Taannoinen 'naisilla on enemmän veljiä kuin miehillä' -harha on saanut minut todella hämmästyneeksi siitä, miten helppoa ihmistä on johtaa harhaan.
Tässä samantyyppinen harha:
KIRJE-PARADOKSI: Edessäsi on kaksi kirjettä, joista yhdessä on kaksinkertainen rahasumma toiseen verrattuna. Avaat yhden ja siellä on 20 euroa. Voit joko jättää toisen kuoren avaamatta ja pitää 20 euroa, tai avata toisen, jolloin saat sen sisältämän summan.
Lasketaan odotusarvo jälkimmäisen kirjekuoren summalle: 1/2 * 10 1/2 * 40 = 25. Joten jälkimmäisessä kuoressa on keskimäärin enemmän rahaa kuin ekassa?! Siispä kannattaa avata toinen kuori...
***
Selvästikään tokan kuoren avaaminen ei oikeasti ole sen kannattavampaa kuin sen kiinni jättäminenkään. Mikä siis meni pieleen?
Todennäköisyyslaskuissa on oltava tarkkana: jos tunnut tietävän liikaa tutkimuskohteesta, voi olla että teet sellaisia oletuksia, jotka poistavat tiettyjen satunnaismuuttujien satunnaisuuden tai jopa niiden mitallisuuden. Maallikon voi olla vaikea löytää virhettä.
Tässä tapauksessa virheen selittäminen yleiskielellä on melkeinpä ylivoimaista.
Tässä samantyyppinen harha:
KIRJE-PARADOKSI: Edessäsi on kaksi kirjettä, joista yhdessä on kaksinkertainen rahasumma toiseen verrattuna. Avaat yhden ja siellä on 20 euroa. Voit joko jättää toisen kuoren avaamatta ja pitää 20 euroa, tai avata toisen, jolloin saat sen sisältämän summan.
Lasketaan odotusarvo jälkimmäisen kirjekuoren summalle: 1/2 * 10 1/2 * 40 = 25. Joten jälkimmäisessä kuoressa on keskimäärin enemmän rahaa kuin ekassa?! Siispä kannattaa avata toinen kuori...
***
Selvästikään tokan kuoren avaaminen ei oikeasti ole sen kannattavampaa kuin sen kiinni jättäminenkään. Mikä siis meni pieleen?
Todennäköisyyslaskuissa on oltava tarkkana: jos tunnut tietävän liikaa tutkimuskohteesta, voi olla että teet sellaisia oletuksia, jotka poistavat tiettyjen satunnaismuuttujien satunnaisuuden tai jopa niiden mitallisuuden. Maallikon voi olla vaikea löytää virhettä.
Tässä tapauksessa virheen selittäminen yleiskielellä on melkeinpä ylivoimaista.
Vastaukset 37
Vanhimmat
... symmetria: Jos olisit sattunut avaamaan toisen kirjekuoren ensin, tällöin olisit joka tapauksessa päätynyt tuohon nimenomaiseen 20 euroon. Eli näin ajateltuna on parasta pitää 20 euroa, ja jättää toinen kuori avaamatta. :)
Suuressa otoksessa, kannattaa aina avata se toinen kuori, koska keskimäärin silloin tienaa 25 € eikä vain 20 € (sikäli kuin jatkokuoren sisältö on se mitä on sanottu).
Tällaisessa valinnassa kannattaa aina maksimoida avaamisten määrä, koska avausten lisääntyessä voittomahdollisuus kasvaa 2-potensissa. Jos kyseessä olisi tapaus, että toisessa kuoressa on joko 10€ vähemmän taikka 10€ enemmän, niin silloin kannattaisi jättää avaamatta, koska ei enään hyötyisi mitään jatkoavaamisesta.
...sortunut saman paradoksin muunnelmaan, eli:
'mahdollinen voitto on suurempi kuin mahdollinen tappio'
Samalla logiikalla kannattaa ikuisesti tuplata, kun RAY:n automaatti tarjoaa 'tupla vai kuitti'-skenariota.
Mutta jossakin vaiheessa väistämättä menetät kaikki rahat tällä taktiikalla, joten se ei selvästikään toimi. :)
Se mitä et selitä tyydyttävästi on tilanteen symmetria: Jos avaat ensin kuoren A, päädyt kuoreen B -- mutta jos avaat kuoren B, päädyt kuoreen A.
