhutaan kaikista pojista, kaikissa mahdollisissa perheissä, niin tämä ei päde.
Sinun pitää ottaa huomioon mm. perheet, joissa on esimerkiksi vain yksi poika. Tällöin saat ison kasan tyttöjä, joilla on minimimäärä veljiä - mutta vain yhden pojan, jolla ei ole veljiä. Tällöin tyttöjen keskimääräinen velimäärä putoaa tuntuvasti, kun taas poikien keskimääräinen velimäärä ei.
Jotta voisit sanoa, että tytöillä on keskimäärin yksi veli enemmän (tuollaisissa perheissä), sinun pitää todistaa tämä -- et voi päätellä moista perheen sisäisten velimäärien perusteella.
Jos keinotekoinen rajoitus (eli on oltava molempia sukupuolia perheessä) poistetaan, on täysin selvää, että molempien keskimääräiset velimäärät ovat yhtä suuria. Kenenkään oma sukupuoli ei vaikuta äidin synnyttämisiin! Haloo pahvit!
Joten hypoteesini on, että jos mainitsemasi rajoitus laitetaan peliin, keskimääräiset velimäärät ovat silti erittäin lähellä toisiaan, elleivät samat. En usko hetkeäkään, että tytöillä olisi keskimäärin yksi veli enemmän kuin pojilla!
Tuon termin 'keskimäärin' tarkoitus on minulle hieman hämärä. Tarkoitetaanko sillä nyt sitä, että muodostetaan (abstrakti) keskiarvoperhe, jossa on keskiarvot poikien ja tyttöjen lukumääristä perheissä ja tulkitaan veljien lukumäärä tästä?
Otetaan tarkasteluun (taas) ne perheet, joissa on sekä tyttöjä, että poikia. Oletetaan, että keskiarvoperheessä on vaikka 1,45 tyttöä ja 1,26 poikaa. Tällöin tässä keskiarvoperheessä on tytöillä 1,26 veljeä, mutta pojilla vain 0,26 veljeä.
Ei ole olemassa mitään 'keskiarvoperhettä', eikä sellaista muodosteta. Sen sijaan laskemme aitoja keskiarvoja, eli odotusarvoja.
Antamillasi arvoilla pojan syntymisen todennäköisyys on noin 1.26/(1.26 1.45) = 0.465.
Valitaan satunnainen lapsi. On ihan yhdentekevää, onko hän poika vai tyttö -- joka tapauksessa jokainen lopuista sisaruksista on poika todennäköisyydellä 0.465.
Sinun logiikallasi todennäköisyys muuttuu ensimmäisen pojan synnyttyä luvuksi 0.26/(0.26 1.45) = 0.152. Näin ei tietenkään tapahdu! Yhden pojan olemassaolo ei mitenkään vaikeuta toisen lapsen poikuutta!
Ongelma tässä on se, ettei keskiarvoperhettä ole olemassakaan. Ajattelutapa on kokonaan väärä.
Tässä oikea laskutapa:
Jokaisen ihmisen sukupuoli määräytyy satunnaismuuttujana X, missä
P(X=poika) = p
P(X=tyttö) = q = 1-p
Oletetaan, että perheessä on n sisarusta.
p_k = P(perheessä on k poikaa) =
nCk * p^k * q^(n-k)
Eli poikien määrä perheessä noudattaa binomijakaumaa.
Odotusarvo (tai keskiarvo) poikien määräksi perheessä on tällöin:
SUMMA_{k=0...n} k*p_k
Olkoon P_n = P(perheessä on n sisarusta).
Tällöin odotusarvo (keskiarvo) poikien määräksi on:
SUMMA_{n=0,1,2,3,...} n * (SUMMA_{k=0...n} k*p_k)
Kun otat tarkasteluun pelkästään perheet, joissa on molempia sukupuolia, tällöin rajoitamme arvoihin n= 2,3,4,... ja k=1,...,n, ja muokkaamme todennäköisyyksiä ehdollisiksi sen tapahtuman suhteen, että molempia sukupuolia syntyy.
