Miten seuraavaa vanhaa demotehtävää pitäisi lähestyä:
Etsi a ja b arvot, joilla seuraavilla yhtälöryhmillä on äärettömän monta ratkaisua ilmoita ratkaisut tässä tapauksessa.
2X Y 3Z = 1
5X 4Y 6Z = a
8X 7Y 9Z = b
Etsi a ja b arvot, joilla seuraavilla yhtälöryhmillä on äärettömän monta ratkaisua ilmoita ratkaisut tässä tapauksessa.
2X Y 3Z = 1
5X 4Y 6Z = a
8X 7Y 9Z = b
Vastaukset 10
Vanhimmat
Lineaarisella yhtälöryhmällä, jolla
Yhtälöiden lkm. = muuttujien lkm.
on aina joko 0,1 tai ∞ monta ratkaisua.
Yksi tapa on käyttää vaikkapa Octave-ohjelmistoa ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskemiseen:
octave:8> A = [2 1 3; 5 4 6; 8 7 9];
octave:9> [T,D] = eig(A)
T =
-0.220487 -0.816497 -0.750184
-0.522168 0.408248 -0.045252
-0.823849 0.408248 0.659679
D =
15.57775 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 -0.57775
josta nähdään, että matriisin kuva on T:n vasemman ja oikean reunan vektorien virittämä avaruus. Nolla-avaruus on ominaisvektorin v2=[-0.816497,0.408248,0.408248] suuntainen suora.
Vastaus on, että mikä tahansa sellainen vektori [1,a,b] käy, joka ei kuulu matriisin nolla-avaruuteen eli toisin sanoen ei ole samansuuntainen kuin vektori v2. Jos x on ratkaisu, mys x c*v2 on ratkaisu, jossa c on mielivaltainen vakio. Tästä voidaan johtaa ratkaisut annetulle [1,a,b].
Jos tehtävän haluaa tehdä ei-numeerisesti, varmaan ensin voisi kokeilla muuntaa matriisi porrasmuotoon rivioperaatioilla.
Löytyisikö näin?
A = kertoimien matriisi
X = [x,y,z]^T
B = [1,a,b]^T (T tarkoittaa tranpoosia)
AX = B ---> X = A^(-1)B.
Ratkaisusta sitten päättelemään, millä arvoilla X = oo. Laskin päässä, että determinantti |A| =/0, eli ratkaisuja löytyy, vaikka se kai on selvää tehtävänannon perusteellakin.
Ajanee saman asian kuin porrasmatriisin muodostaminen.
Hienoa, tältä pohjalta saan kyllä ratkaisun.
Aloitan parin viikon päästä matriiseja käsittelevän opinnon ja yritän pähkäillä vanhoja harjoituksia. Tämän kanssa tuli vaan seinä vastaan.
det(A)=0
On kummallista, että ohjelmoijat ovat vallanneet foorumin niin pahasti, että tämmöiset helpot, kämmenselkään ratkeavat tehtävätkin näyttävät vaativan kovaa teknologiaa taakseen!
Idea on tämä:
Jos det(A) ei ole nolla, ratkaisuja on tasan yksi.
Jos det(A)=0, ratkaisuja on joko 0 tai ääretön määrä.
Tarkistat ensin, että det(A) = 0.
Nyt vähennät yhtälöiden monikertoja toisistaan, kunnes saat kaksi potentiaalisesti täsmäävää yhtälöä. Tällöin yhtälöiden on saatava samat arvot, jotta ratkaisuja olisi äärettömästi.
Ja näinhän sen pitää ollakin, jotta ratkaisujoukko tulisi oo:ksi.
kolmen tason leikkausjoukosta ja sehän on sitten suora tai taso, jotta ratkaisujoukko olisi oo.
Yhtälöryhmän tulisi siten redusoitua korkeintaan pariksi.
2a=b 1 ja yhtälöryhmä kutistuu kahden tason leikkaukseksi. (Muokkaa esim: 1. [2. - 1.] ja [½(3.-1.)] ja ratkaise a tai b, missä esim ½(3.-1.) tarkottaa puolella kerrottuna (kolmasyhtälö vähennettynä ekalla yhtälöllä).
A:n rangi on kuitenkin 2, joten tuo liene ratkaisu.
bijektio joss sen determinantti != 0.
pisteen alkukuva on tällöin piste.