On jotenkin hölmöä teeskennellä, että on 'maksimoinut voittomahdollisuuksiaan', kun tällainen symmetria on olemassa.
Selvästikin kumpikin kuori on ihan yhtä arvokas, jos emme tiedä mitä sisällä lepää! Yhden kuoren avaaminen ei oikeastaan muuta tätä faktaa, paitsi jos kyseinen summa tyydyttää sellaisenaan.
RAY-automaatissa voitto ON tietenkin sama kuin tappio, mutta joka tapauksessa ikuinen tuplaaminen näyttäisi tuon perusteella olevan yhtä järkevää kuin kuittaamien, vaikka ei ole...
... tuo mainitsemani symmetria tarkoittaa johtopäätöstä:
'kannattaa aina valita se jälkimmäinen kuori'.
Mutta tämä on naurettavaa, sillä onhan täysin sattumanvaraista, mikä kuori päätyy jälkimmäiseksi!
Yhtä hyvällä menestyksellä voimme aina ottaa ensiksi valitun. :)
No mutta tuossa kirjeen valinnassahan sinä jäät aina voitolle, koska siihen avaamiseen ei tarvitse sijoitaa sitä rahaa, eli aina kannattaisi avata se toinenkin kuori. Olisi varmaan eriasia jos se avaaminen maksaisi jotain, esimerkisi 16 ekee, niin voisit jäädä joko 8 voitolle tai 2 tappiolle. Toisaalta jo siitä panoksen ja voiton suhteesta voisi päätellä että kannataako se toinen kuori avata.
RAY:n automaattien tuplaushan on odotusarvoltaan aina miinusmerkkistä, koska esim. siinä kolikko tuplauksessa on vaihtoehdot kruuna, klaava ja sitten se poikittainen kolikko, jolloin menetät aina voiton.
Eli siis kerran kolmesta tuplaat panoksesi ja kaksi kertaa kolmesta häviät panoksesi. Korttituplauksessa on se seiska mikä tekee siitä tuplauksesta kannattamatonta?
Tai ainakin näin idiootti asian ajattelee.
Onko siis yhteen kuoreen laitettu 20e ja sitten arvottu toiseen 10 tai 40e fifty-fifty periaatteella. Ja sitten kaveri on avannut toisen kuoren ja siellä on 20e (olisi siis voinut olla myös X euroa jos X=10 jatkoon, jos X=40 ei jatkoa), nyt sitten kannattaako valita toinen kuori, kyllä näillä oletuksilla kyllä.
Vai onko tilanne se, että yhteen kuoreen on arvottu tasajakaumasta väliltä esim. 1..ääretön rahasumma ja toiseen kuoreen tuplat tästä. Ongelma tulee tässä että ei ole tasajakaumaa äärettömän mittaisessa tai diskreetissä tapauksessa äärettömässä numeroituvassa joukossa.
Tarvitsisi tietää jakauma (tasajakuma ei voi olla)
"Vai onko tilanne se, että yhteen kuoreen on arvottu tasajakaumasta väliltä esim. 1..ääretön rahasumma ja toiseen kuoreen tuplat tästä."
Tehtävänannosta ymmärsin, että tästä on kyse. Oletetaan mahdoton tasajakauma ja päädytään ongelmiin.
... on täysin deterministinen. Eli kuorissa on kaksi summaa, jotka joku on sinne päättänyt laittaa, toinen kaksi kertaa isompi kuin toinen.
Jos haluat mallintaa valintaa jollakin jakaumalla, kannattaa olla varovainen!
Onko siellä sekki, jonka rahamäärä voi olla positiivinen reaaliluku? Vai kolikoita ja seteleitä, jolloin pienin mahdollinen rahamäärä on 1 sentti? Jos sattuisi tulemaan sellainen kuori, jossa on 1 sentti niin kannattaisi tietysti vaihtaa.
... varsin simppeli.
Yhdessä kuoressa on jokin summa. Toisessa kuoressa on sama summa kaksinkertaisena. Kuoret ovat satunnaisessa järjestyksessä.
Avaamme yhden kuoren. Siellä on 20 euroa. Avaamattomassa on joko 10 tai 40 euroa. Vaihdatko 20 euroa tuntemattomaan summaan?
Virhe on laskussa 1/2 * 10 1/2 * 40 = 25.