Jälkimmäisen odotusarvon piti olla näin:
SUMMA_{n=0,1,2,3,...} P_n * (SUMMA_{k=0...n} k*p_k)
Elikä 'n' pitäisi olla 'P_n'.
... todennäköisyyslaskenta, (tilastotieteissä joskus käytetty), missä oletetaan jotakin tapahtuvaksi ennalta, ennen kuin edes tiedämme mitä tapahtuu, kutsutaan 'Bayesian probability':
http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_probability
Itse yrität koko ajan tehdä jotakin sentyyppistä -- ja kaiken lisäksi räikeästi väärin. Tuollaisessa todennäköisyydessä on paljon sudenkuoppia, eikä sitä sovi käyttää varomattomasti.
Helpompaa on ajatella jokaista perheen yksilöä ihmisenä, joka voi olla joko poika TAI tyttö -- määrittämättä etukäteen mitään varmaa heidän sukupuolestaan. Tämä on perinteistä todennäköisyystiedettä.
Nyt ymmärrän, miksi näkemyksemme ovat niin erilaiset. Itse ajattelin tilannetta puhtaasti tilastollisesti niin, että tarkastelujoukkona on juuri tämän hetkinen Suomen kansa. Ehkä olisi pitänyt lukea tarkemmin, että missä kontekstissa tämä kysymys oli esitetty.
... mutta toisaalta iso tilasto-otos menee yleensä kohtuuhyvin yksiin sen kanssa, että miehiä ja naisia on suuri piirtein yhtä paljon.
Jos tilastoista voi päätellä, että naisilla on selvästi enemmän veljiä kuin miehillä, tämä on kyllä vuosisadan yllätys!
Siinä suhteessa todennäköisyystehtävä vastaa kyllä tilastojakin. Eli virheellinen ajattelu ei muutu oikeaksi, vaikka kyseessä olisi tilastot.
Osa 'tasapainottavasta vaikutuksesta' tulee toki perheistä, joissa kaikki lapset ovat poikia.
Mutta siinä ei ole koko selitys: Nimittäin 'tasapainoa' tuovat yhtälailla ne perheet, joissa kyseinen tyttö onkin poika!
Jos haluat tietoa keskimäärisistä velimääristä, et voi fiksata henkilön sukupuolta -- sinun pitää ensin valita 'satunnainen henkilö', jonka sukupuolen vaikutusta velimäärään pohdit vasta tämän jälkeen.
Tehtävä johti sinut harhaan, eli katsomaan satunnaisia tyttöjä, mutta ainoastaan epäsatunnaisia veljiä. Heti kun päätät yhden perheenjäsenen sukupuolen, muut jäsenet eivät olekaan enää satunnaisia.
Nimittäin jos tuo alun perin satunnaisesti valittu tyttö olisikin poika, hänellä olisi täsmälleen yhtä monta veljeä. :)
No, nyt ymmärsin tuon ongelman uudelleen. Aluksi (jostain kumman syystä) muistin, että siinä kysyttiin, että onko keskimäärin enemmän sellaisia tyttöjä, joilla on enemmän veljiä. Kun siinä kysytäänkin vain onko tytöillä yhteensä enemmän veljiä, kuin pojilla.
Nyt saatan ymmärtää nkorppi selityksesi, kiitos vastauksista muillekin ;)
Voimme laskea kenen tahansa velimäärälle odotusarvon (eli keskiarvon).
Tuossa laskussa esiintyy pojansaannin todennäköisyys p (joka on noin 1/2). Laskussa esiintyy myös todennäköisyydet erikokoisille sisarusparville.
Mitään muuta ei tarvita tuohon laskuun. Meidän ei tarvitse tietää oletko nainen vai mies, arvioidaksemme veljiesi määrän!
Jos olet mies, se ei mitenkään vaikuta negatiivisesti äitisi kykyyn synnyttää poikia (verrattuna siihen että olisit nainen). Tämä ei voi olla niin vaikea uskoa!
Siispä veljiä on keskimäärin yhtä paljon pojilla ja tytöillä.