Ensimmäisessä 20 on suurempi summa, kun taas toisessa 20 on pienempi summa. Ei se saa vaihtua kesken kaiken.
... tätä selitystä. Mikä on ongelma, ja mikä 'vaihtuu kesken kaiken' ?
... sen verran, että paradoksin matemaatikko mallintaa avaamatonta summaa satunnaismuuttujana Y.
Ainoat mahdollisuudet ovat Y=40 ja Y=10. Molemmat vaihtoehdot ovat selvästikin yhtä todennäköisiä.
Matemaatikko laskee odotusarvon E(Y) = 25.
Paradoksin ratkaisu liittyy siihen, ettei satunnaismuuttujamme ole teknisesti oikein määritelty, eikä sellainen 'mitallisuus' täyty, että odotusarvoja saisi laskea.
Mitallisuus on keskeinen olettamus todennäköisyyslaskujen onnistumista ajatellen, mutta silti se on liian vaikea konsepti lukioihin! Siispä lukiotehtävät valitaan sellaisiksi, ettei paradokseja synny.
Olet todennäköisesti muistanut tehtävän täysin väärin. Esittämäsi tehtävä on täysin yksikäsitteinen jokaiselle maallikollekin. Se että esität jonkin virheellisen ratkaisun, ei tee tapauksesta paradoksia.
Vaihtoehdot:
Kirjeessä 1: X euroa, kirjessä 2: 2X euroa.
tai
Kirjeessä 1: 2X euroa, kirjeessä 2: X euroa.
Ensimmäisessä voittaa X euroa, toisessa häviää X euroa. Eli tasan menee aina.
...selitystäsi -- siinä on virhe. Nimittäin X:n arvot eivät täsmää. Tiedämmehän, että ekassa kuoressa on 20 euroa. Ekassa tapauksessa X = 20 , mutta tokassa X = 10. Eli voitto ja tappio eivät täsmää.
Paradoksi on tottakai virhe -- eihän aitoja 'paradokseja' ole olemassakaan, ellei matikassa ole ristiriitoja.
Virhe on tässä tietyn funktion mitallisuuden puute. Tämä 'paradoksi' on varsin hyvin tunnettu ja dokumentoitu, ja on niin aito paradoksi kuin mikä tahansa muukin!
"Virhe on tässä tietyn funktion mitallisuuden puute."
No eikö tätä juuri ehdotettu aiemmin?
Taisinpa olla minä itse, joka niin ehdotti. ;)
Joka tapauksessa, löysin wiki-sivun ongelmasta kiinnostuneille:
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
Et vaan voi uskoa, että joku muukin osaa.
Voisitko selittää tarkemmin, että kuka osasi ja miksi tuo selitys tarkalleen liittyy mitallisuuteen? En viitsi käydä kaikkia viestejä läpi.
... tuohon virheeseen, että samaa muuttujaa käytetään väärin kahteen eri tarkoitukseen, niin wiki-sivulla sanotaan, ettei selitys riitä mikäli ekan kuoren sisällön saa nähdä.
Silloin X = 20 vakiona, eikä ongelmaa ole. Edelleen on ongelma siitä, että miksi toisen kuoren odotusarvo on suurempi.
Aiemmin mainittiin, että tuossa oletetaan mahdoton tasajakauma, eli viitataan juuri tähän mitattomuuteen. En muista kuka ja missä, mutta eikö tästä ole kyse?
... olisit voinut heti sanoa! Kun viestejä on paljon, ei tule kaikkia luettua niin tarkasti. En suinkaan ilkeyttäni jätä mitään lukematta.
Yksi tapa ajatella tätä on verrata sitä tehtävään:
- Olkoon kummassakin kuoressa jokin rahasumma väliltä 0-1000 euroa.
- Avaat yhden ja siellä on 20 euroa. Kannattaako vaihtaa toiseen kirjekuoreen?
Totta kai kannattaa vaihtaa, koska toisessa kirjekuoressa on odotusarvoisesti enemmän rahaa. Tämä johtuu tuosta a priori-oletuksesta eli oletetusta maksimirahamäärästä. Jos mahdolliset rahamäärät olisivat 0-39 euroa, ei kannattaisi vaihtaa.
Tilanne on sama edelleen vaikka olisikin esimerkiksi p=1/2 todennäköisyys, että menettääkin kaikki rahansa toisen kirjekuoren rahamäärän saamisen sijaan. Jos maksimirahamäärä on äärellinen (esim. tuo 1000 euroa), on jokin todennäköisyys p, jonka jälkeen vaihtaminen ei enää kannata. Mutta jos maksimimäärää ei olisi, vaihtaminen kannattaisi aina.
Tässä tehtävässä on käytetty vähän vastaavaa kikkaa eli oletetaan että maksimi on ääretön ja laitetaan voittosummille järkeviltä näyttävät ehdot, mutta kuitenkin sellaiset, että tuo maksimin puuttuminen aiheuttaa se, että aina kannattaa vaihtaa.
Turhia tässä turisen, kaikkihan tämän tiesi...
... tehtävään on se, että me tiedämme tasan tarkkaan vaihtoehdot toisen kuoren summiksi: joko 10 euroa tai 40 euroa. Maksimi ei siinä mielessä ole ääretön, ja juuri siitä syntyy harha... :)
Ongelma on siinä, että emme voi käyttää perinteistä todennäköisyyttä lainkaan arvioidessamme kuorien sisältöjä.
Deterministiselle päätökselle (esim. 20 ja 40 euroa) ei ole laskettavissa mitään ei-nollaa todennäköisyyttä. Siispä, vaikka tiedämme intuitiivisesti, että 10 ja 40 ovat kumpikin yhtä 'todennäköisiä', emme voi mallintaa kuorien sisältöä satunnaismuuttujana.
Miksi Y='kakkoskuoren sisältö' ei voi olla satunnaismuuttuja? Mikä olisi alkeistapausten joukko? Oletetaan, että se olisi {(20,40),(10,20)}. Mutta tämä ei ole sallittua, sillä emme voi olettaa, että kuorien sisältöjen valinta olisi alkujaan suoritettu nimenomaan noiden kahden tapauksen välillä. On otettava huomioon kaikki mahdollisuudet (x,2x). Olkoon alkeistapausten joukko {(x,2x): x in R }. Mutta tällöin yksittäisen alkeistapauksen (10,20) mitta olisi 0. Eli selvästi tämä ei myöskään tyydytä meitä.
Paljastuu, ettei ole mitään järkevää tapaa määritellä todennäköisyysavaruutta satunnaismuuttujalle Y, niin että se olisi mitallinen.
Jos tarkkoja ollaan, toki rahamäärät olisivat {(x,2x): 100x in Z }. Mutta päätelmät eivät muutu.
Jos kuoresta paljastuisi 0 euroa, tietäisimme muuten varmuudella että toisessa kuoressa on 0 euroa. Mutta päätelmä olisi yhtenäinen: On yhdentekevää vaihdatko vai ei. :)
Kuullostaa järkevältä. Todennäköisyysteoria kulkee käsikädessä mittateorian kanssa (siis ainakin aika pitkälle). Onkohan tässä nyt sitten kyse ns. täydellisen mitan puuttumisesta?
Täydellisellä mitalla tarkoitan siis sitä, että ei ole olemassa sellaista mittaa, joka täyttäisi kaikki ominaisuudet, joita mitalta toivotaan, eli nämä:
*Mitta vastaa geometrista mittaa, eli tilavuudet pinta-alat ym. yhtyvät.
*Jokaisella joukolla on mitta
*Mitta on täydellisen additiivinen, eli numeroituvan monen pistevieraan joukon yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa.
Arvaan, että aina löytyy ongelmallisia tapauksia, rakennetaanpa todennäköisyysteoria mitä kautta hyvänsä (siis jollakin tavalla järkevästi kuitenkin). Toisin sanoen, jos tuolle ongelmalle saataisiin jossain systeemissä ratkaisu, niin löytyy joitakin muita ongelmia, jotka ei siinä systeemissä ratkea.
... on 'numeroituvuus'. Aksioomissamme mitalliseksi joukoksi kelpaa muiden sellaisten joukkojen numeroituvat unionit. Eli todennäköisyysavaruudelle tämä tarkoittaa, että vain numeroituva unioni 'generaattori-tapahtumia' kelpaa tapahtumaksi.
Siispä meidän on valittava tapahtuma-avaruuden generaattorijoukko järkevästi -- eikä se ole aina mahdollista.
Mitta (kuten todennäköisyys) itsessään on määritelty 'numeroituvan' additiiviseksi joukkofunktioksi.