... miten olet ongelman ymmärtänyt, (siinä ei todellakaan kysytty onko tytöillä yhteensä enemmän veljiä), mutta haluan tehdä tämän niin selväksi, että idioottikin ymmärtää:
PERHEEN SISÄLLÄ: tytöillä on enemmän veljiä kuin pojilla (eli samojen tyttöjen veljillä!) Tämä on totta sekä keskimäärin että absoluuttisesti.
YLEISESTI: veljien määrän keskiarvo on sama tytöille kuin pojillekin.
Emme voi todellakaan siirtyä 'perheen sisältä' 'yleiseen' tapaukseen, ja olettaa tulosten olevan samat.
Kunkin ihmisen sukupuoli on muiden sisarusten sukupuolesta riippumaton tapahtuma, jonka lopputulos on joko POIKA (todennäköisyys p) tai TYTTÖ (todennäköisyys 1-p).
Jos tytöillä olisi keskimäärin enemmän veljiä kuin pojilla, tällöin tyttöjä synnyttäneet naiset jotenkin maagisesti synnyttäisivät herkemmin poikia kuin tyttöjä! Roskaa.
Ei siis siten kokonaan yhteensä, vaan keskimääräinen veljien määrä, niinkuin siinä sanotaankin ;).
---------------------------------------------------
Aluksi ajattelin siis näin: on enemmän sellaisia tyttöjä, joilla on enemmän veljiä (ei lasketa kuinka monta veljeä) kuin poikia, joilla on enemmän veljiä. Mites tässä tapauksessa?
... sanaa 'enemmän' tässä kontekstissa. Mitä tarkoitat, kun sanot 'enemmän veljiä'? Enemmän kuin mitä?
Niin siis, enemmän että, on enemmän sellaisia tyttöjä, joilla on enemmän veljiä kuin pojalla samassa perheessä, kuin sellaisia poikia, joilla on enemmän veljiä, kuin tytöllä samassa perheessä.
Mutta tätähän ei ongelmassa kysytty, joten se siitä...
Eli jos tehtävässä olisi kysytty että 'kummalla sukupuolella on keskimäärin useammin enemmän veljiä kuin toisella sukupuolella samassa perheessä', vastaus olisi ollut 'tytöillä'. Ihan oikein!
Tässä monilapsiset pelkät poikaperheet nostavat poikien veljien lukumäärää nopeasti.
Esim:
2poikaa, heillä 2 veljeä
3poikaa, heillä 6 veljeä
4poikaa, heillä 12 veljeä
5p, 20 veljeä
6p, 30 veljeä
7p, 42 veljeä
Lisäksi myös sekalapsisissa perheissä suuri poikien lukumäärä kääntää vaakaa poikien veljien puolelle.
esim:
A perhe 5p 2t
B perhe 2p 5t
yhteensä 7p, joilla 20 22 veljeä
7t, joilla 10 10=20 veljeä
tämän vuoksi pojilla on enemmän veljiä kuin tytöillä.Vähälapsisissa sekaperheissä oleva tyttöjen veljien enemmistö, ei riitä kompensoimaan noita edellisiä.
tuossa lopussa tietysti
7p, heillä 20 2=22 veljeä
7t, heillä 10 10=20 veljeä
Älä koskaan matematiikassa tarkastele vain muutamaa valittua tapausta ja tee niistä yleispäteviä johtopäätöksiä. Jos oletat perheissä olevan 7 lasta, tee täydellinen taulukko kaikista vaihtoehdoista ja laske sitten määrät. Veljiä on kaikissa tapauksissa naisilla ja miehillä yhtä monta.
ppppppp
ppppppt
ppppptp
ppppptt
...
ttttttp
ttttttt
Tee tarkastelu kaikissa perhekoissa.
2 lasta:
pp
pt
tp
tt
3 lasta:
ppp
ppt
ptp
ptt
tpp
tpt
ttp
ttt
4 lasta:
....
Miksi olet noissa kolmen lapsen tapauksissa ilmoittanut kaikki eri järjestykset? Ei kai niillä ole merkitystä??
2 lapsen perheitä on kolmea erilaista:
2p, p t tai 2t
3 lapsen perheitä on 4 erilaista:
3p, 2p t, p 2t, 3t
on huomioitava oikeilla painoillaan. Kahden lapsen perheitä on neljä erilaista. Ja lapsia on yhteensä 8 kpl tälläisessä tarkkailujoukossa. Kolmen lapsen perheiden tarkkailujoukossa on 24 lasta.
Jos tekee aina täydelliset taulukot, ei tarvitse miettiä erikseen eri tapausten painoarvoja.
Eli jos puhutaan noista kahden lapsen perheistä, niin voitaisiin ajatella, että perheitä, missä on sekä tyttö, että poika, voi tulla kahdella eri tavalla: ensin tyttö, sitten poika TAI ensin poika, sitten tyttö.
Kun taas perheitä, joissa on 2 poikaa tai 2 tyttöä, voi tulla vain yhdellä tavalla.
Tämä selvensikin tilannetta. Minun "mallissani" painotukset olisivat olleet epärealistiset.
... viittasin, kun sanoin aiemmin, että on huomioitava sekin tapaus missä ym. tyttö onkin itse poika... :) Asia on tärkeämpi kuin miltä voisi näyttää.
Todennäköisyyslaskennassa kukin ihminen on 'mahdollinen poika JA mahdollinen tyttö', ja järjestyksellä on siten väliä...
Tavallaan olemme antaneet ihmiselle tunnuslapun ennen kuin tiedämme sukupuolta. Siksi emme voi mennä varomattomasti spekuloimaan sillä, että 'joku sisaruksista on tyttö'.
Jos syntyvyyttä säännöstellään siten, että lasten teko lopetetaan aina kun ensimmäinen poika syntyy, niin miehillä ei koskaan ole yhtään veljeä, mutta useilla naisilla on yksi veli.
Ainakin Suomessa on tällä hetkellä ylivoimaisesti eniten kahden lapsen perheitä.
Jos perheessä on kaksi poikaa, on siinä varmasti myös kahdella pojalla veli, eli pojilla on veljiä 2.
Jos perheessä on poika ja tyttö, niin tytöllä on yksi veli.
Jos kaksi tyttöä, niin veljiä ei ole.
Kaikki muut perhekoot ovat tässä toisarvoisia.
Pelkästään nuo kahden lapset tapaukset antavat poikien veljille niin suuren määräenemmistön, että asia on varma.
Poikien veljiä on hyvin paljon enemmän kuin tyttöjen veljiä
Itse asiassa kahden lapsen perheiden perusteella pojilla on veljiä keskimäärin 0,66 ja tytöillä 0,33.
Kahden lapsen perheet ovat tässä asiassa, varsinkin kun yksilapsiset eivät merkitse mitään,niin suuri enemmistö, että tuo kaksinkertainen poikien veljien määrä tyttöjen veljiin nähden pitää kutinsa loppuun asti.
Käytät tässä samaa oletusta, kuin minä aiemmin, eli että perheitä pp, tp ja tt on yhtäpaljon. Tämä ei ole kovin realistista (minuakin tästä jo valistettiin).
Eli jos ajatellaan todennäköisyyslaskennan kautta tätä tilannetta niin, että perheeseen ei ole vielä syntynyt yhtään lasta. Pidetään tytön ja pojan syntymisen todennäköisyyttä yhtäsuurina
P(t)=0,5=P(p).
Todennäköisyys, että syntyy kaksi poikaa tai kaksi tyttöä on:
P(2t) = P(t)*P(t) = 0,25 = P(p)*P(p) = P(2p).
Eli todennäköisyys, että syntyy kaksi poikaa tai kaksi tyttöä on 0,5. Siten todennäköisyydelle, että syntyy tyttö ja poika, jää 0,5. (Kaikki nämä voitaisiin myös perustella ehdollisella todennäköisyydella, mutta näin on monen kannalta varmasti selkeämpi(?))