Satunnaismuuttuja on määritelmältään mitallinen funktio, eli funktio jonka arvojoukon mitalliset osajoukot vastaavat määrittelyjoukon mitallisia osajoukkoja.
Jos numeroituvuudesta luovutaan (ja monet filosofit ovat yrittäneet!) joudutaan aina pahoihin ongelmiin:
Voisimme helposti määritellä epänumeroituvan joukon tapahtumia, joista jokaisen todennäköisyys on 1, mutta silti niiden intersektion todennäköisyys on 0. Tämä ei mitenkään sovi todennäköisyysteorian intuitioon, joten se jätetään kylmästi sen ulkopuolelle. Numeroituvuus otetaan kiinteäksi osaksi todennäköisyyden määritelmää.
Suosittelen kirjaa 'Williams: Probability with Martingales'. Aivan mahtava kirja, jossa selitetään teorian tausta-ajatukset huumorilla ja hyvillä muistisäännöillä -- sen lukeminen on lähes yhtä pedagogista kuin yksityistunnin ottaminen!
sallittua.
mikäli 20 on arvokkaampi kuori, ei 40 voi realisoitua.
mikäli 20 on arvottomampi kuori ei 10 voi realisoitua.
Eli on vain kaksi erillistä odotusarvoa vaihdolle 20 ja 5.
ei vaihdolle: 20 20
todennäköisyydet ovat 1/3 ja 2/3:
E = 1/3 * 40 2/3 *10 (tuplautuessa)
Jakaumien valinnan tn-painot määräytyvät:
(1) C/10 C/20 = 1 ; C= 20/3
(2) P({10,20}) = C/10=2/3 P({20,40})= C/20=1/3
Miksi eri kuorivalintojen todennäköisyydet ovat mielestäsi kääntäen verrannollisia pienemmän kuoren sisältöön?
Oletetaan, että ekasta kuoresta paljastuu 40. Tällöin omilla laskelmillasi: P({20,40}) = 2/3
Juu.
C=40/3
P({20,40}) =C/20 = 2/3 ja P({40,80}) =C/40= 1/3
Päättely oli heuristinen:
Olkoon S tuo kuoren arvo.
Että S on valittu populaatiosta S,...,2S on S:n todennäköisyys kääntäen verrannollinen pituuteen S k/S
Että S on valittu populaatiosta ½S,...,S on S:n todennäköisyys kääntäen verrannollinen pituuteen k*1/(S/2) = 2k/S. Kun nämä yhdistetään Bayesiläisittäin unohtaen raamit ja skaalataan 1:een saataneen tuo ½S~2/3 2S~1/3 jakauma.
funktionaaliyhtälön:
f(x 1)/f(x) = Const, eli eksponenttijakauma.
f(t 1)/f(t) = 2 :
f(t) = ln(2) exp(-ln(2)t), kertymäfunktiolla
F(t) = 1-exp(-ln(2)t)
Nyt
P(S
pisteen a, kiinnität välin [½a,2a].
Jos vertaat tätä tasajakaumasta satunnaisesti valittujen kahden pisteen etäisyyteen, saattaisi olla ilmeistä, että odotusarvokaavassa todennäköisyydet EIVÄT natsaa.
Eli oikea muoto on
p*½A (1-p)*2A, missä, p > (1-p).
Jos kortinvaihto on yhdentekevä on p=2/3 = P(½A).
odotusarvo taitaa olla juuri tuo 1/3 välin pituudesta. Eli tuossa ongelmassa ½A. Mitenkä tuo ½A köllikin tuossa juuri sopivasti!
"todennäköisyys" toimii aina.
Jos aA,A ja bA ovat palkkiomahdollisuudet (a
Tuo on juuri ML-periaatteen mukaista.
Bayesilainen tn-tulkinta ei päde tässä tapauksessa.
On todennäköisenpää, että pienenpi vaihtoehto valikoituu kuoreen. Se nimittää maksimoi tuon näytetyn todennäköisyyden todennäköisyyden.
Bayesiläinen todennäköisyystulkinta on lähtökohdiltaan virheellinen.
Jokainen kaiketi ymmärtää, ettei tunneta metodia, jolla kaikki (edes luonnolliset) luvut voitaisiin arpoa demokraattisesti.
Bayesilainen teoria sallii pankkiirin manipuloida ns. apriorijakaumia mieleisikseen. Milloin milläkin verukkeella. Samaten se kieltää tekemästä relatiivisia päätelmiä.