Jos tätä sovelletaan nyt 4 perheen joukkoon, niin saadaan pp,tt,pt,tp. Poikia on tuossa 4kpl ja heillä veljiä 2kpl. Tyttöjä on myös 4kpl ja heillä veljiä myös 2kpl.
Johtopäätös: tytöillä on veljiä yhtäpaljon, kuin pojilla.
käytännössä. Lasten teko ja määrä ei ole tietystikään puhdasta matematiikkaa. Määrään voidaan vaikuttaa jompaa kumpaa sukupuolta suosien. Vaikuttaa oleellisesti lopputulokseen. Käytännössä siis naisilla voi olla enemmän veljiä kuin miehillä.
Poikia syntyy huomattavasti enemmän kuin tyttöjä. Tämä ei yksinään vaikuta, sillä vaikka tyttöjä olisi vain 1 %, niin esim. nelilapsisissa perheissä ainokaisilla tytöillä on n. kolme veljeä ja pojilla myös n. 3 veljeä.
Käytännössä tälläiset useita avoimia reunaehtoja sisältävät tehtävät voi ratkaista vain mallintamalla tehtävä tarkasti ja tekemällä ohjelma, joka muodostaa valitulla tarkalla mallilla useita tuhansia perheitä.
... vakuuttaa monia asiasta. Hyvä!
Silti olen yllättynyt, ettei tämä johtopäätös ole ihmisille itsestäänselvä ilman eri tapausten läpikäyntiä. Onhan selvää, ettei sisarusten sukupuoli mitenkään määräydy heidän oman sukupuolensa perusteella!
Jostain syystä intuitio heitetään roskikseen ja aletaan kunnioittaa virheellisiäkin johtopäätöksiä oikeina. Miten näiden ihmisten käy esim. veronpalautusten yhteydessä? Miten suuret mätkyt he hyväksyvätkään mukisematta? :)
... syntyy hieman enemmän kuin tyttöjä ei mitenkään vaikuta eri sukupuolisten velimääriin! Toisin sanoen ongelmana eivät missään vaiheessa olleet poikien ja tyttöjen syntymistodennäköisyydet.
Toki jos aletaan syrjiä tyttölapsia, tilanne muuttuu.
Tehtävät voi kyllä periaatteessa aina ratkaista käsin, vaikka tietyissä optimointiongelmissa tämä kestäisi turhan kauan.
1. Jokainen nainen/tyttö kirjoittaa paperille veljiensä lukumäärän (0, 1, 2, ...).
2. Lasketaan näiden numeroiden keskiarvo.
3. Jokainen mies/poika kirjoittaa paperille veljiensä lukumäärän (0, 1, 2, ...).
4. Lasketaan näiden numeroiden keskiarvo.
On matemaattinen totuus, että kohdassa 2 ja 4 lasketut keskiarvot ovat samat, sitä paremmin, mitä useampia ihmisiä on kohteena.
Tietysti oletamme, että tytön ja pojan esiintyminen on kaikin puolin täysin satunnaista, todennäköisyyksillä 1/2 ja 1/2.
"Tietysti+oletamme,+että+tytön+ja+pojan+esiintyminen+on+kaikin+puolin+täysin+satunnaista,+todennäköisyyksillä+1/2+ja+1/2."
Matematiikassa saa olettaa mitä tahansa, ei oikeita matematiikkoja todellisuus, ja vielä vähemmän tilastot, kiinnosta!
likiarvo: T/P=5/8
Oletetaan että perheessä on poikia määrä p ja tyttöjä määrä t. Perheeseen syntyy uusi lapsi. Jos se on poika, kasvaa poikien veljien määrä 2*p. Tyttöjen veljien määrä kasvaa t. Jos syntyjä on tyttö, poikien veljien määrä ei kasva lainkaan ja tyttöjen veljien määrä kasvaa p. Odotusarvot ovat siis poikien tapauksessa p ja tyttöjen tapauksessa (t p)/2, jos pojan ja tytön syntyminen on yhtä todennäköistä. Jos on määrä n perheitä joissa on eri määrä lapsia, ovat todennäköisyydet sigma(pi/n) ja sigma (ti pi)/2*n. Jos poikien ja tyttöjen kokonaismäärät ovat samat on myös pojilla ja tytöillä veljien määrän lisäys sama uuden lapsen syntyessä. Kaksilapsisissa perheissä tytöillä ja pojilla on keskimäärin yhtä monta veljeä. Yhtäsuuruus on siis osoitettu induktiolla.
En osaa sanoa tyhjentävästi. Jotain keskustelua on osoitteessa http://math.stackexchange.com/questions/1794123/do-men-or-women-have-more-brothers/1804613#1804613
Kun kirjoitin tuota eivät plussat ( ) tulleet näkyviin. Yritetäänpä uudelleen, jos vika on korjattu.
Oletetaan että perheessä on poikia määrä p ja tyttöjä määrä t. Perheeseen syntyy uusi lapsi. Jos se on poika, kasvaa poikien veljien määrä 2*p. Tyttöjen veljien määrä kasvaa t. Jos syntyjä on tyttö, poikien veljien määrä ei kasva lainkaan ja tyttöjen veljien määrä kasvaa p. Odotusarvot ovat siis poikien tapauksessa p ja tyttöjen tapauksessa (t p)/2, jos pojan ja tytön syntyminen on yhtä todennäköistä. Jos on määrä n perheitä joissa on eri määrä lapsia, ovat odotusarvot sigma(pi/n) ja sigma (ti pi)/2*n. Jos poikien ja tyttöjen kokonaismäärät ovat samat on myös pojilla ja tytöillä veljien määrän lisäys sama uuden lapsen syntyessä. Kaksilapsisissa perheissä tytöillä ja pojilla on keskimäärin yhtä monta veljeä. Yhtäsuuruus on siis osoitettu induktiolla.
Oikeasti tuohon ei oikeasti pysty vastaamaan kuin tilastojen avulla.
1. Jos on vain yksi lapsisia perheitä, niin kenelläkään ei ole veljeä. Kaksoset taas, joita vain yhden lapsen haluavat voivat myös saada on todennäköisemmin samaa sukupuolta kuin eri sukupuolta.
2. Jos ihmisillä on geneettinen taipumus tuottaa todennäköisemmin vain tietyn sukupuolen edustajia (tälle on tieteellinen peruste), niin silloin kaksilapsisissa perheissä saattaa olla todennäköisemmin kaksi tyttöä tai kaksi poikaa kuin tyttö ja poika.
3. Missä suhteessa on yksilapsisia perheitä, kaksilapsisia perheitä, kolmelapsisia perheitä... sillä näissä lasketaan asiat tietysti eri tavalla.
4. Jos todennäköisyys tiettyyn sukupuoleen korostuu monilapsisissa perheissä, niin miten se vaikuttaa?
5. Periaatteessa tähän vaikuttaa myös se kuinka paljon syntyy suhteessa tyttöjä ja poikia (se suhde ei ole oikeassa elämässä 50/50)
Voimme tehdä loogisen päätelmän, että tytöillä on enemmän veljiä kuin pojilla, mutta emme pysty sitä tarkasti laskemaan.
Jos kaikki perheet olisivat monilapsisia ja keskimäärin perheissä olisi 4/5 samaa sukupuolta ja 1/5 sitä toista, niin pojilla olisi määrällisesti enemmän veljiä kuin tytöillä.
Jos unohdamme tilastot ja todellisuuden, kuten oikean matematiikan harrastajat tietysti tekevät, niin:
"Tarkastellaan yhtä lasta, tyttö tai poika, ei väliä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että hän on 3-lapsisen perheen lapsi. Hänellä on siis kaksi sisarusta, ja tietysti näiden sukupuolet ovat täysin riippumattomia hänen omasta sukupuolestaan, ts. hänen sukupuolensa ei vaikuta hänen veljiensä lukumäärään. Tn, että hänellä on 2 veljeä, on 1/4, 1 veli 1/2 ja 0 veljeä 1/4, joista keskiarvoksi saadaan siis 1 veli. Päättely ei muutu, vaikka lapsia olisi n kpl."